Система счисления

Лучше знать лишнее, чем ничего не знать. Сенека

Тема:

Система счисления. Двоичная и десятичная

Цель:

Сформировать основные навыки работы с различными системами счисления. Уметь переводить двоичные числа в различные системы счисления. Знать определения.

Ключевые слова:

• Система счисления
• Двоичная СС
• Десятичная СС
• Позиционная и непозиционная СС

Ситуационная

задача

НЕОБЫКНОВЕННАЯ ДЕВОЧКА

Ей было тысяча сто лет , Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила - Всё это правда, а не бред. Когда пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий . Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали И десять тёмно-синих глаз Рассматривали мир привычно... Но станет всё совсем обычным, Когда поймёте наш рассказ.

(А.Н.Старков)

(Арабская система)

?

Какими цифрами вы привыкли записывать числа?

0, 1, 2, … , 123, …

I, II, III, IV, V, ... , XX, ...

(Римская система)

Способы счета :

• зарубки на палке,

• узлы на веревке,

• камешки,

• пальцы рук.

Римская нумерация на часах Спасской башни Московского Кремля

Понятие системы счисления

• Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.
• Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.
• Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Узловые и алгоритмические числа

Узловые числа обозначаются цифрами.

Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

 100 +

 10 +

=

Системы счисления

Позиционные

Непозиционные

от положения цифры

от положения цифры

в записи числа зависит

в записи числа не зависит

величина, которую

величина, которую

она обозначает.

она обозначает.

Непозиционная система счисления

Система счисления называется непозиционной , если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Римская система счисления

1

5

I

V

100

10

C

500

X

50

D

L

1000

M

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:

каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

M

X

V

I

I

I

C

V

X

28

X

X

X

M

1935

L

X

40

=

Позиционная система счисления

Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.

Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

• VI = 6 , т.е. 5 + 1,
• LX = 60 , т.е. 50 + 10,
• IV = 4 , т.е. 5 – 1,
• XL = 40 , т е. 50 – 10.

в тех случаях, когда в

записи числа

подразумевается вычитание ,

меньшую цифру (вычитаемое) ставить

перед большей (уменьшаемым).

Какие еще единицы измерения вы знаете?

Деньги:

Доллары,

Центы,

рубли

Время:

Часы

Минуты

секунды

Вес:

Килограммы,

фунт

Задание: Переведите 125 минут в часы.

Какие правила вы при этом использовали?

Ответ: 2 часа 5 минут

(или 2 целых и 1/12 часа)

1 час = 60 секунд

Основание данной системы счисления равно 60.

Чем отличаются все эти системы счисления?

?

Ответ:

алфавитом — множеством используемых цифр .

Размер алфавита (число цифр) называется основанием системы счисления.

Почему арабская система называется десятичной системой счисления?

?

Ее основание равно 10.

Ответ:

Арабская

нумерация

I

Римская нумерация

V

1

5

X

10

L

100

50

C

M

1000

Арабская

нумерация

I

Римская нумерация

V

1

5

X

L

10

100

50

C

M

1000

2

3

6

8

11

15

II

III

VI

VIII

XI

XV

Арабская

Римская нумерация

I

нумерация

V

1

X

5

L

10

100

C

50

D

500

M

1000

4

9

40

90

900

652

IV

IX

XL

XC

CM

DCLII

Арабская

I

Римская нумерация

нумерация

1

V

X

5

L

10

100

C

50

500

D

M

1000

CXI

111

222

CCXXII

CCCXXXIII

333

CDXLIV

444

DLV

555

DCLXVI

666

Проверь себя:

Письменно

11

25

XI

35

XXV

65

XXXV

72

LXV

121

LXXII

250

CXXI

CCL

Задание.

Запишите в тетрадь ответы на вопросы римскими числами:

• Сколько желаний исполняет золотая рыбка?
• Сколько разбойников было с Али-бабой?
• Сколько раз надо измерить, прежде чем отрезать?

Проверь себя:

Запиши число, пользуясь римской нумерацией:

22 + 9 = 31 =

19 – 5 = 14 =

50 – 9 = 41 =

Проверь себя:

22 + 9 = 31 = XXXI

19 – 5 = 14 = XIV

50 – 9 = 41 = XLI

Двоичная

система счисления

Двоичная система счисления (2 с/с)- позиционная система счисления с основанием два. Для изображения любого числа в ней используются только две цифры - 0 и 1 .

«Компьютерные» системы счисления

Двоичная система используется в компьютерной технике, так как:

• двоичные числа представляются в компьютере
• двоичная арифметика наиболее проста;
• существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Двоичный код удобен для компьютера.

Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Десятичная система счисления

Любое число мы можем записать при помощи десяти цифр :

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Именно поэтому наша современная система счисления называется десятичной .

Известный русский математик Н.Н.Лузин так выразился по этому поводу:

«Преимущества десятичной системы счисления не математические, а зоологические. Если бы у нас было на руках не десять пальцев, а восемь, то человечество бы пользовалось восьмеричной системой счисления.»

