Системы аксиом и их различия

ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ

ГИЛЬБЕРТА СИСТЕМА АКСИОМ евклидовой геометрии - система аксиом, предложенная в 1899 Д. Гильбертом (см. [1]). Со времени первой публикации Г. с. а. Д. Гильберт внес в систему аксиом различные изменения и уточнения.

Основными (неопределяемыми) понятиями в Г. с. а. являются объекты: точки, прямые и плоскости и отношения между ними, выражаемые словами: «принадлежит», «между», «конгруэнтен». Природа основных объектов и отношений между ними может быть какой угодно, лишь бы эти объекты и отношения удовлетворяли указанным аксиомам.

Г. с. а. содержит 20 аксиом, к-рые разбиты на пять групп.

I группа состоит из восьми аксиом принадлежности (соединения), к-рые описывают отношение «принадлежит». I₁. Для любых двух точек существует прямая, проходящая через каждую из этих двух точек. I₂. Для двух различных точек существует не более одной прямой, проходящей через каждую из этих двух точек. I₃. На каждой прямой лежат по крайней мере две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. I₅. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует плоскость, проходящая через каждую из этих трех точек. На каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. I₅. Для любых трех точек, не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, проходящей через каждую из этих трех точек. I₆. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости α, то всякая точка прямой а лежит в плоскости α. I₇. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще по крайней мере одну общую точку. I₈. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II группа содержит четыре аксиомы порядка, описывающие отношение «между». II₁. Если точка В лежит между точкой А и точкой С. то А, B, С - различные точки одной прямой и В лежит также между С и А. II₂. Для любых двух точек А и В на прямой АВ существует по крайней мере одна точка С такая, что точка В лежит между А и С. II₃. Среди любых трех точек прямой существует не более одной точки, лежащей между двумя другими. II₄ (аксиома Паша). Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда, если прямая а проходит через внутреннюю точку отрезка АВ, то она проходит также через внутреннюю точку отрезка АС или через внутреннюю точку отрезка ВС.

III группа содержит пять аксиом конгруэнтности, к-рые описывают отношение «конгруэнтен» (это отношение Гильберт обозначает знаком ≡). III₁. Если даны отрезок А В и луч ОХ, то на луче ОХ существует точка В' такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку ОВ', то есть АВ ≡ ОВ'. III₂. Если А'В' ≡ АВ и А''В'' = АВ, то А'В' = А''В''. III₃. Пусть АВ и ВС - два отрезка на прямой, не имеющие общих внутренних точек, а А'В' и В'С' - два отрезка на той же или на другой прямой, тоже не имеющие общих внутренних точек. Тогда, если AB ≡ A'B' и ВС ≡ В'С', то АС ≡ А'С'. III₄. Пусть даны угол АОВ, луч О'А' и полуплоскость П', ограниченная прямой О'А'. Тогда в полуплоскости П' существует один и только один луч О'В' такой, что ∠AOB = ∠A'О'В'. Кроме того, каждый угол конгруэнтен самому себе. III₅. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеем: АВ ≡ А'В', АС ≡ А'С', ∠BAC ≡ ∠B'A'C', то ∠ABC ≡ ∠A'B'C'.

IV группа состоит из двух аксиом непрерывности. IV₁ (аксиома Архимеда). Пусть АВ и CD -два каких-нибудь отрезка. Тогда на прямой АВ существует конечное множество точек А₁, А₂, ..., А_n таких, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежит между A₁ и A₃ и т. д., причем отрезки АА₁, А₁А₂, ..., А_n-1А_n конгруэнтны отрезку CD и В лежит между А и A₁. IV₂ (аксиома Кантора). Пусть на какой-либо прямой а дана бесконечная последовательность отрезков A₁B₁, А₂В₂, ..., удовлетворяющая двум условиям: а) каждый последующий отрезок есть часть предыдущего, б) для любого наперед заданного отрезка CD найдется натуральное число n такое, что A_nB_n 

V группа содержит одну аксиому о параллельных. Пусть даны прямая а и точка А, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой прямой а и точкой, существует не более одной прямой, проходящей через точку А и не пересекающей прямую а.

(У Д. Гильберта IV группа - аксиома о параллельных, V группа - аксиомы непрерывности.)

Все остальные понятия евклидовой геометрии определяются с помощью основных понятий Г. с. а., а все предложения о свойствах геометрич. фигур, не содержащиеся в Г. с. а., должны быть доказаны чисто логич. выводом из этих аксиом (или предложений, полученных таким же путем).

