Сборник задач к конференции

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 22

ГОРОДА ТЮМЕНИ

XXII НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ЖИЗНЬ КАК ПОИСК ИСТИНЫ»

История развития математической задачи

Тюмень – 2019г.

Содержание

Формула древних египтян для вычисления объёма правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями 3

Представление единицы в виде суммы основных дробей египтян с разными знаменателями 4

Решение квадратного уравнения методом ал-Хорезми 5

Задача об удвоении куба 6

Задача о квадратуре круга 7

Треугольные участки 8

Математические фокусы 9

Формула древних египтян для вычисления объёма правильной усечённой пирамиды с квадратными основаниями

Египтянам необходимо было вычислять объёмы фигур различной формы. Эти знания им были необходимы при строительстве амбаров и всевозможных укреплений. Нужно было знать, например, сколько зерна войдёт в амбар.

Источники свидетельствуют о том, что объём цилиндра, куба, параллелепипеда, призмы вычислялись как произведение площадей оснований на высоту. Вершиной все египетской математики является открытие точного способа вычисления объёма усечённой пирамиды с квадратным основанием.

V = h/ 3 × (a²+ab+b²)

О получении этой формулы в папирусах ничего не сказано, однако трудно предположить, что она было получена эмпирически. Это можно сделать только логическим путём с использованием геометрических и арифметических рассуждений.

ЗАДАЧА. «Форма вычисления объема усечённой пирамиды, когда тебе называют усечённую пирамиду высотой 6 локтей с плоскостями по 4 локтя на нижней стороне и по 2 локтя на верхней стороне». Реконструкция решения:

Текст первоисточника	Решение	Формулы в общем виде
Считай ты с этой четверти возведённой в квадрат, чтобы запомнить. Получается 16.	42 = 16	а2
Удвой и получается 8.	4×2=8	аb
Считай ты с этой двойной, возведённой в квадрат, чтобы запомнить. Получается 4.	22 = 4	b2
Сложи вместе эти 16 с этими 8 и с этими 4. Получается 28.	16 + 8 + 4 = 28	a2 + ab + b2
Считай 1/3 от 6. Получается 2.	1/3 × 6 =2	1/3 × h
Считай ты с 28-го 2 раза. Получается 56.	2 × 28 = 56	h/3 × (a2+ ab + b2)

Представление единицы в виде суммы основных дробей египтян с разными знаменателями

В Британском музее хранится папирус, составленный писцом Ахмесом примерно за 1600-1700 лет до нашей эры. Одна из задач этого папируса – разделить 7 хлебов между 8 людьми. Решена задача у Ахмеса так: поскольку  , то каждому надо дать по половинке, четвертинке и восьмушке хлеба.

Папирус Ахмеса предваряет таблица, в которой все дроби вида для нечетных n от 3 до 101 представлены суммами египетских дробей.  Эта таблица помогала производить сложные арифметические выкладки согласно принятым канонам. По-видимому, писцы заучивали ее наизусть, так же, как сейчас школьники запоминают таблицу умножения.

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида  (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

ЗАДАЧА. Представить число 1 в виде сумм различных аликвотных дробей

а) трех слагаемых

б) четырех слагаемых

Решение квадратного уравнения методом ал-Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах² + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах² = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах² + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах² + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах².

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим.

ЗАДАЧА. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Задача об удвоении куба

Считается, что задача об удвоении куба, или как ее называют по-другому: «Делосская задача», берет свое начало в 540 году до н.э.

При построении данной задачи возникло несколько проблем:

1. Было проблемно, перейти от соответствующей задачи на плоскости, к соответствующей задаче в пространстве, так как было необходимо составить произведение трех величин с помощью параллелепипеда и заменить действия над выражениями третьей степени операциями над пространственными телами ;

2. Вычисление при решении задачи.

Первый, кто привел решение данной задачи – это Гиппократ Хиосский. Он свел общую задачу об увеличении куба в заданном отношении к задаче о построении двух средних пропорциональных отрезков между двумя заданными прямолинейными отрезками.

Задача о квадратуре круга

Задача о построении квадрата, равновеликому данному кругу была очень знаменита в Древней Греции.

Также данная задача была известна в Древней Индии. Индийские алтари были различной формы: квадрата, круга, трапеции, полукруга, сокола, черепахи и др. Но все алтари должны были иметь одинаковую площадь. Отсюда и появилась задача о превращении круга в равновеликий ему квадрат. Решения этих задач приведены в древнеиндийской книге «Сальватустра».

Все предложенные решения задачи о квадратуре круга были приближенными, не удавалось сделать точного построения. Эта задача с течением времени стала не просто геометрической, а арифметико-алгебраической, в первую очередь, связанную с нахождением числа π. В XIX в. было установлено, что данную задачу нельзя решить при помощи линейки и циркуля.

На рисунке показан способ построения, описанный Архимедом.

Треугольные участки

На рисунке вы видите, как шахтеры спорят по поводу своих участков. Каждый участок имеет форму прямоугольного треугольника. Размеры этих треугольников не совпадают, но площади у них всех одинаковы и составляют точно 3360 квадратных футов. Катеты одного треугольника равны 140 и 48 , а его гипотенуза – 148. У второго треугольника катеты равны 80 и 84, а гипотенуза 116. Можете ли вы указать длины сторон третьего треугольника при условии, что они выражаются целыми числами, а площадь этого треугольника равняется площади первых двух треугольников.

Ответ: У третьего треугольника катеты равны 30 и 224, а гипотенуза – 226. Математические фокусы

1. Неизвестное число

Положительное число увеличивается в 19 раз, если в его десятичной записи поменять местами цифры, стоящие на первом и третьем местах после запятой. Найдите третью цифру после запятой в десятичной записи этого числа.

ответ 0,0495 * 19 = 0,9405

1. Фокус с пятью картами

Фокусник берет колоду из 52 карт, и отдает ее зрителям. Зрители выбирают (каким угодно способом) любые 5 карт и отдают их помощнику фокусника. Тот смотрит на карты и называет фокуснику 4 из них. В ответ фокусник называет пятую. Кроме мастей и значений карт, фокусник не получает никакой дополнительной информации (помощник говорит ровным голосом, без пауз и т.д.). Каким образом фокуснику удается "угадать" пятую карту?

Ответ: Помощник получил от зрителей 5 карт. Поскольку мастей карт всего 4, значит по крайней мере 2 карты имеют одинаковую масть. Эту масть и будет угадывать фокусник. Первая карта, которую назовет помощник будет иметь ту же масть, что и карта, которую надо будет угадать фокуснику (помощник в праве сам выбрать какую карту не называть). С мастью разобрались.

Чтобы узнать тип карты, работает знаменитая система двоичного исчисления. Поскольку разных карт в колоде всего 13. А помощник будет называть 4 карты. 4 карты это 4 бита, с помощью 4 бит можно изобразить максимальное число 1111, что в десятичной системе 1*2^3+1*2 ^2+1*2^1+1*2^0=1*8+1*4+1*2+1=8+4+2+1=15, то есть вполне достаточно для изображения 13 карт.

Пусть 2=2,3=3,4=4...10=10, валет=11, дама=12, король=13, туз=14. Теперь для обозначения "1" карта называется так "сначала масть, потом сама карта", для обозначения "0" - "сначала карта потом масть".

Все фокусник угадает.