Системы счисления

Системы счисления

МБОУ «Гимназия №75» г.Казани

© Домрачева И.Н. 2017

Системы счисления (СС)

• Система счисления – это знаковая система, в которой приняты определенные правила записи чисел.
• Цифры – знаки, при помощи которых записываются числа.
• Алфавит СС – совокупность цифр.

Позиционные и непозиционные системы счисления

СС

Позиционные - значение цифры зависит от ее позиции в записи числа

Непозиционные – значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа

Непозиционные СС

• Древнеегипетская.
• Римская.
• Алфавитные.

Позиционные СС

• Древневавилонская.
• Десятичная (арабская).
• С основанием N (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.)

Римская система счисления

I

V

1

X

5

L

10

C

50

D

100

M

500

1000

• Числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей».
• Числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей».
• Слева может стоять не более 1 «меньшей» буквы, справа – не более 3.

3) IV = 5 – 1= 4 (1 IX = 10 – 1 = 9 (I XXXVII = (10+ 10+ 10) + 5 + 2 = 37 XCIV = (100 – 10) + (5 – 1) = 94 MCMXCIV = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + (5 -1) = 1994 " width="640"

Римская СС

VIII = 5 + 3 = 8 (5 3)

IV = 5 – 1= 4 (1

IX = 10 – 1 = 9 (I

XXXVII = (10+ 10+ 10) + 5 + 2 = 37

XCIV = (100 – 10) + (5 – 1) = 94

MCMXCIV = 1000 + (1000 – 100) + (100 – 10) + (5 -1) = 1994

Задание 1

Переведите числа из римской СС в десятичную.

1) LXXXVI

2) XLIX

3) CMXCIX

4) DCCLXXVII

5) XCIX

Задание 2

Запишите десятичные числа в римской системе счисления

1) 464

2) 397

3) 2648

4) 2649

5) 7324

Недостатки непозиционных систем счисления

• Для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры (буквы).
• Трудно записывать большие числа.
• Нельзя записать дробные и отрицательные числа.
• Сложно выполнять арифметические операции.
• Нет нуля.

Достоинства позиционных СС

• Ограниченное количество символов для записи чисел.
• Простота выполнения арифметических операций.
• Наличие вещественных, отрицательных чисел, нуля.

Основание СС

• Основание позиционной системы счисления ( р ) – количество символов, используемых для записи числа.
• Р=2. Алфавит: 0 и 1.
• Р=8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
• Р=16. Алфавит: 0-9, A, B, C, D, E, F

Задание 3

• Сколько и каких цифр требуется для записи любого числа в:

А) пятеричной системе счисления;

Б) в семиричной СС;

В) в четверичной СС;

Задание 4

• Укажите, какие числа записаны с ошибками. Ответ обоснуйте.

1) 156 7 2) 3005,23 4

3) 15, 794 8 4) 1102 2

5) 1345,52 6 6) 112,011 3

7) 16,545 5 8) В105,1К 16

Основание СС

• Основание системы счисления показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении её на соседнюю позицию.
• В любой СС натуральные числа, меньшие основания р , представляются с помощью одной цифры данной системы. Если число больше или равно р , то требуется две и более цифры.

Двоичная СС

• 1703 г. – немецкий математик Лейбниц ввел в математику двоичную систему счисления
• 1936-1938 гг. – американский инженер и математик Клод Шеннон предложил использовать двоичную систему счисления для конструирования электронных схем

Перевод целых десятичных чисел в двоичную СС ( N 10 →N 2 )

Задание 5

Переведите целые десятичные числа в двоичную систему счисления.

1) 28 2) 33

3) 54 4) 65

5) 79 6) 92

Дом. задание

Переведите целые десятичные числа в двоичную систему счисления.

1) 15 2) 31

3) 16 4) 32

5) 64 6) 128