Г. с. а. обладает свойством полноты; она непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел. Если в Г. с. а. заменить аксиому о параллельных ее отрицанием, то полученная новая система аксиом тоже непротиворечива (система аксиом геометрии Лобачевского), т. е. аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом Г. с. а. Можно установить независимость нек-рых других аксиом Г. с. а. от остальных аксиом этой системы.

Г. с. а. является первым достаточно строгим обоснованием евклидовой геометрии.

Система аксиом Атанасяна.

В учебнике Атанасяна Л.С. приводится следующая формулировка аксиом.

Первая группа аксиом характеризует взаимное расположение точек, прямых и плоскостей.

1. На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере дветочки.

2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и покрайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

4. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскостьи притом только одна.

5. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат вэтой плоскости.

6. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, накоторой лежат все общие точки этих плоскостей.

7. Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

Иногда вместо слов "точка В лежит между точками А и С" говорят, что точки А и С лежат по разные стороны от точки В, или точки А и В лежат по одну сторону от точки С.

8. Каждая точка О прямой разделяет её на две части - два луча - так, чтолюбые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, алюбые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. Приэтом точка О не принадлежит ни одному из указанных лучей.

При этом отрезком АВ называется геометрическая фигура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих между ними. Если отрезок АВ и прямая а лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, то говорят, что точки А и В лежат по одну сторону от прямой а; если же отрезок АВпересекается с прямой а в некоторой точке, лежащей между А и В, то говорят, что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.

9. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на двечасти (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той жеполуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а любые две точкиразных полуплоскостей лежат по разные стороны прямой а. При этом точкипрямой а не принадлежат ни одной из этих полуплоскостей.

Если отрезок не имеет общих точек с данной плоскостью, то говорят, что концы отрезка лежат по одну сторону от плоскости; если же отрезок пересекается с плоскостью в некоторой своей внутренней точке, то говорят, что концы отрезка лежат по разные стороны от плоскости.

10. Каждая плоскость б разделяет пространство на две части (дваполупространства) так, что любые две точки одного и того жеполупространства лежат по одну сторону от плоскости б, а любые две точкиразных полупространств лежат по разные стороны от плоскости б.

При этом точки плоскости б не принадлежат ни одному из указанных полупространств. Плоскость б называется границей каждого из полупространств.

Следующая группа аксиом относится к понятиям наложения и равенствафигур.

Под наложением мы понимаем отображение пространства на себя. Однако не всякое отображение пространства на себя называется наложением.

Наложения - это такие отображения пространства на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах 11-17. в формулировках этих аксиом используется понятие равенства фигур, которое определяется так: пусть Ф и Ф₁ - две фигуры; если существует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру Ф₁, то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить с фигурой Ф₁ или что фигура Ф равна фигуре Ф₁.

11. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаютсяи сами отрезки.

12. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, ипритом только один.

13. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равныйданному неразвернутому углу, и притом только один.

14. Два равных угла hk и h₁k₁, лежащие в плоскостях, являющихся границамиполупространств P и P₁, можно совместить наложением так, что при этомсовместятся полупространства P и P₁, причем это можно сделать двумяспособами: в одном случае совместятся лучи h и h₁, k и k₁, а в другом лучи hи k₁, k и h₁.

15. Любая фигура равна самой себе.

16. Если фигура Ф равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.

17. Если фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂ равна фигуре Ф₃, то фигураФ₁ равна фигуре Ф₃.

Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Прежде чем их сформулировать, напомним как измеряются отрезки. Пусть АВ - измеряемый отрезок, PQ - выбранная единица измерения отрезков.

18. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезкавыражается положительным числом.

Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка данной длины.

19. При выбранной единице измерения отрезков для любого положительногочисла существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

И последняя аксиома в стереометрии, как и в планиметрии, есть аксиома параллельных прямых.

20. В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этойплоскости, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Система аксиом Погорелова.

Рассмотрим еще одну из современных аксиоматических построений евклидовой геометрии на основе аксиом, предложенных украинским геометром академиком А.В. Погореловым, которая ближе всего стоит к школьному курсу геометрии.

Основными объектами в системе аксиом Погорелова – это точка, прямая и плоскость, а основными отношения – «принадлежность», «лежать между», «длина», «градусная мера». Система аксиом состоит из девяти аксиом планиметрии и трех аксиом стереометрии.

