Самостоятельная работа

Числовая последовательность

Определение

Числовая последовательность – это числовая функция, у которой область определения есть множество всех натуральных чисел.

Числовая последовательность может быть задана разными способами:

1. Аналитический

2. Словесный

3. Рекуррентный

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Также арифметическая прогрессия обладает характеристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Свойства числовых последовательностей

• Последовательность называется возрастающей, если для любого n∈N выполняется неравенство  a_nn+1 .

• Последовательность называется убывающей, если для любого n∈N выполняется неравенство a_na_n+1 .

• Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными.

• Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число M∈R , что  a_n≤M . При этом число M называется верхней границей последовательности.

• Последовательность называется ограниченной снизу, если существует такое число m∈R , что  a_n≥m . Число  m  называется нижней границей последовательности.

• Последовательность называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху, и снизу.

Предел последовательности

Число  называют пределом последовательности , если в любой заранее выбранной   - окрестности точки  содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера 

Рассмотрим задания, встречающиеся в экзаменационных работах

Пример 1.

Последовательность {a_n} определена как a₁ = 137 и a_n+1 − a_n = 0 для n ≥ 1. Найдите a₈₉₉₉

Решение:

a_n+1 − a_n = 0 означает, что a_n+1 = a_n, поэтому 137 = a₁ = a₂ = a₃ = ... = a₈₉₉₉

Пример 2.

Если

найдите a_19.

Решение:

Пример 3.

Вычислите x_2.

Решение:

Пример 4.

Последовательность задана формулой

Какое из указанных чисел является членом этой последовательности? 

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности, начиная с n=1:

Тем самым, число 3 является членом этой последовательности.

Пример 5.

Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них — арифметическая прогрессия. Укажите ее.

Решение:

Арифметической прогрессией называется такая последовательность в которой разность между последующим и предыдущим членами прогрессии остается неизменной. Поэтому арифметическая прогрессия является последовательность: 1; 3; 5; ... Таким образом, правильный ответ указан под номером 3.

Пример 6.

Одна из данных последовательностей является геометрической прогрессией. Укажите эту последовательность.

Решение:

Геометрической прогрессией называют числовую последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий, равен предшествующему, умноженному на одно и тоже отличное от нуля число. Поэтому геометрической прогрессией является последовательность:

Таким образом, правильный ответ указан под номером 2.

Пример 7.

Последовательность задана условиями 

Найдите  .

Решение:

Будем вычислять последовательно: 

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти   посредственно:

Ответ: −9.

Примеры для самостоятельного решения

1. Последовательность задана формулой 

Какое из следующих чисел не является членом этой последовательности?

Решение:

Рассмотрим несколько первых членов последовательности:

Отметим, что числа, указанные под номерами 1), 2) и 4) являются 2-м, 4-м и 6-м членом последовательности соответственно. Докажем, что число   указанное под номером 3, не является членом последовательности ( ).

Действительно, первые 6 членов последовательности уже проверены. Для следующих членов первое слагаемое в сумме

не меньше 7, а абсолютная величина второго слагаемого не больше  .Поэтому для всех   справедлива оценка

Тем самым, число   не является членом данной последовательности.

Правильный ответ указан под номером 3.

2. Последовательность задана формулой

Сколько членов в этой последовательности больше 1?

Решение:

Дробь, числитель и знаменатель которой положительны, больше единицы, если знаменатель меньше числителя. Имеем: 

Таким образом, первые 9 членов последовательности больше 1.

Правильный ответ указан под номером 2.

3. Последовательность задана условиями 

Найдите  .

Решение:

Будем вычислять последовательно: 

Данная последовательность образует арифметическую прогрессию. Найдем разность арифметической прогрессии:

Примечание.

Зная разность и первый член арифметической прогрессии, можно найти   посредственно:

4. Последовательность задана условиями

Найдите  .

Решение:

Найдём несколько первых членов последовательности:

Отсюда ясно, что все члены последовательности с нечётными номерами равны 4.

5.

Найти: x₃

Решение:

Подставляем   в формулу для n-го члена последовательности

Ответ: 

Домашнее задание

1. Составить возможную формулу n-го элемента последовательности :

2. Вычислите три последующих члена последовательности, если 

3. Задана последовательность. Ограничена ли она? 

4. Начиная с какого номера все члены последовательности   будут не меньше заданного числа A?