Системы счисления

ГБПОУ ВО «Воронежский политехнический техникум»

Системы счисления

Преподаватель: Т.А. Михайлова

Воронеж, 2018

• Система счисления – это способ наименования и представление чисел с помощью символов. Такие символы в любой системе счисления называются цифрами.
• Алфавит системы счисления – это совокупность символов, используемых в данной системе счисления.

Системы счисления

позиционные

непозиционные

Система счисления, в которой значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.

К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, двенадцатеричная, шестнадцатеричная и др. Основание позиционной системы счисления (q) – количество символов, используемых для записи числа.

Система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Н-р: римская система счисления, алфавитная система счисления.

Римская система счисления

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Римская система счисления

Задание:

1. Переведите числа из римской системы счисления в десятичную – LXXXVI. XLIX. CMXCIX.

2. Запишите десятичные числа в римской системе счисления – 464, 390, 2648.

3. Где в настоящее время используется римская система счисления.

• Укажите какие числа записаны с ошибками. Ответ обоснуйте.

156 7 ; 3005,23 4 ; 185,794 8 ; 1102 2 ; 1345,52 6 ; 112,011 3 ; 16,545 5 .

• В любой системе счисления натуральные числа, меньшие основания q, представляются с помощью одной цифры данной системы. Если число больше или равно q, то требуется две и более цифр.

Представление первых чисел

в некоторых системах счисления

q=10

q=2

0

0

1

q=3

2

0

q=4

1

10

0

3

q=5

1

4

1

q=6

11

0

2

2

100

10

1

5

3

2

11

101

6

110

10

3

12

7

20

4

8

11

111

1000

12

10

21

9

10

11

13

1001

22

1010

20

12

100

13

101

21

22

14

20

q=16 - 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)

Задание: заполните таблицу для q=6.

Представление чисел в позиционных системах счисления

разряды 2 1 0 -1 -2

N 10 = 3 4 8, 1 2 = 3*10 2 + 4*10 1 + 8*10 0 + 1*10 -1 + 2*10 -2

Свернутая форма записи числа развернутая форма записи числа

Любое действительное число можно записывать в любой позиционной системе счисления в виде суммы положительных и отрицательных степеней числа q (основания системы).

Задание5: Запишите в развернутой форме числа: N 8 =7764,1= N 5 =2430,43=

Задание6: Запишите число в десятичной системе счисления: 11011 2 =……, 423,1 5 =……, 5А,121 1 6 =…….

Пример:

1011,012=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=8+2+1+¼=11 ¼.

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную (N 10  N 2 )

22 10 =10110 2

• Способ – деление на основание системы счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления (N 10  N 2 ) (умножением на 2)

0,

5625

1

2

1250

0

2

0

2500

2

5000

1

2

0000

• Пример: 0,5625 10 = N 2 = 0,1001 2

Задание 10: переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления с точностью до 6 знаков после запятой:

0,7 10 0,4622 10 0,5198 10 0,5803 10

Перевод смешанных чисел из десятичной системы счисления в двоичную

• Алгоритм перевода:
• 1) перевести целую часть;
• 2) перевести дробную часть;
• 3) сложить полученные результаты.

Пример : перевести 17,25 10 в двоичную систему счисления.

Решение:

• 17 10 = 10001 2
• 0,25 10 = 0,01 2
• 17,25 10 = 10001,01 2

Задание 11: переведите в двоичную систему счисления числа: 40,5 10

Задание. В системе счисления с некоторым основанием

десятичное число 12 записывается как 110. Найдите это основание.

Решение.

Сначала распишем число 110 через формулу записи чисел в позиционных системах счисления для нахождения значения в десятичной системе счисления, а затем найдем основание методом перебора.

Значит основание системы счисления равно 3.

Ответ. Искомое основание системы счисления равно 3.