I группа. Аксиомы принадлежности

Аксиомы принадлежности на плоскости определяют свойства взаимного расположения точек и прямых, которые определяются отношением «принадлежать». При этом считается равнозначным выражения: «точка принадлежит прямой»; «точка лежит на прямой»; «прямая проходит через точку».

 . Каковы бы ни были две точки, существует прямая, которая проходит через эти точки, и причем только одна.

 . На каждой прямой лежат, по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

II группа. Аксиомы порядка

Эти аксиомы выражают свойства взаимного расположения точек на прямой, то есть объясняется отношение «лежать между».

 . Из трех точек одна и только одна лежит между двумя другими.

 . Прямая разбивает множество точек плоскости, которые ей не принадлежат, на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок соединяет точки одной полуплоскости, не пересекает прямую, а отрезок, который соединяет точки разных полуплоскостей, пересекается этой прямой.

III группа. Аксиомы меры для измерения углов

Эти аксиомы определяют понятие «длина отрезка», «градусная мера угла».

 . Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Если точка С лежит на отрезке АВ, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.

 . Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен   . Если луч с проходит между сторонами угла (ав), то градусная мера угла (ав) равна сумме градусных мер углов (ас) и (вс).

IV группа. Аксиома существования треугольника, равного данному.

На основе аксиом меры для отрезков и углов можно ввести отношение равности для отрезков, углов и треугольников.

 . Пусть АВС – треугольник и а – луч. Тогда существует треугольник   равного треугольнику АВС, в котором вершина   совпадает с началом луча а, вершина   лежит на луче а, а вершина   лежит в заданной полуплоскости относительно прямой, которая определяется лучом а.

V группа. Аксиома существования отрезка данной длины

 . Каким бы ни было действительное число   , существует отрезок длины d.

VI группа. Аксиома параллельности

 . Через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

VII группа. Пространственные аксиомы

 .Какова бы ни была плоскость, существуют точки, которые принадлежат этой плоскости, и точки, которые ей не принадлежат.

 .Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

 .Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и причем только одну.

Сравнительный анализ аксиоматики Гильберта и системы аксиом школьного учебника Атанасяна Л.С.

Аксиоматика Гильберта содержит 20 аксиом, которые поделены на 5 групп.

I группа Аксиомы принадлежности

Аксиомы Гильберта этой группы описывают свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.

В учебнике Атанасяна аксиомы этой группы также характеризуют взаимное расположение точек, прямых и плоскостей. Но в аксиоматике Гильберта их всего восемь, а в учебнике Атанасяна к этой группе аксиом относится десять аксиом. Гильберт в своих аксиомах использует названия точек А и В, названия плоскостей и , а также название прямой а. В учебнике же не используются названия точек, кроме точки О, которая фигурирует как разделительная точка прямой, также имеются названия прямой и плоскости. В школьную аксиоматику включены аксиомы, имеющие понятие луча, полуплоскости и полупространства, чего нет в I группе аксиоматики Гильберта. Ещё одной особенностью аксиом данной группы является то, что в аксиоматике Гильберта используется термин "Каковы бы ни были две точки…", а с другой стороны в школьном учебнике используется термин "Через любые две (три) точки…".

Аксиомы Атанасяна с 1 по 7 построены более упрощенно для понимания школьника, но каждая из аксиом с 8 по 10 дают сразу несколько разных отношений для плоскостей, точек, лучей, пространства и полупространства, что может вызвать затруднение в общем понимании отдельно взятой аксиомы.

Попробуем провести соответствие аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника Атанасяна:

I₁ Каковы бы ни были две точки A и B, существует прямая a, проходящаячерез эти точки.

I₂ Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой,проходящей через эти точки.

Этим аксиомам соответствует аксиома учебника:

Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

Следующая аксиома Гильберта:

I₃ На каждой прямой лежит, по крайней мере, две точки. Существует, покрайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой.

Аксиома учебника включает также понятие плоскости:

На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере дветочки.

Аксиомы Гильберта:

I₄ Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой,существует плоскость , проходящая через эти точки. На каждой плоскостилежит хотя бы одна точка.

учебник геометрия аксиома гильберт

I₅ Каковы бы ни были три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, существуетне более одной плоскости, проходящей через эти точки.

Им соответствует одна аксиома учебника:

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость ипритом только одна.

Аксиома Гильберта:

I₆ Если две точки А и В прямой а лежат в плоскости , то каждая точка прямой алежит в плоскости . Ей соответствует:

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этойплоскости.

