Тема урока: Преобразование тригонометрических выражений.

План урока

Курс__, гр__

Дисциплина: Математика

Профессия: Пчеловод

Преподаватель:

Тема урока: Преобразование тригонометрических выражений.

Преобразование тригонометрических выражений – это упрощение выражений, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

• Преобразование тригонометрических выражений – это их упрощение, которое выполняется с помощью тригонометрических формул.

Вот некоторые правила, которые помогут нам преобразовывать тригонометрические выражения.

1. Если в тригонометрических выражениях разные меры угла, то их следует привести к единой, применяя правила:

1) )

Например: 

2)

Например:  .

1. Если синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы содержат разные аргументы, (углы),стараемся привести к одному аргументу (углу).

Например, с помощью формул двойного аргумента(угла)   заменяем на   по формуле  .

1. Если в тригонометрическом выражении необходимо поменять синус на косинус, тангенс на котангенс, то применяем формулы приведения.

Например:  , так как  , синус меняется на косинус.

 , так как  , тангенс меняется на котангенс, угол в четвёртой четверти, здесь тангенс отрицательный.

1. Если тригонометрические выражения содержат большое количество тригонометрических функций, то необходимо привести к минимальному количеству видов функций. Для этого используем формулы приведения, основное тригонометрическое тождество или другие формулы.

Например:

вычислить  .

Заметим, что  ,  ,  .

Тогда данное выражение примет вид:  ;

в скобках формула косинуса двойного угла, т.е.  , значит

1. Если в тригонометрическом выражении нужно понизить степень входящих в него компонентов, применяем формулу понижения степени или формулу половинного аргумента. Только помните: степень понижается, аргумент удваивается.

 ,  ,   , 

Данная группа формул позволяет перейти от любого тригонометрического выражения к рациональному.

Например: упростите выражение  .

Применяем формулу понижения степени для косинуса и получаем:

.

Чтобы определить рациональность значения тригонометрического выражения, мы должны знать, что из всех углов, содержащих рациональное число, лишь углы вида  ;  ;   , где k целое число, имеют рациональный косинус.

Например,   число рациональное, так как  .

Углы вида  ;  ;   , где k целое число, имеют рациональный синус.

Углы вида  ;  , где k целое число, имеют рациональный тангенс.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля:

Рассмотрим примеры преобразований тригонометрических выражений.

Пример 1.Вычислите:   .

Заметим, что в знаменателе данной дроби у синусов разные углы   и  . Используем формулу приведения:   и тогда наше выражение примет вид:   , в знаменателе тригонометрическое тождество, равное 1. Нам осталось 24 разделить на 1, получаем 24.

Пример 2. Найдите   , если  .

Так как   , то разделив числитель и знаменатель данной дроби на  . Получаем:

 , сократим и заменим   на .

 , по условию  =3, подставим это число в наше выражение:  .

Самостоятельно.

1.  Доказать тождество: 

2. Упростить выражение: