Системы счисления

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ РЕСПУБЛИКИ АДЫГЕЯ

АДЫГЕЙСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИМ. Х. АНДРУХАЕВА

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА По предмету: «Информатика» Методические рекомендации по теме: «Системы счисления»

Составитель: Шишхова З.Р.

2017 г.

Примеры решения к ЕГЭ по темам "Системы счисления"

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для студентов любой формы обучения по предмету: Информатика. Может использована педагогами для проведения уроков по данной теме, для организации самостоятельной работы учащихся, а также для подготовке к ЕГЭ по информатике.

Учебно-методическая разработка содержит весь необходимый материал для проведения уроков информатики по теме “Системы счисления”: теоретический материал, разбор решения типовых задач, задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Также содержит примеры заданий из ЕГЭ.

Для подготовки студента к ЕГЭ по информатике у преподавателя всегда должны быть под руками соответствующие электронные продукты – обучающие, контролирующие, моделирующие. Моя разработка – продукт, представляющий примеры решения задач по темам “Системы счисления” (см. Приложение1.)

Цель работы: закрепление навыков решения заданий ЕГЭ по информатике с использованием систем счисления.

Опираясь на необходимость самостоятельной работы студентов при подготовке к ЕГЭ, примеры задач с решениями рекомендую скопировать на домашний компьютер и, тогда каждый студент, используя их для самоконтроля, решает задачи в необходимом ему темпе, порядке и объеме. При этом регулирует сам нагрузку при подготовке к итоговой аттестации (здоровьесберегающий аспект).

Актуальность и значимость ресурсов:

Хотя экзамен по информатике и ИКТ в форме единого государственного экзамена выпускники сдают на добровольной основе по своему выбору, большинство выпускников нацелены на поступление в ВУЗы технического профиля, где сертификат с результатами ЕГЭ обязателен. Поэтому свою разработку в первую очередь адресую ученикам, чтобы дать им востребованный инструмент подготовки к ЕГЭ, обеспечив большим объемом задач, а работу учителя в аудитории – интерактивными задачниками, которые с применением проектора, экрана или интерактивной доски использую для разбора решения типичных задач.

1. Понятие о системах счисления.

Вся информация, которою обработает компьютер, должна быть представлена двоичным кодом с помощью двух цифр – 0 и 1. С помощью двух цифр 0 и 1 можно закодировать любое сообщение. Это явилось причиной того, что в компьютере обязательно должно быть организованно два важных процесса.

Кодирование – преобразование входной информации в форму, воспринимаемую компьютером, т.е. двоичный код.

Декодирование – преобразование данных из двоичного кода в форму, понятную человеку.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Для записи информации о количестве объектов используются числа. Числа изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Числа записываются с использование особых знаковых систем, которые называют системами счисления.

Система счисления – совокупность приемов и правил записи чисел с помощью определенного набора символов.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Система счисления называется непозиционной, когда значения цифры не зависит от её положения в числе.

Системы счисления, в которых значение каждой цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа, называются позиционными системами счисления.

1. Непозиционные системы счисления.

Непозиционные системы счисления первичны по своему происхождению; но поскольку они имеют ряд недостатков по сравнению с позиционными системами счисления, то постепенно они потеряли свое значение. Хотя до настоящего времени еще используется римская система счисления, где для обозначения цифр используются латинские буквы:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000

Числа в римской системе счисления записываются по следующим правилам.

1) если большая цифра стоит перед меньшей, они складываются, например: VI=6;

2) если меньшая цифра стоит перед большей, то из большей вычитается меньшая, причем в этом случае меньшая цифра уже повторяться не может, например: XL=40, XXL-нельзя;

3) цифры M,C,X,I могут повторяться в записи числа не более трех раз подряд;

4) цифры D,L,V могут использоваться в записи числа только по одному разу.

Например число 1996 будет записано в римской система счисления как MCMXCVI.

Самое большое число, которое можно записать в этой системе счисления, это число 3999 (MMMCMXCIX). Для записи еще больших чисел пришлось бы вводить еще новые обозначения.

А теперь попробуйте выполнить простую арифметическую операцию, не переводя числа в привычную систему счисления: умножить число CLVI на число LXXIV. Вряд ли вам это удастся.

Таким образом, можно констатировать следующие основные недостатки непозиционных система счисления:

а) Необходимость использования большого количества символов для записи больших чисел. б) неудобство выполнения арифметических операций.

1.2. Позиционные системы счисления.

Позиционной называется такая система счисления, в которой величина цифры зависит от позиции (места), занимаемой этой цифрой в записи числа. Примером позиционной системы счисления служит арабская система счисления, которой мы обычно пользуемся. Если взять два числа 102 и 21, то цифра 1 в первом числе в 100 раз "тяжелее" той же цифры во втором числе. А вот цифра 2 в первом числе в 10 раз "легче" этой же цифры во втором числе.

Рассмотрим числа 13, 5234 и 351

В числе 13 тройка обозначает три единицы. В числе 5234 – три десятка, В числе 351 – три сотни.

Запишем эти числа в десятичной системе счисления.

13=1*10+3=1*101+3*100

351=3*100+5*10+1=3*102+5*101+1*100

5 294=5*1000+2*100+3*10+4=5*103+2*102+9*101+4*100

  Разряд -  позиция цифры в числе.

В позиционной системе счисления любое число может быть представлено в развернутом виде.

  Пусть q - основание системы счисления, n -  число разрядов целой части числа, ai - цифра числа, Aq - само число.

Тогда развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

      Aq = an-1*qn-1 + an-2*qn-2 +  ... + a0*q0 

Алфавит системы счисления – совокупность символов, используемых в данной системе счисления. Количество различных символов, используемых для изображения числа в позиционных системах счисления, называется основанием системы счисления.

Таблица 1.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Практическая часть.

Проверьте, правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

а) А10=6783 б) А4=6023 в) А3=10021 г) А2=2222

2. Двоичная система счисления.

В двоичной системе счисления основание равно 2, а алфавит состоит из двух цифр 0 и 1.

Числа в двоичной системе счисления в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания 2 с коэффициентами, в качестве которых выступают 0 и 1.

Например, 1102=1*22+1*21+0*20=610

1. Перевод из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму.

1. Последовательно выполняется деление исходного целого числа и получаемых целых частных на основание системы счисления (на 2) до тех пор, пока не получится частное меньше делителя.

2. Записываем остатки в обратной последовательности.

Пример .     15₁₀  → ?₂

1 - 5	2
1 - 4	7	2
1	6 -	3	2
	1	2	1
		1

15₁₀ = 1111₂

1. Перевод из двоичной системы счисления в десятичную. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример . Число перевести в десятичную систему счисления.

Практическая часть.

1. Перевести числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

13; 55; 459; 112; 66; 78; 653; 35; 43; 65

2) Перевести числа в десятичную систему счисления:

1. 1101

2. 110111

3. 101010

4. 1101101

5. 10101110

6. 111011

7. 101011

8. 101011110

9. 1011101

3.Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

        Пример 1. Перевести десятичное число 173₁₀ в восьмеричную систему счисления:

173	8
5	21	8
	5	2

Получаем: 173₁₀=255₈

        Пример 2. Перевести десятичное число 173₁₀ в шестнадцатеричную систему счисления:

173	16
13	10
(D)	(A)

Получаем: 173₁₀=AD₁₆.

        Пример 3. Перевести десятичное число 11₁₀ в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

11	2
1	5	2
	1	2	2
		0	1

Получаем: 11₁₀=1011₂.

  Пример 4. Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 363₁₀ в двоичное число.

Делимое	363	181	90	45	22	11	5	2	1
Делитель	2	2	2	2	2	2	2	2	2
Остаток	1	1	0	1	0	1	1	0	1

Получаем: 363₁₀=101101011₂

Практическая часть.

1. Перевести числа из десятичной системы счисления в другую.

1. 245₁₀=?₄

2. 87₁₀=?₈

3. 79₁₀=?₅

1. Перевести числа из системы счисления в десятичную.

1. 36₈=?₁₀

2. 23₄=?₁₀

3. 56А₁₆=?₁₀

1. Проверить равенства:

1. 25₁₀=34₈

2. 47₁₀=101111₂

3. 108₁₀=6С₁₆

1. Арифметические операции в позиционных системах счисления.

       Из всех позиционных систем особенно проста двоичная система счисления. Рассмотрим выполнение основных арифметических действий над двоичными числами. 

    Во всех позиционных системах счисления арифметические операции выполняются по одним и тем же правилам:

• справедливы правила сложения, вычитания и умножения столбиком;

• правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения и умножения.

Сложение.

Таблица сложения

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Первые три строчки таблицы нам привычны, в четвертой 1 + 1 = 10, так как если мы рассмотрим сложение двух единиц в десятичной системе счисления то 1 + 1 = 2 и 2 переведем в двоичную систему счисления, то получим 10₂.

Пример: 1101+110=10011

	1
+	1	1	0	1
		1	1	0
1	0	0	1	1

Самостоятельно:

1011101+1100110 = 11000011

Умножение.

Таблица умножения

0 . 0 = 0

0 . 1 = 0

1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Пример:

X		1	1	0
		1	0	1
+		1	1	0
+	0	0	0
1	1	0
1	1	1	1	0

Самостоятельно:

101*110 = 11110

Вычитание:

Таблица вычитания

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=11

	.	.
-	1	1	0	1
		1	1	0
		1	1	1

Самостоятельно:

111101-1001 = 110100

Практическая часть.

1. Выполнить сложение над заданными числами.

1. 110; 11 (1001)

2. 111, 101 (1100)

3. 101010; 11001 (1000011)

4. 111011; 101011 (1100110)

5. 1110; 1111 (11101)

1. Выполнить вычитание над заданными числами:

1. 100; 10 (10)

2. 110; 11 (11)

3. 100; 11 (1)

4. 1000; 101 (11)

1. Выполнить указанные действия в заданной системе счисления.

1. 111011+1001 (1000100; 59; 9)

2. 11101- 1111 (1110; 29; 15)

Заданные числа и полученные результаты арифметических операций перевести в десятичную систему счисления и выполнить проверку полученных результатов в десятичной системе счисления.

Для закрепления темы предлагается тест. (Приложение 1)

ЦОР - важнейшая составляющая всех направлений деятельности современного учителя, способствующая оптимизации и интеграции учебной и внеучебной деятельности.

Одним из способов использования ЦОР является их применение при проведении текущего контроля знаний учащихся и уровня усвоения ими материала. После объяснения материала учителем в большинстве случаев организуются контрольно-диагностические мероприятия, под которыми обычно принято понимать проведение тестирования знаний учащихся. Применение соответствующего программного обеспечения позволяет превратить классное или групповое занятие в индивидуальное, т.к. задание будет выполняться конкретным учеником за его отдельным рабочим местом. К достоинствам данного подхода можно отнести и информирование преподавателя наглядным способом (с использованием графиков, таблиц и диаграмм) о проценте верных ответов как у одного ученика, так и группы, выполняющей тестирование, упрощается процесс сбора и анализа информации об успеваемости, исключается возможное негативное отношение преподавателя к конкретному ученику, т.е. психологический фактор.

Использование интерактивных тестов – это помощь учителю в подготовке, проведении урока и оценивании знаний учащихся, а для ученика – это автоматизированный самоконтроль, как на уроке, так и в любое удобное время.

Приложение 1.

Тест по теме: «Системы счисления».

В электронном виде

http://www.openclass.ru/node/432462

Вопросы теста:

1 вариант

1. Проверить равенство:

1001011₂=300₅

1. Проверить равенство:

456₈=346₇

1. Вычислить сумму чисел и результат представить в двоичной системе счисления:

35₄+67₈

1. Вычислить разность чисел и результат представить в десятичной системе счисления:

65₇ - 34₆

2 вариант

1. Проверить равенство:

001101₂=115₈

1. Проверить равенство:

25₄=36₈

1. Вычислить сумму чисел и результат представить в двоичной системе счисления:

22₃+34₈

1. Вычислить разность чисел и результат представить в десятичной системе счисления:

25₈ -10₂

Литература:

1. Семакин И.Г., Хеннер Е.К., Информатика и ИКТ, 10-11 класс, 2012.

2. М.С. Цветкова, Л.С. Великович, «Информатика и ИКТ», Москва, 2013

3. Михеева Е.В. Информационные технологии в профессиональной деятельности. 2015 г.