Самостоятельная работа

Элективное занятие Дата : 24.02.2026

1. Найдите значение выражения 5,5 : (2,62 + 1,78).

Решение. Вычислим:

Ответ: 1,25.

2.  

Решите уравнение

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение. Решим квадратное уравнение:

Ответ: –0,2 и 4.

3.   Найдите два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 156.

В ответе укажите найденные числа без пробелов в порядке возрастания.

Решение. Пусть a,   — искомые числа. Так как произведение этих чисел равно 156, составим уравнение:

Таким образом, искомые числа  — 12 и 13.

Ответ: 1213.

4.  На координатной прямой отмечены числа 0, a и b. Отметьте на этой прямой какое-нибудь число x так, чтобы при этом выполнялись три условия: и

Решение. Из первого неравенства следует, что из второго, что а из третьего, что x положительно, значит, x находится в промежутке

5.

Найдите значение k по графику функции изображенному на рисунке.

Решение. Поскольку гипербола проходит через точку (−1; 1), имеем: Ответ: −1.

6.  Отметьте на координатной прямой число

Решение. Возведем все числа в квадрат:

Сравним квадраты чисел, получим: Тогда для исходных чисел справедливы неравенства

Из этого следует, что точка, соответствующая лежит на оси между числами 9 и 10. Середина этого отрезка  — число  9,5. Чтобы сравнить числа и  9,5, сравним их квадраты. Найдем, что а тогда Следовательно, числу соответствует точка, лежащая правее середины отрезка.

Ответ: см. рис.

Примечание.

Чтобы определить, правее или левее середины отрезка лежит некоторое число, необходимо сравнить его с серединой отрезка. Вместо этого некоторые учащиеся рассуждают так:

—  число 85 ближе к 81, чем к 100, поэтому  ближе к 9, чем к 10;

—  число 2 ближе к 1,1, чем к 3, поэтому  ближе к  чем к 

Этот подход неверен (см. рис.).

Сравнивая квадраты двух чисел, мы можем заключить, какое из них больше, но ничего не знаем о том, насколько близки эти числа между собой. Число 1,1 действительно ближе к числу 2, чем число 3. Но если сравнить корни из этих чисел

то видно, что число  дальше от  чем число 

7.

Найдите значение выражения при и

Решение. Упростим выражение:

Подставим исходные данные и найдем значение выражения:

Ответ: −1,5.

8.  В художественной студии 25 учеников, среди них 9 человек занимаются рисованием, а 7  — лепкой. При этом нет никого, кто бы занимался и тем, и другим. Найдите вероятность того, что случайно выбранный ученик художественной студии занимается лепкой или рисованием.

Решение. Всего в студии рисованием и лепкой заняты 9 + 7  =  16 учеников. Вероятность того, что случайно выбранный ученик занимается одним из этих направлений составляет:

Ответ: 0,64.

9.  

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB  =  25 и Найдите AC.

Решение. Чтобы найти найдем предварительно

Тогда

Ответ: 17,5. 10. 

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC  =  18, MN  =  8. Площадь треугольника ABC равна 81. Найдите площадь треугольника MBN.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и MBN, углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B  — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответственных сторон: поэтому

Ответ: 16.

11.  Тип 11 № 7492

Какое наименьшее число рёбер придется пройти дважды, чтобы обойти все рёбра куба?

Решение. Нетрудно придумать обход, в котором дважды проходятся только 3 ребра. Докажем, что это минимальное количество.

При обходе необходимо выйти из начальной вершины, войти и выйти изо всех остальных вершин, кроме конечной, затем войти в конечную вершину. Следовательно, каждая из шести промежуточных вершин куба должна быть пройдена четное число раз. В  вершинах сходятся по три ребра, поэтому понадобится один дополнительных выход, а всего их должно быть не менее шести. Каждой паре выход-вход соответствует одно ребро, а потому необходимо не менее трех проходов по ребрам.

Ответ: 3.

12.  Тип 12 № 7683

Какие из следующих утверждений верны?

1)  Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2)  Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3)  Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4)  Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 15°.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1)  «Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.»  — неверно, вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны, если их вершины лежат по одну сторону от хорды.

2)  «Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.»  — неверно, окружности имеют две общие точки.

3)  «Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.»  — верно, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая и окружность имеют две общие точки.

4)  «Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 15°.»  — неверно, вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, поэтому дуга равна 60°. Ответ: 3.

13.  Решите уравнение

Решение. Последовательно получаем:

Ответ:

14.  На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали  — значение температуры в градусах Цельсия.

1)  Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 22 января.

2)  Чему равна разница между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 24 января?

Решение. 1)  Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C.

2)  Разница между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 24 января равна 9 °C.

15.   Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью, большей скорости первого на 9 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть 2S  — расстояние между A и В, x км/ч  — скорость первого автомобилиста, Тогда км/ч  — скорость второго автомобилиста на второй половине пути.

Составим таблицу по данным задачи:

 Время, за которое оба автомобилиста проехали весь путь от A до B одинаково, следовательно, можно составить уравнение:

По условию задачи удовлетворяет x  =  36. Ответ: 36 км/ч.

16.  Правильный игральный кубик бросают два раза. Найдите вероятность того, что числа выпавших очков отличаются не больше чем на 3.

Чтобы ответить на вопрос задачи, найдем все возможные случаи выпадения очков так, чтобы они отличались на 4 или более. Таких случаев всего 6: 1 + 5, 5 + 1, 1 + 6, 6 + 1, 2 + 6 и 6 + 2. Всего возможных выпадений 36. Искомая вероятность равна

Ответ:

Приведем другое решение. Построим таблицу возможных выпадений очков. Цветом выделим те, для которых числа выпавших очков отличаются не больше чем на 3. Как видно, 30 из 36 лучаев закрашены. Значит, искомая вероятность равна 

17. Выполните действия с радикалами

Решение. Выполним действия:

Ответ: 6.

18.   В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ BD равна 32, а угол А равен 45°. Найдите бо́льшую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно

Решение. В трапеции ABCD боковая сторона CD перпендикулярна основаниям, тогда большая боковая сторона есть AB. В прямоугольном треугольнике BCD по теореме Пифагора

Проведём высоту ВН трапеции ABCD, тогда В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВН гипотенуза