Аксиома Гильберта:

I₇ Если две плоскости и имеют общую точку А, то они имеют еще, по крайней мере,одну общую точку В. В соответствие этой аксиоме:

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которойлежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиома Гильберта:

I₈ Существуют, по крайней мере, четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Ей соответствует аксиома:

Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой, и по крайнеймере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

Следующие аксиомы школьного учебника содержат такие понятия, как "принадлежать", "лежать между" и входят в состав одной (первой) группы аксиом:

1. Каждая точка О прямой разделяет её на две части - два луча - так, что любыедве точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые дветочки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. При этом точка О непринадлежит ни одному из указанных лучей.

2. Каждая прямая а, лежащая в плоскости, разделяет эту плоскость на две части(две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскостилежат по одну сторону от прямой а, а любые две точки разных полуплоскостейлежат по разные стороны прямой а. При этом точки прямой а не принадлежат ниодной из этих полуплоскостей.

3. Каждая плоскость б разделяет пространство на две части (дваполупространства) так, что любые две точки одного и того же полупространствалежат по одну сторону от плоскости б, а любые две точки разныхполупространств лежат по разные стороны от плоскости б.

II группа Аксиомы порядка

Вторая труппа аксиом Гильберта описывает основные свойства неопределяемого отношения "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой.

II₁ Если точка В лежит между точками А и С, то А.В. С - различные точки однойпрямой и В лежит также между С и А.

II₂ Для любых двух точек А и С на прямой АС существует по крайней мере однаточка В такая, что С лежит между А и В.

II₃ Из трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.

II₄ Пусть А, В. С - три точки, не лежащие на одной прямой, и а - прямая в плоскости(АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В.С. Тогда если прямая а проходитчерез одну из точек отрезка АВ, то она проходит также через одну из точекотрезка АС или через точку отрезка ВС.

Аксиоме II₂ и II₃ соответствует следующая аксиома школьного учебника:

Из трёх точек прямой одна, и только одна, лежит между двумя другими.

Во II группу аксиом Гильберта не входят такие понятия как пространство, полупространство, луч, полуплоскость. Об этом говорилось выше.

III группа Аксиомы конгруэнтности

Основным неопределяемым понятием в этой группе аксиом Гильберта является понятие "конгруэнтности", или "равенства", отрезков и углов. Будем использовать слово равенство и обозначения: AB = CD (для отрезков) и или ; (для углов).

III₁ Если А и В - две точки прямой а и А' - точка на той же прямой или на другойпрямой , то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а' такуюточку , что АВ = A. Для каждого отрезка АВ требуется АВ = ВА. '

III₂ Если и , то .

III₃ Пусть АВ и BC - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, ипусть и В'С' - два отрезка на той же или другой прямой , тоже не имеющие общихточек. Если и , то .

III_4. Пусть в некоторой плоскости даны угол hk и луч h'. Тогда в заданнойполуплоскости относительно прямой, содержащей луч , существует иединственный луч k' такой, что , и все внутренние точки лежат в заданнойполуплоскости. Каждый угол равен самому себе: .

III₅ Пусть А, В, С - три точки, не лежащие на одной прямой, и - тоже три точки, нележащие на одной прямой. Если при этом и , то и .

Сравним эту группу аксиом с аксиомами учебника Атанасяна.

Во-первых: Гильберт не использует такое понятие как "наложение".

Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и самиотрезки.

Также нет в аксиомах Гильберта такого понятия как "неразвернутый угол".

От любого луча в данную полуплоскость можно отложить угол, равный данномунеразвернутому углу, и притом только один.

На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притомтолько один.

Во-вторых, в школьном учебнике практически нет обозначений отрезков, углов, которые используются у Гильберта, но введено такое понятие как "фигура", обозначается буквой Ф. И если у Гильберта рассматривается равенство отрезков, как в аксиоме III_{2, т}о у Атанасяна рассматривается равенство фигур.

Если фигура Ф равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.

Если фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂ равна фигуре Ф₃, то фигура Ф₁ равнафигуре Ф₃.

В аксиоме Гильберта III₄ имеется утверждение: Каждый угол равен самому себе: . В аксиоматике Атанасяна имеется отдельная аксиома:

Любая фигура равна самой себе.

Имеется также аксиома, показывающая совмещение углов наложением:

Два равных угла hk и h₁k₁, лежащие в плоскостях, являющихся границамиполупространств P и P₁, можно совместить наложением так, что при этомсовместятся полупространства P и P₁, причем это можно сделать двумяспособами: в одном случае совместятся лучи h и h₁, k и k₁, а в другом лучи h и k₁, kи h₁.

