Системы счисления

Система счисления

– способ записи чисел,

а также арифметических действий с ними.

Число в математике и информатике - это величина, а не символьная запись.

Цифры – набор символов, участвующих в записи числа.

Алфавит – совокупность различных цифр, используемых для записи чисел.

системы счисления

позиционные

непозиционные

VII, XIX

352 , 23

каждой цифре соответствует величина, не зависящая от ее места в записи числа

величина числа зависит

от номера позиции

цифры при его записи

непозиционные системы счисления

Период палеолита.

10-11 тысяч лет до н.э.

• Единичная («палочная»)

или

см. пример

2,5 тысяч лет до н.э.

• Древнеегипетская

десятичная

непозиционная система

= 3 4 5

- сотни

- десятки

- единицы

непозиционные системы счисления

2 тысячи лет до н.э.

• Вавилонская шестидесятеричная

цифры:

и

; … ; 60 n

; 60 2

; 60 3

- десятки

- 60

- единицы

= 33

= 60 + 20 + 2 = 82

1-ый

разряд

2-ой

разряд

пример

3 8 4

=

= 3600 + 30 + 2 = 3632

пропущенный шестидесятичный разряд

Шестидесятеричная вавилонская система –

первая известная нам система счисления,

основанная на позиционном принципе.

непозиционные системы счисления

500 лет до н.э.

• Римская система

Цифры:

I

V

1

5

X

L

10

50

C

D

100

500

M

1000

Число формировалось из цифр , а также с помощью групп:

Группа 1-го вида - несколько одинаковых

подряд идущих цифр: XX = 20

Группа 2-го вида - разность значений

двух цифр, если слева стоит меньшая:

СМ = 1000 – 100 = 900

Величина числа суммируется из значений

цифр и групп 1-го или 2-го вида:

X X X I I

D X L I I

= 3 2

= 542

I

V

1

5

X

L

10

C

50

100

D

500

M

1000

4 4 4 =

C D X L I V

= 400 + 40 + 4

(D-C)

+ (L-X)

+ (V-I)

4 4 4 =

CD

400

40

XL

IV

4

1 9 7 4

M C M L X X I V =

1000 +

(M-C) = 1000 - 100 = 900 +

50 +

20 +

4

непозиционные системы счисления

• Алфавитные системы

2

10

9

7

6

5

4

3

8

1

«И»

«Иже»

« Земля »

«Веди»

«Фита»

«Аз»

«Зело»

«Есть»

«Добро»

«Глаголь»

- титло

«… В год 6367. Варяги из заморья

взимали дань…»

(«Повесть временных лет»)

- тысячи

100 000 - легион

- тьма: х10 000

1000 000 - леодр

. . .

= 10 000

10 50 - колода

«более сего несть человеческому уму разумевати»

непозиционные системы счисления

• Какая разница между

понятиями

«цифра» и «число»?

• Какие следы разных

систем счисления

сохранились в наше

время?

позиционные системы счисления

х 1

х 10

х 100

х 1000

Позиционной называют систему счисления, в которой число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от места (позиции), которое занимает каждая из них в числе.

1000 100 10 1

(10 3 ) (10 2 ) (10 1 ) (10 0 )

4 позиция

3 позиция

2 позиция

1 позиция

1 2 3 5

Десятичная система: 1, 10, 10 2 , 10 3 , … , 10 n

Базис позиционной системы счисления – это последовательность чисел, каждое из которых задает значение цифры «по месту» и «вес» каждого разряда.

Двоичная система: 1, 2, 2 2 , 2 3 , … , 2 n

P - ичная система: …, p - n , …, p -2 , p -1 , p 0 , p 1 , … , p n

p – основание системы

позиционные системы счисления

• Традиционные: P -ичные

Базис системы – геометрическая прогрессия с основанием p :

… , p -2 , p -1 , p 0 , p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 , …

Десятичная система

Пример: 253 10

Основание: 10

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Базис: …, 10 -2 , 10 -1 , 1, 10 1 , 10 2 , 10 3 , … , 10 n

• Нетрадиционные

• Почему в записи числа в фибоначчиевой системе не могут стоять две единицы подряд?

Фибоначчиевая система

Базис: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

1 ,

Алфавит: 0, 1

Пример: 10000100 ф = 3 + 34 = 37 10

• Смешанные: P-Q - ичные

Каждая цифра числа, заданного в Q - ичной системе,

заменяется ее представлением в P - ичной системе.

Двоично-десятичная система

35809 10 = 0011 0101 1000 0000 1001 2-10

позиционные системы счисления

В любой традиционной P -ичной позиционной системе счисления число равно сумме степеней основания:

147,205

14 7,205 10 = 1  10 0 + 4  10 + 7  1 + 2  0,1 + 0  0,01 + 5  0,001 =

= 1  10 2 + 4  10 1 +7  10 0 +2  10 -1 + 0  10 -2 + 5  10 -3

X p = a n …a 1 a 0 , b -1… b - k ... P

X = a n P n + a n-1 P n-1 + … + a 1 P + a 0 + b -1 P -1 + b -2 P -2 + … + b -k P -k + …

Арифметические действия над числами во всех P -ичных системах счисления выполняются одинаково.

