Сечение многогранников

Тема: «Сечение многогранников плоскостями»

(Решение задач №14 математика -ЕГЭ профильный уровень).

Краткая аннотация

1

Цели исследования

2

Методы и приемы

3

Данные

4

Исследования

5

Выводы

Анотация

«Мало иметь хороший ум ,

главное - хорошо его применять»

Рене Декарт

• 1

Как сдать на 5 экзамен по математике,

решение геометрических задач

№ 14 - математика проф. ур

• 2

Развитие пространственного воображения

• 3

40 исследованных геометрических задач из школьных учебников

• 4

Рекомендации для учителей и учащихся

Наши специфические цели:

• 1. Сообщение геометрических сведений.

• 2. Развитие способности мыслить логически

• 3. Развитие пространственного воображения

Чертеж

Ммм…?

Дано

Решение

с

доказательством

И ЧО?

Ч.Т.Д.

В любой непонятной ситуации-эволюционируй!

В любой непонятной ситуации -эволюционируй

«Мало иметь хороший ум ,

главное - хорошо его применять»

Рене Декарт

МЫСЛЬ

1

1.Бдительность

3. Концентрация

2.Анализ

6.Синтез

7. Идея

5.Вывод

8. Логика

Способности важны, но важнее способность использовать способности !

4. Сосредоточенность

Решение задачи по полной схеме.

Задача.

Постройте сечение тетраэдра АВСД плоскостью, проходящей через внутреннюю точку М грани ABC и параллельной прямым АС и ДВ.

Решение :

Допустим задача решена, т.е. искомое сечение NР L К построено. т.М € NР. Так как по условию задачи

плоскость сечения должна быть параллельна прямой АС,

то прямая NР должна быть параллельна АС.

Если бы это было не так, то прямые NР и АС, как прямые, лежащие

в одной плоскости ABC и непараллельные ,

пересекались бы.

Тогда получилось бы , что прямая АС и плоскость сечения имеют общую точку,

т.е. плоскость сечения не была бы параллельна прямой АС.

Аналогично рассуждая, установим, что прямая Р L должна быть параллельна прямой ДВ. Тогда NK II ДВ и KL II АС.

Полученное сечение есть параллелограмм.

Теперь ясно, как надо строить сечение.

Построение

В плоскости основания ABC через т.М проводим прямую,

параллельную АС, которая

пересечёт АВ а т. N и ВС в т.Р.

В плоскости грани ДВС через т. Р проведём прямую,

параллельную ВД, которая пересечёт ребро ДО в т. L

Затем в плоскости грани АВД через т. N проведём прямую N К || ВД.

Соединим точки К и L , лежащие на грани АСД.

Получим искомое сечение.

Доказательство

Докажем теперь, что построенное сечение есть искомое. В самом деле это сечение есть искомое, так как, во-первых, оно проходит через внутреннюю точку М грани АВС, во-вторых, сечение параллельно прямым АС и ВД, так как плоскость сечения содержит прямую NР II АС и прямую РL II ВД. Таким образом, построенное сечение удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача всегда имеет решение и оно единственное. Это сечение единственное потому, что через т.М на плоскости АВС проходит одна прямая, параллельная прямой АС.

Аналогично через т.Р на плоскости ВСД проходит одна прямая PL II ВД.

Схема решения задач на построение

.

Анализ

Построение

01

02

04

03

Доказательство

Исследование

Задача на построение сечений

• ЗАДАЧА. Построить сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проведённой через середины двух ребёр основания параллельно высоте пирамиды. Вычислить площадь сечения, если радиус окружности, описанной около основания пирамиды, равен 6 см, а боковое ребро 10 см.
• РЕШЕНИЕ

а) Построение сечения.

Требуется провести плоскость через точки F (А F = F В ) и К ( СК = КВ )

параллельно высоте МО пирамиды.

Секущая плоскость пересекает основание пирамиды по прямой FK

так как точки F и K принадлежат как секущей плоскости, так и плоскости оснований. Для определения точки пересечения секущей плоскости с ребром МВ проведём вспомогательную плоскость через высоту пирамиды МО и боковое ребро MB ( плоскость МВЕ ) ; она пересечет основание пирамиды по BE, а отрезок F К - посередине, в точке Д. Секущая и вспомогательная плоскости, имея общую т.Д, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. А так как искомая плоскость должка быть параллельна МО, то и линия пересечения её с плоскостью МВЕ должна быть параллельна МО.

В плоскости МВЕ проводим Д L II МО. Проведя в гранях АМВ и CМВ отрезки LF и LК получим сечение – треугольник FLК .

Плоскость сечения удовлетворяет- условию задачи, так как проведена через середины ребёр основания F и К и параллельно МО (LД II МО)

Задача на построение сечений

Используемая литература:

Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев,

Э.Г. Позняк.

Геометрия 9-10.Москва. Просвещение .

А .Б.Василевский. Параллельные проекции и решение задач по стереометрии.

В .М. Клопский, З.А.Скопец,М.И.Ягодовский Геометрия 9класс. Москва.

Просвещение .

Александров А.Д..Вернер А.Л. Рыжик В.И. Геометрия для 9-10 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М. Просвещение .

А.В.Погорелов. Геометрия. Москва. Наука , главная редакция физико-математической литературы

Б.И.Аргунов, М.Б.Балк. Геометрические построения на плоскости. Москва

Н.Н.Четверухин. Стереометрические задачи, Издательство Академик педагогических наук России .

H.М. Бескин, Мехтиев М.Г.

Методика геометрии