IV группа. Аксиомы непрерывности

Основное назначение этой группы аксиом состоит в том, чтобы ввести длину отрезка и величину угла, а также описать свойства непрерывности расположения точек на прямой.

IV₁. Пусть АВ и CD - произвольные отрезки. Тогда на луче АВ существует конечноечисло точек , расположенных так, что точка А₁ лежит между А и А₂, точка А₂ лежитмежду А₁, и А₃ и т.д., отрезки равны отрезку СD и точка В лежит между А и А_п.

IV_2. Пусть, на какой угодно прямой а, дана бесконечная последовательностьотрезков , из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего; пустьдалее, каким бы ни был заранее данный отрезок, найдется номер n, для которогоменьше этого отрезка. Тогда на прямой а существует точка, лежащая внутри всехотрезков .

В учебнике Атанасяна эта группа аксиом представлена двумя аксиомами, которые характеризуют измерение отрезков:

При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражаетсяположительным числом.

При выбранной единице измерения отрезков для любого положительного числасуществует отрезок, длина которого выражается этим числом.

V группа Аксиома параллельности

У Гильберта данная аксиома звучит так:

V. Даны: прямая а и, не принадлежащая ей, точка A. В плоскости, определяемойпрямой а и точкой A, существует не более одной прямой, проходящей через точкуA и параллельной прямой а.

В учебнике Атанасяна дана очень схожая формулировка, не имеющая, правда обозначений для плоскости, прямой и точки.

В любой плоскости через точку, не лежащую на данной прямой этой плоскости,проходит только одна прямая, параллельная данной.

Выводы

Рассматривая аксиоматику Гильберта и аксиоматику школьного учебника Л.С. Атанасяна можно прийти к следующим выводам.

Наибольшую схожесть аксиом Гильберта и аксиом школьного учебника можно отметить в первой группе аксиом (аксиомы принадлежности), где почти для каждой аксиомы Гильберта можно соотнести аксиому из школьного учебника. Отличие состоит лишь в том, какие термины при этом используются. В школьном учебнике, по моему мнению, дана более упрощенная формулировка некоторых аксиом. В одной аксиоме также может обобщаться две аксиомы Гильберта и, как можно было заметить, в школьном учебнике практически не используются обозначения для точек, прямых и плоскостей.

Во второй группе аксиом (аксиомы порядка) в аксиоматике Гильберта выстроен целый ряд аксиом для неопределяемого понятия "лежать между" для точек, расположенных на одной прямой. С другой стороны в аксиоматике школьного учебника присутствует единственная схожая аксиома, но имеются аксиомы описывающие расположение точек на разных лучах, полупространствах, полуплоскостях, что существенно отличает их от аксиом Гильберта.

Третья группа аксиом школьного учебника в своей основе имеет такое понятие как наложение, т.е. отображение пространства на себя, чего нет в аксиомах Гильберта. Атанасян использует в этих аксиомах понятие равенства фигур, не уточняя, каких именно, в то время как Гильберт рассматривает равенство отрезков и углов.

Четвертая группа аксиом Гильберта довольно широко и полно описывает длину отрезка и величину угла, а также свойства непрерывности расположения точек на прямой с использованием обозначений. В школьном учебнике кратко и просто сформулированы две аксиомы, связанные лишь с измерением отрезков.

Аксиомы пятой группы и Гильберта и в школьном учебнике представлены лишь одной аксиомой (аксиома параллельности). Различие состоит лишь в том, что Гильберт использует обозначения в аксиоме, а школьный учебник в более упрощенной форме описывает ту же самую аксиому.

Таким образом, аксиоматика Гильберта хоть и схожа с аксиоматикой школьного учебника, но имеет при этом существенные отличия. По моему мнению, аксиомы учебника представлены в более упрощенном виде специально для усвоения их школьниками. Аксиомы построены с использованием других терминов, но, по сути, являются выводами или следствиями аксиом Гильберта.

Гильберт подходил к выстраиванию своих аксиом с научной точки зрения, т.к. он проводил исследования не только аксиом геометрии, но и исследовал аксиомы других наук. И такой метод, и стиль их представления вполне соответствовал, как говорится, месту и времени.

Сравнительный анализ аксиоматики школьного курса геометрии по учебнику А.В. Погорелова и аксиоматики Давида Гильберта.

