Система уроков по теме "Метод координат в пространстве"

4

Урок №1. Декартовы координаты в пространстве

Цели урока:

Образовательные:

• рассмотреть понятие системы координат и координаты точки в пространстве;

• вывести формулу расстояния в координатах;

• вывести формулу координат середины отрезка.

Развивающие:

• способствовать развитию пространственного воображения учащихся;

• способствовать выработке навыка решения задач и развития логического мышления учащихся.

Воспитательные: воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: презентация к уроку, учебник геометрии 7 – 9 (по одному на парту), чертежные принадлежности, каркасная модель куба.

Тип урока: Урок изучения нового материала (2 часа).

Технология обучения: Технология программированного обучения (блочное обучение).

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Введение.

1. Сообщение целей урока.

2. Историческая справка.

3. Мотивация.

1. Изучение нового материала.

1. Актуализация ранее полученных знаний.

2. Осмысление и осознание изученного.

1. Закрепление.

2. Итог урока.

Домашнее задание: п.42, стр. 116, вопросы 1 – 3 – устно, стр. 117 № 500, № 501

Ход урока:

1. (слайды 1 – 2) Оргмомент. Формулировка домашнего задания.

2. Введение.

1. Сообщение целей урока. (слайд 3) Сегодня мы начинаем изучать блок курса геометрии 11 класса «Декартовы координаты и векторы в пространстве». Какую тему созвучную с темой нашего урока мы изучали в 8 классе? Какое ключевое слово определяют эти две темы? (Координаты). В чём различие в названиях? Сегодня на уроке мы будем изучать новый материал, проводя аналогию с уже известным. Делим страницу в тетради пополам.

Мы продолжим изучение декартовой системы координат, и убедимся в том, что координаты в пространстве вводятся также просто, как и координаты на плоскости.

1. Историческая справка. (слайд 4) В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода».

(слайд 5) Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). Декарт был крупнейшим философом и математиком своего времени. Самым известным трудом Декарта является его “Геометрия”. Декарт ввел систему координат, которой пользуются все и в настоящее время. Он установил соответствие между числами и отрезками прямой и таким образом ввел алгебраический метод в геометрию. Эти открытия Декарта дали огромный толчок развитию как геометрии, так и другим разделам математики, оптики. Появилась возможность изображать зависимость величин графически на координатной плоскости, числа - отрезками и выполнять арифметические действия над отрезками и другими геометрическими величинами, а также различными функциями. Это был совершенно новый метод, отличавшийся красотой, изяществом и простотой. В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.

Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее, есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трёхмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и широко использовалась.

1. Мотивация. В своё время Рене Декарт сказал: «… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно». Я предоставлю вам возможность и удовольствие разобраться с декартовой системой координат самостоятельно.

1. (слайд 6) Изучение нового материала. Итак, тема нашего урока: «Декартовы координаты в пространстве».

На уроке будет рассмотрено три темы. Изучение нового материала будет построено на основе сравнительного анализа основных понятий и формул, рассмотренных в планиметрии.

На основе известного материала мы сделаем сравнительную характеристику координатного метода и заполним таблицу.

(слайды 7, 8, 10, 12) На слайдах приготовлена таблица. Точно такая же таблица – в тетрадях. Её необходимо заполнить вместе с учениками. В ходе заполнения таблицы с помощью учебника «Геометрия 7 – 9» (стр. 229 и дальше) повторить основные понятия: декартовы координаты в пространстве, формулу расстояния между точками, формулы координат середины отрезка на плоскости, и попытаться учащимся самим сформулировать основные понятия и формулы в пространстве.

При заполнении первой строки в обоих столбиках, определения только проговорить, в таблице – рисунки, на которых в ходе беседы появятся начало координат, единичный отрезок.

После заполнения левого столбика таблицы ответить на вопросы для заполнения правого столбика первой части таблицы (на слайдах 7 – 8).

