Решение задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

Урок

Тема урока «Решение задач на нахождение наибольшего и

наименьшего значения функции»

Тип урока: урок усвоения знаний на основе имеющихся.

Цели

1. образовательная:

   • формировать способность применения знаний, полученных при изучении производной, для решения новых прикладных задач;

1. развивающая:

• способствовать развитию математического мышления;

1. воспитывающая:

• способствовать развитию логического мышления.

Ход урока

1. Организационный момент. Приветствие.

2. Обоснование значения изучаемой темы и цели урока. План урока.

Тема сегодняшнего урока – «Решение задач на нахождение наибольшего и наимень-шего значения функции».

Еще в 19 в. Великий русский математик П.Л. Чебышев в своей работе «Черчение географических карт» писал, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения по возможности большей выгоды». С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей: инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы получилось как можно больше продукции, конструкторы хотят так спланировать прибор на космическом корабле, чтобы масса прибора была наименьшей, экономисты стараются спланировать прикрепление заводов к источникам сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными.

Задачи такого рода носят общее название задач на оптимизацию. В самых простых задачах, с которыми мы сегодня познакомимся, мы имеем дело с величиной, зависящей от другой величины, и надо найти такое значение второй величины, чтобы первая приняла наибольшее или наименьшее значение.

С развитием информационных технологий появилась возможность упростить решение оптимизационных задач посредством составления программ, этим занимаются программисты. Для составления программ, решающих задачи оптимизации, важно уметь построить общую математическую модель, а потом реализовать ее на языке программирования.

Составлением математических моделей и их решением мы сегодня и будем заниматься. В курсе «Математические методы» наша задача усложнится, и мы научимся решать более сложные задачи оптимизации.

Цель урока – научиться решать простейшие задачи оптимизации.

План урока: 1. Проверка домашнего задания и проверка изученного.

2. Изучение нового материала.

3. Закрепление.

4. Проверка изученного (тест).

1. Проверка домашнего задания и повторение пройденного материала.

К доске вызываются двое учащихся, которые записывают решение домашних задач.

В это же время остальным задаются вопросы:

• Назовите производную степенной функции;

• Назовите производную sin, cos;

• Что такое ускорение?

• Что такое скорость?

• Достаточный признак возрастания функции;

• Достаточный признак убывания функции;

• Признак максимума функции;

• Признак минимума функции.

1. Изучение нового материала.

Задача: «Число 24 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма квадратов этих чисел была наименьшей.»

Учащимся предлагается самостоятельно решить эту задачу.

Они предлагают варианты ответов: 10 и 14, 5 и 19, 1 и 23, 3 и 21, 12 и 12.

Правильный ответ 12 и 12.

А теперь решим эту задачу, составив математическую функцию и исследовав ее на минимальное значение.

1)Пусть первое число = х, тогда второе число равно 24-х. По условию задачи сумма квадратов этх чисел должна быть наименьшей, составим функцию.

f(x)= x² + (24-x)²

2)f(x)= 2x² – 28x + 576,

1. Найдем производную: f^,(x)= 4x – 48,

2. Найдем нули производной: х=12,

-

1. Т.к. в точке х=12 производная функции меняет знак с «- » на «+», то в этой точке функция достигает минимума.

Ответ: 12 и 12.

№312

Число 4 представьте в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Решение.1)Пусть первое число равно х, тогда второе число равно 4-х. По условию задачи произведение этих чисел должно быть наибольшим, составим функцию.

f(x)= x (4 – x),

2) Найдем производную: f^,(x)=4 - 2х,

3) Найдем нули производной: х= 2,

4)

-

1. Т. к. в точке х= 2 производная функции меняет знак с « +» на «-», то в этой точке функция достигает максимума.

Ответ: 2 и 2.

№319

Из круглого бревна вырезают балку с прямоугольным сечением наибольшей площади. Найдите размеры сечения балки, если радиус сечения бревна 20 см.

Решение. 1)Пусть АВ= х см, тогда АД = . Площадь сечения должна быть наибольшей, т.е.

2) ;

3) ;

4) Найдем нули производной: 1600х-2х³=0; х=0 или х=х=0 не удовлетворяет условию задачи.

5) Т.К. в точке х= производная функции меняет свой знак с «+» на «-», т в этой точке функция достигает своего максимального значения.

Ответ: и .

№321.

2)

3) Найдем нули производной:

1. Т.к.в точке х=4 производная функции меняет знак с «- » на «+», то в этой точке функция достигает минимума.

Ответ: 4 и 1.

1. Проверка качества (тест).

2. Задание на дом: №313, 316.