Сравнивая аксиоматику школьного курса в книге А.В. Погорелова и систему аксиом Гильберта мы выделили основные понятия, используемые в них. Так в школьном курсе основные понятия это точки, прямые, плоскости и отрезок, также используются понятия полуплоскости. Где определения этих понятий учитель обьясняет на практике, путем построений и конкретных жизненных примеров. Например, определяя точку - просто ставит её на доске мелом, плоскость - это бесконечная плоскость доски, парты и т.д. Понятие прямой даётся практическим путём: возьмите линейку и проведите линию, представьте что эта линия бесконечна - это и есть прямая. В школьном курсе даются скорее понятия чем определения, они неточны и неполны, но для обывателя, который в будущем не планирует заниматься высшей математикой, они являются достаточными. Гильберт использует следующие основные понятия: точка, прямая, плоскость. Однако, в отличие от школьного курса, он не дает вообще никаких определений: всё что надо знать о основных понятиях содержится в аксиомах. Понятие движения появляется позже, после группы аксиом конгруэнтности. Таким образом, основные понятия в аксиоматике Гильберта - неопределяемые.

Также в аксиоматике можно выделить отношения между основными понятиями. Школьный курс: точка принадлежит прямой (прямая проходит через точку), точка принадлежит плоскости (плоскость проходит через точку), прямая лежит на плоскости, точка лежит между двумя другими точками. Аксиоматика Гильберта: принадлежность, лежать между, «конгруэнтность» (Две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую при помощи движения).

Прежде чем приступить к подробному анализу данных аксиом хотелось бы отметить что в школьном курсе объяснение аксиом даётся практическим путём: построили, увидели что больше никаких вариантов построения нет и всё. Таким же образом решаются и задачи данного курса. В аксиоматике Гильберта подразумевается наличие множества точек, множества прямых и множества плоскостей. Если есть две точки, то к ним обязательно «прибежит» прямая из множества прямых. Появились три точки? Значит к ним уже «спешит» плоскость из множества плоскостей. Аксиомы даются на «чистой» логике и последующие задачи решаются логическим путём. В системе аксиом Гильберта выделены некоторые группы аксиом, попробуем разбить на группы и аксиоматику Погорелова.

1. Аксиомы принадлежности.

1.1 Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

1.2 Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

2. Аксиомы порядка.

2.1 Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

2.2 Прямая, лежащая в плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

3. Аксиомы меры для углов и отрезков.

3.1 Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

3.2 Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180 градусов. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

3.3 Каково бы ни было вещественное число d большее нуля, существует отрезок длины d.

4. Аксиома о существовании треугольникa, равного даннoму.

4.1 Какoв бы ни был треугoльник, существует рaвный ему треугoльник в даннoй плоскoсти в задaнном распoложeнии относительнo даннoй полупрямoй в этой плoскости.

5. Аксиома о параллельных прямых.

5.1 На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

6. Аксиомы стереометрии.

6.1 Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки не принадлежащие ей.

6.2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

6.3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Замечание: Аксиомы групп 1-5 (планиметрия) и аксиомы группы 6 (стереометрия) представляют собой группу аксиом стереометрии.

В каждой из данных аксиоматик выделены несколько групп аксиом. Школьный курс геометрии, А.В.Погорелов:

1. Аксиомы принадлежности (2).

2. Аксиомы порядка (2).

3. Аксиомы меры для отрезков и углов (3).

4. Аксиома существования треугольника, равного данному (1).

5. Аксиома параллельных (1).

6. Аксиомы стереометрии (3).

Аксиоматика Гильберта:

1. Аксиомы принадлежности (8).

2. Аксиомы порядка (4).

3.Аксиомы конгруэнтности (5).

4. Аксиомы непрерывности (2).

5. Аксима параллельности (1).

Замечание: Изначально у Гильберта существовала 21 аксиома, в 1902 году Э.Х. Мур доказал что она является избыточной.

«Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A,B,C и D так, чтобы точка В лежала между точками А и С, а также между А и D,точка С - между A и D, а также между B и D»

Рассматривая аксиомы первой группы Гильберта мы увидели, что с их помощью можно доказать несколько теорем, которые в школьном курсе берутся без доказательства, как очевидные.

1. Две прямые имеют не более одной общей точки.

2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих двух плоскостей.

3. Через прямую и не лежащую на ней точку, так же как через две пересекающиеся прямые, проходит одна и только одна плоскость.