( +    )

Двоичная система счисления

0, 1 – алфавит

p= 2 – основание системы;

… , ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … – базис

(…, 2 -2 , 2 -1 , 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , …)

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную:

Лейбниц, изрядное время уделивший двоичной (бинарной) математике, видел в ней

«… прообраз творения».

Он считал, что «единица представляет божественное начало, а ноль – небытие. Высшее Существо создает все сущее из небытия точно таким же образом, как единица с помощью нуля выражает все числа».

0

0

1

1

0

1

1 0 1 0 0 1 2 = 1  2 0 + 0  2 1 + 0  2 2 + 1  2 3 + 0  2 4 + 1  2 5 = 1 + 8 + 32 = 41 10

Лейбниц (Leibniz) Готфрид Вильгельм

(1646-1716)

немецкий философ, математик, физик, языковед

2 5

2 0

2 4

2 1

2 2

2 3

2 0

2 3

2 2

2 5

2 1

2 4

см. слайд

С конца ХХ века, века компьютеризации, человечество пользуется двоичной системой ежедневно, так как вся информация, обрабатываемая ЭВМ, хранится в них в двоичном виде.

1 + 0  2 1 + 1  2 2 + 0  2 3 + 0  2 4 + 1  2 5 = 1 + 4 + 32 = 37 10

100101 2 =

101010 2 =

0 + 1  2 1 + 0  2 2 + 1  2 3 + 0  2 4 + 1  2 5 = 2 + 8 + 32 = 42 10

1

2

2 0

4

2 1

8

2 2

16

2 3

32

2 4

64

2 5

128

2 6

2 7

Двоичная система счисления

2 – основание системы

0, 1 – алфавит

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную:

остаток

остаток

51 : 2 = 25

0

1

76

1

76 : 2 = 38 0

38 : 2 = 19 0

19 : 2 = 9 1

9 : 2 = 4 1

4 : 2 = 2 0

2 : 2 = 1 0

остаток

77 : 2 = 38 1

38 : 2 = 19 0

19 : 2 = 9 1

9 : 2 = 4 1

4 : 2 = 2 0

2 : 2 = 1 0

168 : 2 = 84 0

84 : 2 = 42 0

42 : 2 = 21 0

21 : 2 = 10 1

10 : 2 = 5 0

5 : 2 = 2 1

2 : 2 = 1 0

241 : 2 = 120 1

120 : 2 = 60 0

60 : 2 = 30 0

30 : 2 = 15 0

15 : 2 = 7 1

7 : 2 = 3 1

3 : 2 = 1 1

25 : 2 = 12

0

1

1

1

0

0

12 : 2 = 6

1

6 : 2 = 3

0

0

0

1

1

1

3 : 2 = 1

0

1

51 10 =

1 1 0 0 1 1 2

76 10 =

2

77 10 = 1001101 2

10101000 2

241 10 = 11110001 2

168 10 = 10101000 2

168 10 =

11110001 2

241 10 =

1001101 2

77 10 =

Необыкновенная девочка

Ей было тысяча сто лет,

( 1100 )

Она в сто первый класс ходила,

( 101 )

В портфеле по сто книг носила -

( 100 )

Всё это правда, а не бред.

( 10 )

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

( 100 )

( 1 )

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

( 10 )

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

( 10 )

Портфель и поводок держали.

( 10 )

И десять темно-синих глаз

Рассматривали мир привычно…

Но станет всё совсем обычным,

Когда поймете вы рассказ.

Системы счисления

непозиционные

позиционные

• единичная

• древнеегипетская
• вавилонская
• римская
• алфавитная

• традиционные

• нетрадиционные
• смешанные

100010011 2

10001010 Ф

0011 0101 2-10

X X X I I

колода

Используя римскую систему счисления выпишите числа

от 95 до 105

100 = C

95 = XCV

101 = CI

9 6 = XCVI

102 = CII

9 7 = XCVII

103 = CIII

9 8 = XCVIII

104 = CIV

9 9 = XCIX

105 = CV

• Можно ли любое целое число

представить в виде суммы степеней

двойки?

• Какое максимальное число можно

записать в двоичной системе счисления

пятью цифрами?

Ответ: да.

Ответ: 11111 2 = 31 10 .

Было 11 яблок. После того как каждое яблоко разрезали пополам, стало 110 половинок.

Возможно ли это? Обоснуйте ответ.

Ответ: да, если считать числа в задаче представленными в двоичной системе счисления:

1 1 2 = 1  2 0 + 1  2 1 =3 10 ;

1 1 0 2 = 0  2 0 + 1  2 1 + 1  2 2 = 2 + 4 = 6 10

Определите четное число или нечетное:

а) 101 2

б) 110 2

в) 1001 2

г) 100 2

Сформулируйте критерий четности в

двоичной системе.

Ответ: четное число в двоичной системе счисления оканчивается на 0, а нечетное – на 1.

а) 101 2 = 5 10 ; б) 110 2 = 6 10 ; в) 1001 2 = 9 10 ; г) 100 2 = 4 10

Выпишите алфавит и базис традиционной позиционной пятеричной системы счисления.

Пятеричная система счисления

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4

Базис: …, 5 -2 , 5 -1 , 1, 5, 5 2 , 5 3 , …

Переведите данные десятичные числа в двоичную систему:

10, 20, 100, 200, 1000

10 10 = 1010 2

20 10 = 10100 2

100 10 = 1100100 2

200 10 = 11001000 2

1000 10 = 1111101000 2