1. Попробуйте сформулировать определение декартовой системы координат в пространстве?

2. Назовите оси координат в пространстве? Название, какой оси мы не изучали? (Знакомство с новым словом “аппликата”)

3. Какие плоскости рассматриваются в пространстве?

4. Назовите координату начала координат в пространстве?

5. Какие еще компоненты должна иметь система координат на плоскости и в пространстве? (единичный отрезок)

6. Как задается координата точки на плоскости и в пространстве?

Вывод:

Расскажите, как вводится, декартова система координат в пространстве и из чего она состоит?

(слайд 9) При беседе построить рисунок фронтально-диметрической проекции осей.

Рассмотреть положение осей в соответствии с черчением.

Всё показываю на макете прямоугольной системы координат – каркасной модели куба.

Задание 1. Построить точку с заданными координатами А (1; 2; 3) – я показываю на доске, класс строит в тетрадях.

Задание 2. Построить точку с заданными координатами В (-2; 1; 3) – один на доске, класс строит в тетрадях.

Вопросы для заполнения второй части таблицы (на слайде 10).

1. Запишите формулу расстояния между точками на плоскости.

2. Как бы вы записали формулу расстояния между точками в пространстве?

(слайд 11) Задание 3. (по одному человеку у доски, остальные – в тетрадях) Найти длину отрезка с концами в точках:

Вопросы для заполнения третьей части таблицы (на слайде 12).

1. Как запишутся формулы координат середины отрезка?

2. Как бы вы записали формулы координат середины отрезка?

(слайд 13) Задание 4 (по одному человеку у доски, остальные – в тетрадях) Даны точки: А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0) Найдите координаты точки М - середины отрезка АС, АВ. Является ли точка В серединой отрезка АС?

1. Закрепление изученного

(слайд 14) по учебнику. стр.100 № 400, 401 – устно, № 403 – письменно.

1. Итог урока.

1. (слайд 15) Итак, что мы сегодня изучили?

1. Как вводится, декартова система координат? Из чего она состоит?

2. Как определяются координаты точки в пространстве?

3. Каковы координаты начала координат?

4. Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?

5. Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

1. (слайд 16) Комментарии по домашнему заданию.

2. Оценивание (учитель выставляет оценки за работу на уроке и объявляет их учащимся).

3. (слайд 17) Организационный момент. Спасибо за урок. До свидания.

Карточка для д/з

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника .

____________________________________________________________________________________

Карточка для д/з

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника .

____________________________________________________________________________________

Карточка для д/з

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника .

____________________________________________________________________________________

Карточка для д/з

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника .

Карточка для д/з

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника .

Карточка № 1.

Дано: .

Составьте задачу по этим данным и решите ее.

Карточка № 2.

Дано: .

Составьте задачу по этим данным и решите ее.

3

Урок № 10 Координаты в пространстве.

Цели урока:

Образовательные:

• Повторить, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между двумя векторами;

Развивающие:

• Закрепление у обучающихся навыков в использовании формул при решении задач координатно-векторным методом;

• Развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся;

Воспитательные:

• Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: раздаточный материал, презентация к уроку, чертежные принадлежности, мобильный класс.

Тип урока: урок закрепления изученного материала (2 часа).

Технологии обучения: элементы информационно-коммуникационная технологии, технология проектного обучения.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

1. Повторение изученной теории в ходе проверки теоретического материала при помощи слайдов презентации.

2. Дифференцируемая индивидуальная и фронтальная работа

1. Закрепление и дифференцированная проверка изученного материала.

1. Индивидуальная работа с учащимися по составлению и решению задач.

2. Проверка полученных навыков (самостоятельная работа на карточках, защита проекта).

1. Итог урока.

1. Рефлексия (комментарии по домашнему заданию)

Домашнее задание: карточка на сайте

Ход урока

1. (слайды 1 - 3) Организационный момент.

Сообщить тему урока и его цель, формулировка домашнего задания.