Двоичная система счисления

Например:

10011 2 =1  2 4 +0  2 3 +0  2 2 +1  2 1 +1  2 0 = 2 4 +2 1 + 2 0 =19 10

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

4/15/18

Запомни

2 0

2 1

1

2 2

2

2 3

4

2 4

8

2 5

16

32

2 6

2 7

64

2 8

128

2 9

256

2 10

512

1024

Слон живет у нас в квартире,

В доме два, подъезд четыре.

По часам привык питаться –

Утром в восемь, днем в шестнадцать.

Съест на завтрак непременно

Тридцать две охапки сена,

После утренней прогулки –

Шестьдесят четыре булки.

На обед ему приносим

Огурцов сто двадцать восемь.

Помидоров может съесть

Двести пятьдесят и шесть,

Съесть блинов пятьсот двенадцать,

Это если не стараться.

А замесишь на кефире –

Тысячу двадцать четыре.

4/15/18

Запомни

• Правило возведения в степень

Любое число в степени 0 = 1,

например 2 0 =1, 10 0 =1, 50 0 =1

• Правило умножения любого числа на 0

При умножение на 0, получаем 0, например

1*0=0; 10*0=0 и т.п.

• Правило умножения любого числа на 1

При умножении числа на 1, получаем это же число, например,

2*1=2; 10*1=10 и т.п.

Арифметические операции

сложение

вычитание

0+0=0 0+1=1

1+0=1 1+1= 1 0 2

1 + 1 + 1 = 1 1 2

0-0=0 1-1=0

1-0=1

перенос

умножение

0*0=0 1*0=0

0*1=0 1*1=1

Перевод целых чисел

Двоичная система: Алфавит: 0, 1 Основание (количество цифр): 2

10  2

2

19

19 = 10011 2

18

2

9

8

1

2

4

4

система счисления

1

2

2

2

0

1

2

0

0

0

2  10

1

4 3 2 1 0

разряды

10011 2

= 1 ·2 4 + 0 ·2 3 + 0 ·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0

= 16 + 2 + 1 = 19

Перевод из 2 с/с в 10 с/с

Возраст:

Класс:

Кол-во книг:

Прочие цифры:

Задача

В классе 10100 2 девочек и 1100 2 мальчиков. Сколько учеников в классе?

Ответ:

В классе 32 ученика.

Задание. Русская поговорка. Здесь зашифрована известная русская поговорка. Прочитайте ее, двигаясь с помощью двоичных цифр в определенной последовательности.

Задача для зала:

У меня 10 братьев.

Младшему 1000 лет,

а старшему 1111 лет.

Может ли такое быть?

Перевод из 10 с/с в 2 с/с

Направление записи числа

Ответ:

Задача на смекалку

• У Кощея три сундука. В них хранятся золото, серебро и состав числа 10. Отгадайте, что в каком сундуке, если во втором сундуке – серебро, а в первом – не золото.

Состав числа 10 серебро золото

У Кощея три сундука. В них хранятся золото, серебро и состав числа 10. Отгадайте, что в каком сундуке, если во втором сундуке – серебро, а в первом – не золото.

Золото

Сундук 1

Серебро

Сундук 2

10

Сундук 3

Примеры:

131 =

101011 2 =

110011 2 =

Осуществите перевод из 10 с/с в 2 с/с: 123, 27, 55.

Переведите самостоятельно в 2 с/с:

Рефлексия:

• Сегодня я узнал…
• Я понял, что…
• Я запомнил, что…
• Было интересно…

Вопросы:

• Какие способы счета существуют?
• На какие два вида делится СС?
• Какие цифры используются в 2-й и 10-й системе счисления?

Задание. Заполнение таблицы .

Система счисления

Основание

Десятичная

10

Алфавит

Восьмеричная

0;1;2;3;4;5;6;7;8;9

0; 1

  8

16

Домашнее задание:

Тема: Система счисления. Восьмеричная и шестнадцатеричная.

• Восьмеричная СС;
• Шестнадцатеричная СС.

Интернет-ресурсы:

• https ://m.habrahabr.ru/post/124395/
• http:// www.reshinfo.com/dvoichnaya_systema.php
• http:// calutcaia-com.blogspot.ru/p/poyitionnie-i-nepoyitionnie-sistemi.html

НЕОБЫКНОВЕННАЯ ДЕВОЧКА 

Ей было лишь двенадцать лет,

Она уж в пятый класс ходила,

Четыре книги в портфеле носила –

Всё это правда, а не бред.

Перебирая парой ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, четырехногий.

Она ловила каждый звук

Двумя прелестными ушами,

И пара загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И пара тёмно синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Стал для вас совсем обычным,

Наш этот небольшой рассказ .

(А.Н.Старков)

НЕОБЫКНОВЕННАЯ ДЕВОЧКА

Ей было тысяча сто лет , Она в сто первый класс ходила, В портфеле по сто книг носила - Всё это правда, а не бред. Когда пыля десятком ног, Она шагала по дороге, За ней всегда бежал щенок С одним хвостом, зато стоногий . Она ловила каждый звук Своими десятью ушами, И десять загорелых рук Портфель и поводок держали И десять тёмно-синих глаз Рассматривали мир привычно... Но станет всё совсем обычным, Когда поймёте наш рассказ.

(А.Н.Старков)