Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»

ГЕОМЕТРИЯ.

УРОК: «Контрольная работа № 1«Метод координат». Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения»

Учитель: Васильева О.В.

Класс: 9

Цель урока:

- образовательная: ввести понятия синуса, косинуса и тангенса угла, актуализировать знания о синусе, косинусе и тангенсе угла в прямоугольном треугольнике, ознакомить с основным тригонометрическим тождеством, формулами приведения и формулой для нахождения координат точки, научить применять их при решении задач;

- развивающая: развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

- воспитательная: воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности.

Ход урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний. Контрольная работа № 1«Метод координат».

3. Изучение нового материала

Учитель: сегодня мы приступаем к изучению новой главы «Соотношение между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов» и первой темой в данной главе будет «Синус, косинус и тангенс угла». Запишите в тетрадях число и тему урока

Запись в тетрадях:

Число. Тема урока: Синус, косинус и тангенс угла.

Учитель: но прежде, чем перейти к изучению этой темы, выведем с вами определения

• что называют синусом острого угла?

синус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. 

• что называют косинусом острого угла?

Косинус острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. 

• что такое тангенс острого угла?

Тангенс острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Учитель: теперь решите следующий пример

1. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.

Выясним синус угла А и косинус угла В.

Решение

1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:

В = 90º – 30º = 60º.

2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:

      sin A = = = .

3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:

      cos B = = = .

В итоге получается:

sin A = cos B = .

Или:

sin 30º = cos 60º = .

Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся. (презентация)

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). Запишите определение с экрана и сделайте рисунок. (слайд 3)

Запись в тетрадях:

Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

Учитель: из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 .

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса, поэтому sin  ордината у точки М, cos  это абсцисса х точки М.

Запись на доске и в тетрадях:

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,

sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD = y, OD = x,

поэтому sin  = y, cos  = x. (1)

Учитель: Так как из прямоугольного треугольника DOM тангенс - это отношение противолежащего катета к прилежащему tg = , то тангенс будет равен отношению синуса угла  к косинусу угла  tg = . Существует еще функция, обратная тангенсу - катангенс, и он равен отношению косинуса угла  к синусу ctg = .

Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  - абсциссе х точки М. Запишите со слайда информацию в тетради (слайд 4).

Запись на доске и в тетрадях:

Т.к. tg = , то tg = , ctg = .

Учитель: если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (1).

Таким образом, для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  - абсцисса х точки М.

Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 справедливы неравенства:

0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1 (слайд 5). Запишите это в тетради.

Запись в тетрадях:

Т.к. 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180

0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1.

Учитель: а теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам (см.рис.290). Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. (2) (слайд 6) Запишите в тетради.

Запись в тетрадях:

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1

Учитель: кроме этих значений при решении задач вам понадобятся и другие значения синуса, косинуса, тангенса и катангенса при различных угла . Сделайте себе в тетради небольшую тригонометрическую таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и катангенса

Запись в тетрадях:

Учитель: теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради.

Запись в тетрадях:

Основное тригонометрическое тождество.

sin²  + cos²  = 1, (4)

Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180. Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со слайда.

Запись в тетрадях:

Для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 верно

sin²  + cos²  = 1 - основное тригонометрическое тождество.

Учитель: теперь определим знаки синуса, косинуса и тангенса в разных четвертях.

Знаки синуса.

Так как sin  = , то знак синуса зависит от знака у. В первой и второй четвертях у 0, в третьей и четвертой у 0. Значит синус больше нуля, если угол  находится в первой ил второй четверти, и синус меньше нуля, если угол  находится в третьей ил четвертой четверти. Запишите эту информацию в тетради со слайда (слайд 10)

Запись в тетрадях:

т.к. sin  = ,

I , II ч - sin  0, III, IV ч - sin 

Учитель: знаки косинуса. Так как cos  = , то знак косинуса зависит то знака х. тогда в первой и четвертой четвертях х 0, а во второй и третьей четвертях x  находится в первой или четвертой четверти, и косинус является меньше нуля, если угол  находится во второй или третьей четверти. Запишите это в тетради со слайда.

Запись в тетрадях:

Так как cos  =

I , IV ч - cos a 0, II, III ч - cos a

Учитель: знаки тангенса и катангенса.

Так как tg  = , а ctg  = , то знаки tg  и ctg  зависят от знаков x и y. В 1 и 3 четвертях x и y имеют одинаковые знаки, а во 2 и 4 разные. Значит: tg  0 и ctg  0, если угол  является углом 1 или 3 четверти; tg    является углом 2 или 4 четверти. Запишите в тетради, и перенесите в таблицу.

Запись в тетрадях:

tg a =

I , III ч - tg a 0, II, IV ч - tg a

ctg  =

I , III ч - ctg a 0, II, IV ч - ctg a

Учитель: кроме основное тригонометрического тождества справедливы также следующие тождества, которые являются формулами приведения. Запишите их в тетради.

sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin  (5) при 0 ≤  ≤ 90,

sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos  (6) при 0 ≤  ≤ 180 .

Запись в тетрадях:

Формулы приведения.

sin (90 - ) = cos 

cos (90 - ) = sin  (5) при 0 ≤  ≤ 90 ,

sin (180 - )= sin 

cos (180 - ) = - cos  (6) при 0 ≤  ≤ 180 .

Учитель: и последнее, что мы сегодня с вами рассмотрим, это формулы для вычисления координат точки, сделайте в тетрадях следующий заголовок: формулы для вычисления координат точки. (слайд 12)

Запись в тетрадях:

Формулы для вычисления координат точки.

Учитель: итак, пусть задана система координат Оху и дана произвольная точка А(х;у) с неотрицательной ординатой у (см.рис. 291 учебника).

Выразим координаты точки А через длину отрезка ОА и угол  между лучом ОА и положительной полуосью Ох. Для этого обозначим буквой М точку пересечения луча ОА с единичной полуокружностью. По формулам sin  = y, cos  = x координаты точки М соответственно равны cos  и sin . Вектор имеет те же координаты, что и точка М, т.е. (cos ; sin ). Вектор имеет те же координаты, что и точка А, т.е. (х; у). По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

Запишите все в тетрадь со слайда.

Запись в тетрадях:

sin  = y, cos  = x

М(cos ; sin ), (cos ; sin ), (х; у).

По лемме о коллинеарных векторах = ОА ∙ , поэтому

x = ОА ∙ cos ,

y = OA ∙ sin . (7)

4. Закрепление изученного материала

Учитель: а теперь закрепим изученный материал при решении следующих задачах:

К доске вызываются ученики.

Запись на доске и в тетрадях:

№ 1013 (а, б)

Дано: а) cos  = . б) cos  = . Найти: sin 

Ученик: так как угол  находится во 2 ч., то sin  0

Запись на доске и в тетрадях:

Так как  находится во 2 ч., то sin  0, sin  = .

Дано: а) cos  = 1; в) sin  = и 0  .

5. Подведение итогов урока и домашнее задание

Учитель: итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы:

Что называется синусом угла? косинусом угла?

что такое тангенс угла? катангенс угла?

какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?

какие есть формулы для вычисления координат точки?

Ученик: x = ОА ∙ cos , y = OA ∙ sin .

как определить знаки синуса или косинуса?

Ученик: нужно определить, в какой четверти лежит точка с заданными координатами, или данный угол .

Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: §1, пп. 93 - 95, №№ 1014, 1015 (б, г)

Учитель: урок окончен. До свидания.