1. Актуализация опорных знаний.

1. Фронтальное повторение изученной теории.

устные упражнения

(слайд 4) Распознай формулы:

• 

• 

• x

• 

• 

(слайд 5) Дано: .

Найдите скалярное произведение векторов , если:

• векторы  сонаправлены;

• векторы противоположно направлены;

• векторы  перпендикулярны;

• угол между векторами  равен 60º;

• угол между векторами равен 120º.

1. Дифференцируемая фронтальная и индивидуальная работа.

Индивидуальная работа по карточкам:

у доски

Карточка № 1.

Дано: .

Составьте задачу по этим данным и решите ее.

на месте

Карточка № 2.

Дано: .

Составьте задачу по этим данным и решите ее.

(К карточкам можно подобрать следующие задания:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника и т. д.)

Обучающийся сам поставит себе задачу, которую способен выполнить. Задача оценивается в зависимости от степени трудности выбранного задания.

фронтальная работа при помощи слайдов презентации.

(слайд 6) Дано:

Найти:

• координаты середины отрезка АВ;

• координаты и длину вектора АВ.

(слайд 7) Найдите скалярный квадрат вектора

(слайд 8) Вычислите скалярное произведение векторов  и , если

(слайд 9) Дан квадрат АВСD. Найдите угол между векторами:

, ,

1. Проверка выполненных заданий по карточкам.

1. Закрепление и дифференцированная проверка изученного материала.

1. (слайд 10) Напиши мне письмо.

На столах у обучающихся карточки с координатами трех точек. Каждая карточка адресована определенному ученику. Задача ученика, получившего карточку, написать задание с предложенными данными для указанного товарища. затем меняются карточками, выполняют предложенные задания и проверяют их.

1. (слайд 11) Защита проектов:

Класс разделён на 5 групп. Учащиеся четырёх групп должны приготовить проект в «Power point», который включает в себя теоретические вопросы с иллюстрациями и практическую часть, содержащую задачи разного уровня сложности. Каждая группа создает программы презентации, состоящие из 5-7 слайдов. Созданные презентации должны соответствовать содержанию (целям и задачам) учебного проекта. Темы презентаций:

• Понятие вектора в пространстве. Применение теории векторов.

• Координаты вектора. Действия с векторами.

• Скалярное произведение векторов. Угол между прямыми в пространстве.

• Простейшие задачи в координатах

Одна группа создаёт буклет – справочник по теме « Векторы. Простейшие задачи в координатах» в программе «Microsoft Publisher». Это своеобразная шпаргалка по данной теме, которая включает в себя основные определения и формулы.

1. Итог урока.

(слайд 12) В конце урока учащиеся оценили презентации одноклассников по следующим критериям:

1. Содержание (отражает цель работы над темой).

2. Корректность текста.

3. Дизайн презентации.

4. Взаимодействие учащихся в процессе работы.

Сделали вывод об эффективности использования данной технологии на повторительно-обобщающем уроке.

(слайд 13) Комментарии по домашнему заданию.

(слайд 14) Спасибо за урок.

приложения

Карточка для д/з

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

• площадь треугольника ;

• среднюю линию треугольника .

Карточка № 1.

Дано: .

Составьте задачу по этим данным и решите ее.

Карточка № 2.

Дано: .

Составьте задачу по этим данным и решите ее.

Домашнее задание

Задачи 14

1. В правильном тетраэдре найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой грани .

2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми и , если отрезок  — высота данной пирамиды, точка  — середина ее бокового ребра .

_____________________________________________________________________________________

Домашнее задание

Задачи 14

1. В правильном тетраэдре найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой грани .

2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми и , если отрезок  — высота данной пирамиды, точка  — середина ее бокового ребра .

_____________________________________________________________________________________

Домашнее задание

Задачи 14

1. В правильном тетраэдре найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой грани .

