Системы счисления

Системы счисления

Система счисления -

это совокупность приемов наименования и записи чисел с помощью набора специальных знаков, называемых цифрами.

Виды систем счисления

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

ПОЗИЦИОННЫЕ

НЕПОЗИЦИОННЫЕ

В непозиционных системах счисления величина, которую обозначает цифра, не зависит от положения в числе.

XXI

В позиционных системах счисления величина , обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе ( позиции ).

211

Непозиционные системы счисления

500 лет до н.э.

• Римская система

Цифры:

I

V

1

5

X

L

10

50

C

D

100

500

M

1000

Число формировалось из цифр , а также с помощью групп:

Группа 1-го вида - несколько одинаковых

подряд идущих цифр: XX = 20

Группа 2-го вида - разность значений

двух цифр, если слева стоит меньшая:

СМ = 1000 – 100 = 900

Величина числа суммируется из значений

цифр и групп 1-го или 2-го вида:

X X X I I

D X L I I

= 3 2

= 542

I

1

V

5

X

L

10

C

50

D

100

500

M

1000

4 4 4 =

C D X L I V

(D-C)

+ (L-X)

+ (V-I)

= 400 + 40 + 4

4 4 4 =

CD

400

40

XL

IV

4

1 9 7 4

M C M L X X I V =

1000 +

(M-C) = 1000 - 100 = 900 +

50 +

20 +

4

Непозиционные системы счисления

Период палеолита.

10-11 тысяч лет до н.э.

• Единичная («палочная»)

или

см. пример

2,5 тысяч лет до н.э.

• Древнеегипетская

десятичная

непозиционная система

= 3 4 5

- сотни

- десятки

- единицы

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от её положения в числе (позиции).

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления .

Например, 11 – это одиннадцать, а не два: 1 + 1 = 2 (сравните с римской системой счисления). Здесь символ 1 имеет различное значение в зависимости от позиции в числе.

Первые позиционные системы счисления

Самой первой такой системой, когда счетным "прибором" служили пальцы рук, была пятеричная .

Некоторые племена на филиппинских островах используют ее и в наши дни, а в цивилизованных странах ее реликт, как считают специалисты, сохранился только в виде школьной пятибалльной шкалы оценок.

Двенадцатеричная система счисления

Следующей после пятеричной возникла двенадцатеричная система счисления. Возникла она в древнем Шумере. Некоторые учёные полагают, что такая система возникала у них из подсчёта фаланг на руке большим пальцем.

Широкое распространение получила двенадцатеричная система счисления в XIX веке. На ее широкое использование в прошлом явно указывают названия числительных во многих языках, а также сохранившиеся в ряде стран способы отсчета времени, денег и соотношения между некоторыми единицами измерения. Год состоит из 12 месяцев, а половина суток состоит из 12 часов.

Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счёт дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия: 1 дюжина = 12 штук; 1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки; 1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1728 штук.

Английский фунт состоит из 12 шиллингов.

Шестидесятеричная система счисления

Следующая позиционная система счисления была придумана еще в Древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация была шестидесятеричная , т.е. в ней использовалось шестьдесят цифр!

В более позднее время использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами. Шестидесятеричная система счисления, как считают исследователи, являет собой синтез уже вышеупомянутых пятеричной и двенадцатеричной систем.

Какие позиционные системы счисления используются сейчас?

В настоящее время наиболее распространены десятичная , двоичная , восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.

Двоичная, восьмеричная (в настоящее время вытесняется шестнадцатеричной) и шестнадцатеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами, программировании и вообще компьютерной документации.

Современные компьютерные системы оперируют информацией представленной в цифровой форме. Числовые данные преобразуются в двоичную систему счисления .

Десятичная система счисления

Десятичная система счисления — позиционная система счисления по основанию 10.

Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев рук у человека.

Наиболее распространённая система счисления в мире.

Для записи чисел используются символы 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , называемые арабскими цифрами.

Двоичная система счисления

Двоичная система счисления — позиционная система счисления с основанием 2. Используются цифры 0 и 1.

Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и удовлетворяет требованиям:

• Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы.
• Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать.
• Простота создания таблиц сложения и умножения — основных действий над числами

Почему двоичное кодирование

С точки зрения технической реализации использование двоичной системы счисления для кодирования информации оказалось намного более простым, чем применение других способов. Действительно, удобно кодировать информацию в виде последовательности нулей и единиц, если представить эти значения как два возможных устойчивых состояния электронного элемента:

0 – отсутствие электрического сигнала;

1 – наличие электрического сигнала.

Эти состояния легко различать. Недостаток двоичного кодирования – длинные коды . Но в технике легче иметь дело с большим количеством простых элементов, чем с небольшим числом сложных.

Способы кодирования и декодирования информации в компьютере, в первую очередь, зависит от вида информации, а именно, что должно кодироваться: числа, текст, графические изображения или звук.

Сложение

Правила сложения:

0+0=0

1+0=1

0+1=1

1+1=10 ( результат сложения двух единиц: ноль и единица переноса в старший разряд)

Сложение двоичных чисел выполняются в столбик.

Примеры:

10110 1001 1111 101,011

+ 101 + 1010 + 1 + 1,11

11011 10011 10000 111 ,001

Умножение

Правила умножения:

0*0=0

1*0=0

0*1=0

1*1=1

Умножение двоичных чисел производится в столбик аналогично умножению десятичных чисел.

Примеры:

1011 1101

*101 *11

+ 1011 1101

1011 +1101

110111 100111

Вычитание

Правила вычитания:

0-0=0

1-0=1

1-1=0

10-1=1(из нуля вычесть единицу нельзя, поэтому для вычитания необходимо занять единицу у старшего разряда)

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак.

Примеры:

1011 1001 11-1011= -(1011-11)

-111 -110 1011

100 11 - 11

1000

Алфавит десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

Система счисления

Основание

Десятичная

Алфавит цифр

10

Двоичная

2

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Восьмеричная

0, 1

8

Шестнадцатеричная

16

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Соответствие десятичной, двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления

p=10

p=2

0

0

p=8

1

0

1

2

p=16

10

3

0

1

4

11

2

1

100

5

2

3

101

6

4

3

110

4

7

5

8

6

111

5

1000

7

6

9

10

1001

10

7

1010

11

11

8

12

12

1011

9

1100

A

13

13

14

14

1101

B

1110

15

15

C

16

16

1111

D

10000

17

E

20

F

10

Количество используемых цифр называется основанием системы счисления .

При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который записывается в десятичной системе:

123 10 — это число 123 в десятичной системе счисления;

1111011 2 — то же число, но в двоичной системе.

Двоичное число 1111011 можно расписать в виде: 1111011 2 = 1*2 6 + 1*2 5 + 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 .

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием p в десятичную , надо представить это число в виде суммы степеней p и произвести указанные вычисления в десятичной системе счисления.

Например, переведем число 1011 2 в десятичную систему счисления. Для этого представим это число в виде степеней двойки и произведем вычисления в десятичной системе счисления.

1011 2 = 1*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11 10

Рассмотрим еще один пример. Переведем число 52,74 8 в десятичную систему счисления.

52,74 8 = 5*8 1 + 2*8 0 + 7*8 -1 + 4*8 -2 = 5*8 + 2*1 + 7*1/8 +4*1/64 = 40 + 2 + 0,875 + 0,0625 = 42,9375 10

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием p осуществляется последовательным делением десятичного числа и его десятичных частных на p , а затем выписыванием последнего частного и остатков в обратном порядке.

Переведем десятичное число 20 10 в двоичную систем счисления (основание системы счисления p=2). В итоге получили 20 10 = 10100 2 .

Перевод десятичной дроби в двоичную

0

328125

2

0

656250

2

1

312500

2

0

62500

2

1

250000

2

0

500000

2

1

000000

0,328125 10 →? 2

0,328125 10 =0,010101 2

Перевод десятичной дроби в восьмеричную

0,9375 10 →? 8

0,9375 10 = 0,74 8

0

9375

8

7

5000

8

4

0000

Задания:

Прочитайте стихотворение. Переведите встречающиеся в нем числительные из двоичной системы счисления в десятичную.

Необыкновенная девчонка (А. Н. Стариков)

Ей было тысяча сто лет,

Она в 101-ый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила –

Все это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно,…

Но станет все совсем обычным,

Когда поймете наш рассказ.

Вопросы:

• У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли быть такое?
• Когда дважды два равно 100?

Задания:

• Запишите число 1945 в римской системе счисления.
• Запишите в развернутом виде числа: 2007 10 , 234 8 , 10110 2 .
• Чему будут равны числа 174 8 , 2 E 16 , 101,101 2 в десятичной системе счисления?
• Как будет записываться число 14 10 в двоичной системе счисления? 100 10 в восьмеричной?