Система линейных неравенств

Система линейных неравенств.

Выполнила: Третьякова Анастасия

ЧТО ТАКОЕ система линейных неравенств?

Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину

Вот образцы подобных систем:

Решить  систему неравенств  означает установить все значения неизвестной величины, при которых реализуются все неравенство системы, либо доказать, что таких не существует.

Все решения системы неравенств формируют  множество  решений. Если система неравенств не реализуется ни при каких значениях  х , то обозначают, что такие  системы неравенств   несовместимы .

Область определения  или область допустимых значений –это множество всех  х  при которых функция существует.

Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е. под корнем стоит не отрицательное число.

Линейные неравенства могут быть строгими - это определяется знаком неравенства: . Линейные неравенство нестрогие, если в них имеется следующий знак неравенства: ≥, ≤.

Если мы рассматриваем линейное уравнение, мы знаем, что на плоскости мы имеем право начертить прямую. Решением такого уравнения будет точка пересечения прямой с осью ОХ.

Когда речь заходит о линейных неравенствах, это значит, что на плоскости мы имеем некоторое решение, которое находится в некотором диапазоне относительно построенной прямой. При рассмотрении систем линейных неравенств мы получаем две прямые на плоскости, которые ограничивают некоторый диапазон, в котором находятся все решения, удовлетворяющие неравенства.

Системы линейных неравенств с одной переменной с помощью тождественных преобразований сводятся к  системе из простейших неравенств .

Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.

1.Решением первого неравенства будет первая и четвертая четверть. Решением второго - первая и вторая. Не сложно заметить, что первая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся в первой четверти.

Аналогично данному решению можно рассмотреть следующие системы:

2.Решением первого неравенства будет вторая и третья четверть. Решением второго - первая и вторая. Не сложно заметить, что вторая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся во второй четверти.

3.Решением первого неравенства будет вторая и третья четверть. Решением второго - третья и четвертая. Не сложно заметить, что первая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся в третьей четверти.

4.Решением первого неравенства будет первая и четвертая четверть. Решением второго - третья и четвертая. Не сложно заметить, что четвертая четверть является решением первого и второго неравенства. Это значит, что решением данной системы будут все пары чисел, которые находятся в четвертой четверти.

Рассмотрим на примерах, как решить систему линейных неравенств.

Пример 1

Чтобы решить систему, нужно решить каждое из составляющих её неравенств. Только решение принято записывать не по отдельности, а вместе, объединяя их фигурной скобкой.

В каждом из неравенств системы неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

После упрощения обе части неравенства надо разделить на число, стоящее перед иксом. Первое неравенство делим на положительное число, поэтому знак неравенства не изменяется. Второе неравенство делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства надо изменить на противоположный:

В ответ записываем пересечение решений, то есть ту часть, где штриховка есть на обеих прямых.

Ответ: x∈[-2;1).

Пример 2

В первом неравенстве избавимся от дроби. Для этого обе части умножим почленно на наименьший общий знаменатель 2. При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется.

Во втором неравенстве раскрываем скобки. Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений. В правой части — квадрат разности двух выражений.

Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком и упрощаем:

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. В первом неравенстве делим на отрицательное число, поэтому знак неравенства изменяется на противоположный. Во втором — делим на положительное число, знак неравенства не изменяется:

Оба неравенства со знаком «меньше» (не существенно, что один знак — строго «меньше», другой — нестрогий, «меньше либо равно»). Можем не отмечать оба решения, а воспользоваться правилом « меньше меньшего, больше большего «. Меньшим является 1, следовательно, система сводится к неравенству

Отмечаем его решение на числовой прямой :

Ответ: x∈(-∞;1].

7 , а на нижней – которые выступают решением второго неравенства  x10  Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба  неравенства  будут удовлетворятся при  x10. Ответ: (10;+∞) " width="640"

Пример 3

Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения  х,  которые выполняют первое неравенство  x7 , а на нижней – которые выступают решением второго неравенства  x10  Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба  неравенства  будут удовлетворятся при  x10.

Ответ: (10;+∞)

Пример 4

Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения  х  при которых существует первое  неравенство системы , а на второй числовой оси, размещенной под первой, - все те значения  х  , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях  х  расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7х≤10

Ответ: (7; 10]

Пример 5

Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной   одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно:

  в результате почленного сложения у нас пропала переменная  .

Ответ:  

Теперь всё просто:   – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше):

В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так:

ИСТОРИЯ

Отдельные свойства систем линейных неравенств рассматривались еще в первой половине 19 века в связи с некоторыми задачами аналитической механики. Систематическое же изучение систем линейных неравенств началось в самом конце 19 века, однако о теории линейных неравенств стало возможным говорить лишь в конце двадцатых годов 20 века, когда уже накопилось достаточное количество связанных с ними результатов.

Сейчас теория конечных систем линейных неравенств может рассматриваться как ветвь линейной алгебры, выросшая из неё при дополнительном требовании упорядоченности поля коэффициентов.

Ссылки:

http://www.algebraclass.ru/sistemy-linejnyx-neravenstv/

https://www.calc.ru/Sistema-Lineynykh-Neravenstv.html

https://cknow.ru/knowbase/555-225-sistemy-lineynyh-neravenstv.html