2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми и , если отрезок  — высота данной пирамиды, точка  — середина ее бокового ребра .

_____________________________________________________________________________________

Домашнее задание

Задачи 14

1. В правильном тетраэдре найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой грани .

2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми и , если отрезок  — высота данной пирамиды, точка  — середина ее бокового ребра .

_____________________________________________________________________________________

2

Урок № 11 Координаты в пространстве.

Цели урока:

Образовательные:

• Повторить, как используется скалярное произведение векторов при решении задач на вычисление углов между двумя прямыми, между двумя векторами;

Развивающие:

• Закрепление у обучающихся навыков в использовании формул при решении задач координатно-векторным методом;

• Развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся;

Воспитательные:

• Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога.

Оборудование: раздаточный материал, презентация к уроку, чертежные принадлежности, мобильный класс.

Тип урока: урок закрепления изученного материала (2 часа).

Технологии обучения: элементы информационно-коммуникационной технологии.

Структура урока:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

1. Повторение изученной теории в ходе решения устных задач.

1. Закрепление и проверка изученного материала.

1. Проверочная работа (аналогичная домашней).

2. Решение задач повышенного уровня по данной теме.

1. Итог урока.

1. Рефлексия (комментарии по домашнему заданию)

Домашнее задание: карточка на сайте

Ход урока

1. (слайды 1 - 3) Организационный момент.

Сообщить тему урока и его цель, формулировка домашнего задания.

1. Актуализация опорных знаний.

1. Фронтальное повторение изученной теории.

устные упражнения

(слайд 4) Даны координаты точек

Найдите:

1. координаты середины отрезка ;

2. длину вектора ;

3. косинус угла между векторами и .

(слайд 5) Дано: .

Найдите значение выражения:  .

1. Закрепление проверка изученного материала.

1. (слайд 6) Проверочная работа. Учитель в это время проверяет в тетрадях домашнее задание.

Дано:

Найти:

• длину отрезка ;

• координаты вектора ;

• координаты середины отрезка ;

• длину вектора , где – середина отрезка, – начало координат;

• угол между векторами  и ;

1. (слайд 7) Решение задач повышенного уровня по данной теме.

(слайд 8) Задача 1. В кубе точки E и K - середины ребер и соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

перед решением обсудить принцип решения, ввести систему координат.

1. (слайд 9) Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите координаты вершин пирамиды и точек Е и К.

2. (слайд 10) Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

1. Итог урока.

1. Сделали вывод об эффективности использования метода координат при решении задач на нахождение углов.

2. (слайд 11) Комментарии по домашнему заданию.

3. (слайд 12) Спасибо за урок.

приложение

Карточка для д/з

задачи С2

1. В правильном тетраэдре найдите угол между высотой тетраэдра и медианой боковой грани .

2. Длины всех ребер правильной четырехугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми и , если отрезок  — высота данной пирамиды, точка  — середина ее бокового ребра .

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по теме «Метод координат в пространстве»

ВАРИАНТ 1

1. Даны координаты точек Найдите:

1. координаты середины отрезка ;

2. длину вектора ;

3. косинус угла между векторами и .

1. При каких значениях k векторы и перпендикулярны?

2. Известно, что . Найдите значение выражения

3. В кубе найдите угол между прямыми и .

4. В правильной четырёхугольной пирамиде , все рёбра которой равны 1, точки К и Е – середины рёбер и соответственно. Найти угол между прямыми и .

критерии оценки

__________________________________________________________________________

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по теме «Метод координат в пространстве»

ВАРИАНТ 2

1. Даны координаты точек . Найдите:

1. координаты середины отрезка ;

2. длину вектора ;

3. косинус угла между векторами и .

1. При каких значениях m векторы и перпендикулярны?

2. Известно, что . Найдите значение выражения

3. В кубе найдите угол между прямыми и .

4. В правильной четырёхугольной пирамиде , все рёбра которой равны 1, точки К и Е – середины рёбер и соответственно. Найти угол между прямыми и .