4. На каждой плоскости существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

Имея аксиомы первой и второй группы мы можем доказать многие факты геометрии, с их помощью вводятся ряд определений. Уже можно доказать что между любыми точками существует хотя бы одна точка, а следовательно и любой отрезок (прямая) содержит бесконечное множество точек. Но с помощью этих теорем нельзя доказать что это множество точек нельзя сосчитать. Можно также доказать, что аксиома Паша верна и в том случае когда точки А, В, С лежат на одной прямой, а также если прямая пересекает какие-либо два отрезка из трёх отрезков то она не пересекает третий отрезок. С помощью аксиомы 2.3 можно доказать из трёх точек прямой одна всегда лежит между двумя остальными.

Аксиомы первой и второй группы позволяют ввести понятия полуплоскости, полупространства и луча.

С помощью аксиом конгруэнтности (третья группа) можно доказать следующие теоремы из школьного курса:

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2. Признаки равенства треугольников.

3. В каждом треугольнике против большей стороны лежит больший угол и обратно: против большего угла лежит большая сторона.

4. Любой отрезок имеет одну и только одну середину. и т.д.

Заметим также, что Гильберт сделал признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними аксиомой 3.5. В аксиоматике школьного курса этот постулат принято доказывать(впервые доказал Хр.Вольф) а у Гильберта это следует из аксиом конгруэнтности. В школьном курсе признаки равенства треугольников доказываются методом «наложения», как изначально предлагал Евклид.

Теорема 1: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим АВС=А₁В₁С₁, у которых АВ= А₁В_1, АС= А₁С₁, А=А_1.

Докажем, что ДАВС и ДА₁В₁С₁.

Так как А=А₁, то ДАВС можно наложить на ДА₁В₁С₁ так, что вершина А совместится с вершиной А₁, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Поскольку АВ= А₁В_1, АС= А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В_1, а сторона АС - со стороной А₁С₁; в частности, совместятся точки В и В_1, С и С₁. Следовательно совместятся стороны ВС и В₁С₁. Итак, треугольники АВС и ДА₁В₁С₁ полностью совместятся, значит, они равны. ч.т.д.

Теорема 2: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

Рассмотрим ДАВС и ДА₁В₁С₁, у которых АВ= А₁В_1, А=А₁, В=В₁. Докажем, что ДАВС =ДА₁В₁С₁. Наложим ДАВС на ДА₁В₁С₁ так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, а стороны АВ с равной ей стороной А₁В₁ ,а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁. Так как А=А₁ В=В₁, то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС - на луч В₁С₁. Поэтому вершина С - общая точка сторон АС и ВС - окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче В₁С₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей - вершиной С₁. Значит, совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁. Итак, ДАВС и ДА₁В₁С₁ полностью совместятся, поэтому они равны. ч.т.д.

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство:

Рассмотрим ДАВС и ДА₁В₁С₁, у которых АВ= А₁В_1, АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁. Докажем, что ДАВС =ДА₁В₁С₁. Приложим ДАВС к ДА₁В₁С₁, так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, вершина В - с вершиной В₁ ,а вершины С и С₁ оказались по разные стороны от прямой А₁В₁. Возможны три случая:

1) луч СС₁ проходит внутри А₁В₁С₁;

2) луч СС₁ совпадает с одной из сторон этого угла;

2) луч СС₁ проходит вне А₁В₁С₁.

Рассмотрим первый случай (остальные случаи доказываются аналогично). Так как по условию теоремы стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С₁ равны, ДА₁С₁С и ДВ₁С₁С - равнобедренные. По теореме о сумме углов равнобедренного треугольника 1=2, 3=4, поэтому А₁СВ₁= А₁С₁В₁. Итак, АС=А₁С₁, ВС=В₁С₁, С = С₁. Следовательно, ДАВС и ДА₁В₁С₁ равны по первому признаку равенства треугольников. Ч.т.д.

Теорема 1. Если у двух треугольников ABC и A'B'C' имеем АВ=А'В', АС=А'С', А=А', ДАВС=А'В'С'.

Доказательство:

По аксиоме III. 5. имеем С=С', а также В=В'. Остается доказать, что ВС=В'С'. Предположим, что ВС?В'С'. По аксиоме III. 1. на луче В'С' существует такая точка D, что ВС=В'D. Тогда для ДАВС и ДА'В'С' имеем: АВ=А'В', ВС=В'D, В=В', а потому по аксиоме III. 5.ВАС=В'А'D'. Но по условию АВС=А'В'С'. т.е. по одну сторону луча А'В' существуют два разных луча АС и А'D, такие, что ВАС=В'А'С' и ВАС=В'А'D', что противоречит аксиоме III. 4.. Следовательно, ВС=В'С' и ДАВС= ДА'В'С'. ч.т.д.

