Самостоятельная работа по теме "Испытания Бернулли"

Самостоятельная работа по теме «Испытания до первого успеха»

Цель: проверить понимание концепции испытаний Бернулли и умение вычислять вероятности событий в серии испытаний до первого успеха.

Время выполнения: 45 минут.

Критерии оценивания:

• 5 заданий — «5»;

• 4 задания — «4»;

• 3 задания — «3»;

• менее 3 заданий — «2».

Вариант 1

1. Теоретический вопрос.
   Дайте определение испытания Бернулли. Перечислите его ключевые свойства. Приведите 2 примера реальных ситуаций, которые можно описать как испытания Бернулли, указав, что в них является «успехом» и «неудачей».

2. Базовая задача.
   Монету подбрасывают до первого выпадения «орла». Найдите вероятность того, что:
   а) «орёл» выпадет на третьем броске;
   б) потребуется не более двух бросков;
   в) потребуется более трёх бросков.

3. Задача с прикладным содержанием.
   Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет до первого попадания. Найдите вероятность того, что:
   а) попадание произойдёт на второй выстрел;
   б) потребуется ровно три выстрела;
   в) стрелок попадёт не позже чем на четвёртый выстрел.

4. Задача на обобщение.
   В серии испытаний Бернулли вероятность успеха равна p, вероятность неудачи — q. Запишите формулу для вероятности того, что первый успех наступит:
   а) на k-м испытании;
   б) не позднее чем на n-м испытании;
   в) позднее чем на m-м испытании.

5. Задача повышенной сложности.
   Игральную кость бросают до первого выпадения шестёрки. Найдите вероятность того, что для этого потребуется:
   а) ровно 4 броска;
   б) не более 3 бросков;
   в) более 5 бросков.
   Ответ дайте в виде несократимой дроби.

Вариант 2

1. Теоретический вопрос.
   Объясните, что означает термин «испытания до первого успеха». В чём отличие этой схемы от общего случая испытаний Бернулли? Приведите 2 примера из жизни, где применяется эта модель.

2. Базовая задача.
   Бросают кубик до первого выпадения тройки. ​. Найдите вероятность того, что:
   а) тройка выпадет на четвёртом броске;
   б) потребуется не более трёх бросков;
   в) потребуется более двух бросков.

3. Задача с прикладным содержанием.
   Вероятность того, что интернет‑соединение прервётся в течение часа, равна 0,1. Соединение проверяют каждый час до первого сбоя. Найдите вероятность того, что:
   а) сбой произойдёт на втором часу;
   б) потребуется ровно четыре проверки;
   в) сбой случится не позже чем через пять часов.

4. Задача на обобщение.
   В серии испытаний Бернулли вероятность успеха равна p, вероятность неудачи — q. Выразите через p и q вероятность того, что первый успех наступит:
   а) на (k+1)-м испытании;
   б) между m-м и n-м испытанием (включительно);
   в) не раньше чем на k-м испытании.

5. Задача повышенной сложности.
   Стрелок стреляет по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что:
   а) попадание произойдёт на пятом выстреле;
   б) потребуется не более четырёх выстрелов;
   в) потребуется более шести выстрелов.
   Ответ округлите до тысячных.