критерии оценки

ЗДРАВСТВУЙТЕ!

Домашнее задание

• п.42
• стр. 116, вопросы 1 – 3 – устно
• № 402
• стр. 117
• № 500
• № 501

Декартовы координаты в пространстве

Декартовы координаты

на плоскости

в пространстве

«Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода».

“… потомки будут благодарны мне не только за то, что я сказал, но и за то, что я не сказал и тем самым дал им возможность и удовольствие додуматься до этого самостоятельно”.

Р. Декарт

(1596— 1650)

на плоскости

определение

оси

в пространстве

координаты точки

начало координат

ОХ - ос абсцисс

ОУ – ось ординат

ОZ - ось аппликат

ОУ- ось ординат

ОХ- ось абсцисс

Декартовы Координаты

особое расположение точек

на плоскости

в пространстве

на оси OX

на оси OX

на оси OY

на оси OZ

на оси OY

на плоскости XOY

на плоскости YOZ

на плоскости XOZ

Декартова система координат

z

y

0

x

Расстояние между точками

на плоскости

в пространстве

Декартова система координат

Найти длину отрезка АВ, если:

Найти х , если:

АВ=13

Координаты середины отрезка

на плоскости

в пространстве

Декартова система координат

Даны точки:

А(2;3;2), В (0;2;4) и С (4;1;0).

• Найдите координаты точки М - середины отрезка АС .
• Найдите координаты точки К - середины отрезка АВ.

Повторим ещё раз

• Как вводится декартова система координат? Из чего она состоит?
• Как определяются координаты точки в пространстве?
• Каковы координаты начала координат?
• Чему равно расстояние от начала координат до заданной точки?
• Назовите формулу координат середины отрезка и расстояния между точками в пространстве?

Работа с учебником

стр.100

№ 400, 401 – устно,

№ 402 – письменно

Домашнее задание

• п.42
• стр. 116, вопросы 1 – 3 – устно
• № 402 - закончить
• стр. 117
• № 500
• № 501

Спасибо за урок!

ЗДРАВСТВУЙТЕ!

Домашнее задание

• карточка на сайте

Декартовы координаты в пространстве

Распознай формулы!

Найдите скалярное произведение векторов , если:

• векторы  сонаправлены;
• векторы противоположно направлены;
• векторы  перпендикулярны;
• угол между векторами  равен 60º;
• угол между векторами равен 120º.

Найти:

• координаты середины отрезка АВ;
• координаты и длину вектора АВ.

Найти скалярный квадрат

Вычислите скалярное произведение векторов

НАЙТИ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

D

C

B

A

Напиши мне письмо

Составить задачу для указанного адресата, а затем проверить её решение.

Защита проектов

• Понятие вектора в пространстве. Применение теории векторов.
• Координаты вектора. Действия с векторами.
• Скалярное произведение векторов. Угол между прямыми в пространстве.
• Простейшие задачи в координатах
• Буклет-справочник «Векторы»

Защита проектов

• Содержание (отражает цель работы над темой).
• Корректность текста.
• Дизайн презентации.
• Взаимодействие учащихся в процессе работы.

Домашнее задание

• карточка на сайте

Спасибо за урок!

ЗДРАВСТВУЙТЕ!

Домашнее задание

• карточка на сайте

Декартовы координаты в пространстве

Найти:

• координаты середины отрезка MD;
• длину вектора CN;
• косинус угла между векторами CM и ND .

.

Найти значение выражения

Проверочная работа

найти:

• длину отрезка AC;
• координаты вектора ;
• координаты середины отрезка ;
• длину вектора , где M – середина отрезка BC, O – начало координат;
• угол между векторами   и .

Декартовы координаты в пространстве

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С2

17.10.13.

1. В кубе точки E K - середины ребер И соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K - середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Домашнее задание

• карточка на сайте

Спасибо за урок!