Теорема 2. Если у двух треугольников ДАВС и ДА'В'С', у которых АВ= А'В'_, А=А', В=В', то ДАВС=ДА'В'С'

Доказательство:

Надо доказать, что АС =А'С', ВС ='В'С' и С=С'. предположим, что АС не равно А'С'. по аксиоме III.1. на луче А'С' существует такая точка D, что АС =А'D. тогда (по теореме Первый признак конгруэнтности) ДАВС=ДА'В'D. Но в таком случае В= А'В'D, в то же время ВС= А'В'С', т.е. получаем противоречие с аксиомой III.4. Следовательно, АС=А'С'. отсюда по первому признаку конгруэнтности ДАВС=ДА'В'С'. Ч.т.д.

Теорема 3. Если у треугольников ДАВС и ДА'В'С' АВ= А₁В_1, АС=А'С', АВ=А'В', ВС=В'С', то ДАВС=ДА'В'С'.

Доказательство:

Требуется доказать, чтоА=А', В=В', С=С'. по аксиоме III.4. существует луч А'С'' по другую сторону от А'В', нежели тоска С', такой, что ВАС=В'А'С'', а по аксиоме III.1. на этом луче существует точка С'' такая, что АС=А 'С''. По аксиоме III.2. А 'С '=А 'С''. По теореме о Первом признаке конгруэнтности ДАВС=ДА'В'С''. Отсюда ВС='В'С'', а так как ВС='В'С', то по аксиоме III.2. ВС='В'С''. Таким образом, треугольники ДА'С'С'' и ДВ'С'С'' - равнобедренные. По теореме (В равнобедренном треугольнике углы при основании конгруэнтны) 1= 2 и 3= 4. По теореме А'С'В'= А'С''В'. По теореме о первом признаке конгруэнтности ДА'В'С'= А'В'С''. Но отсюда еще нельзя делать заключения, что ДАВС= ДА'В'С', ибо не доказано свойство транзитивности конгруэнтности углов, а значит, и треугольников. Допустим, чтоВАС не равен В'А'С'. Тогда в силу аксиом III.1. и III.4. существуют с той же стороны, что и точка С', луч А'Х и на нем точка С₁ такие, что ВАС=В'А'Х и АС=А'С₁. По теореме о первом признаке конгруэнтности ДАВС= ДА'В'С₁ и, следовательно, ВС=В'С₁. Далее, в силу аксиомы III.2. А'С'' =А'С₁ и В'С'' =В'С₁. Затем совершенно таким же путем, как мы доказывали, что Д А'В'С'= ДА'В'С'', мы теперь докажем, что ДА'В'С₁= Д А'В'С''. Отсюда следует, что В'А'С₁= В'А'С''. Но мы ранее доказали, что В'А'С'= В'А'С'' (ибо ДА'В'С'= ДА'В'С''), а это противоречит аксиоме III.4. Следовательно, ВАС=В'А'С', а поэтому в силу теоремы о первом признаке конгруэнтности ДАВС= А'В'С'. Ч.т.д.

Как уже было сказано выше в школьном доказательстве признаков равенства треугольников используется метод «наложения» . Доказательство основано также на построениях движении. Гильберт же даёт строго логическое доказательство используя уже доказанные аксиомы и построения здесь лишь вспомогательный, а не основной инструмент доказательства.

По учебнику Погорелова аксиомы 2.2, 3.2, 4.1, 5.1 требуют уточнений и доказательства (В планиметрии рассматривается одна плоскость, а в стереометрии плоскостей бесконечно много).

1. Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

2. От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 градусов, и только один.

3. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

4. На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиому 1.2 мы выделили также потому, что здесь она дается как аксиома без доказательства. А у Давида Гильберта её можно доказать лишь после введения аксиом первой и второй групп.

Аксиому Гильберта о том, что: «Если две различные точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости » в школьном курсе геометрии Погорелова рассматривают как теорему.

В принципе Погорелов предлагает более-менее разработанную систему аксиом, нет только некоторых деталей и очень трудных для школьников (возрастные особенности развития) аксиом непрерывности.

Аксиомы геометрии не подбираются произвольно, к ним предъявляются требования независимости, полноты и непротиворечивости. Приведённая выше система аксиом Погорелова удовлетворяет всем требованиям, что доказал сам Погорелов.