Скалярное произведение векторов в координатах

Сумма векторов – вектор.

Разность векторов – вектор.

Произведение вектора на число – вектор.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

a

a

b

b

a

cos ( )

b

=

Скалярное произведение векторов – число (скаляр). Скаляр – лат. scale – лестница, шкала.

Ввел в 1845г. У. Гамильтон, английский математик.

2

0 b a  a b 90 0 a 2 a 2 = 3 " width="640"

a

a

b

a

b

cos ( )

b

=

Повторение

b

a

a

b



= 0



a

b



a

b

0

b

a



a

b

90 0

a 2

a 2

=

3

45 0

В 1 В, В 1 С =

№ 441 АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – куб.

Найдите угол между векторами.

135 0

D А, B 1 D 1 =

А 1 C 1 , A 1 B =

6 0 0

C 1

D 1

45 0

BC , A С =

A 1

B 1

90 0

B 1 C , AD 1 =

D

90 0

BB 1 , AC =

C

0 0

А 1 D 1 , BC =

A

B

18 0 0

A А 1 , C 1 C =

4

№ 443 АВС DA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов

D 1

C 1

AD B 1 C 1

O 1

A 1

AC C 1 A 1

B 1

D 1 B AC

a

D

BA 1 BC 1

30 0

C

A 1 O 1 A 1 C 1

a

A

B

D 1 O 1 B 1 O 1

BO 1 C 1 B

5

Все ребра тетраэдра АВС D равны друг другу. Точки М и

N – середины ребер А D и ВС. Докажите, что

MN AD = 0

A

M

D

«Поурочные разработки по геометрии: 11 класс». / Сост. В.А. Яровенко.

B

N

C

6

I I I I

I I I I I I I

I I I I I I I I

Маленький тест

На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка М(2; -3; 5)

z

M

ПОДУМАЙ!

1

2

ВЕРНО!

O

I I I I I I

y

2

5

3

ПОДУМАЙ!

3

Проверка

x

Oxy

7

I I I I I I I

I I I I I I I I

На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)

z

ВЕРНО!

А

1

5 ;

ПОДУМАЙ!

O

y

2

I I I I I I

4 ;

ПОДУМАЙ!

3

3 .

x

Проверка

Oxy

8

Найти координаты середины отрезка, если концы его

имеют координаты и

A ( -3; 2 ; -4 ) B(1;-4; 2)

-4 + 2

- 3 + 1

2 +(- 4 )

C ( ; ; )

2

2

2

ПОДУМАЙ!

1

C ( - 2 ; 1; -1)

ВЕРНО!

2

C ( - 1 ;-1; -1)

3

ПОДУМАЙ!

C ( - 2 ;- 2 ; -2)

Проверка

9

OB

Найдите координаты вектора , где В – середина АС

z

Вектор ОВ радиус-вектор, значит его координаты равны координатам его конца т.В.

Используем формулы для вычисления координат середины отрезка.

A(-1;3;8)

ПОДУМАЙ!

( 2;-4;1)

1

B

O

ПОДУМАЙ!

2

( -4;8;2)

y

ВЕРНО!

3

( -2;4;-1)

C(-3;5;-6)

Проверка

x

Дан квадрат АВС D .

Найдите угол между векторами и .

АС DA

В

С

ВЕРНО!

1

135 0 ;

ПОДУМАЙ!

2

D

А

45 0 ;

ПОДУМАЙ!

3

90 0 .

Проверка

11

I I I I I I I I

Скалярное произведение координатных векторов

и :

j

k

z

равно нулю, т.к. угол между

векторами прямой

ПОДУМАЙ!

1

1

k

O

I I I I I I I

y

ПОДУМАЙ!

2

– 1

i

j

ВЕРНО!

3

0

x

Проверка

n

m

Угол между векторами { -2 ;2;-4} и {3;7;2}

Скалярное произведение равно нулю, угол между векторами прямой:

ПОДУМАЙ!

1

тупой

ПОДУМАЙ!

2

острый

ВЕРНО!

3

прямой

Проверка

Укажи точку, которая расположена в координатной плоскости Oxy

K (-8; 0; 9)

F (0; 1; -6)

z

D (5; 4; 0)

ПОДУМАЙ!

1

F

ВЕРНО!

О

y

2

D

ПОДУМАЙ!

«Поурочные разработки по геометрии: 11 класс». / Сост. В.А. Яровенко.

K

3

D

ПОДУМАЙ!

4

K и F

x

Проверка

14

7 i

Скалярный квадрат вектора равен:

Скалярный квадрат вектора

равен квадрату его длины.

ВЕРНО!

1

49

( 7 i ) 2 = 7 i 2 = 7 2 = 49

ПОДУМАЙ!

2

7

ПОДУМАЙ!

3

1

Проверка

n = – 8 j + i

Записать координаты вектора

ПОДУМАЙ!

n {-8; 1; 0}

1

ВЕРНО!

n {1;-8; 0}

2

«Поурочные разработки по геометрии: 11 класс». / Сост. В.А. Яровенко.

n {1; 0;-8}

3

ПОДУМАЙ!

16

m

n

Найдите угол между векторами и , если

n = 6 .

m = 5 ,

= –15 ,

m

n

ПОДУМАЙ!

1

50 0

ПОДУМАЙ!

2

60 0

ВЕРНО!

3

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда угол между векторами тупой

120 0

Проверка

17

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, ребро которого равно 1.

Найдите скалярное произведение векторов и .

А D 1 BC

D 1

C 1

ПОДУМАЙ!

1

4;

A 1

B 1

ПОДУМАЙ!

2

2;

ВЕРНО!

D

3

1.

C

A

Проверка (2)

B

18

Скалярное произведение векторов

и

выражается формулой

a { x 1 ; y 1 ;z 1 }

b { x 2 ; y 2 ;z 2 }

a

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

b

Пример

Найдите скалярное произведение векторов

-7

-2

-3

b { -2 ; 1;-7 }

1

5

4

d { 5 ; 4 ;-3 }

( )

= 15

( )

+

+

19

№ 444 Даны векторы

a {1; - 1 ; 2 } ,

b { - 1; 1; 1} ,

c {5; 6 ; 2}

Вычислить

c =

a

1 5 + (-1) 6 + 2 2 = 3

b =

a

1 (-1) + (-1) 1 + 2 1 = 0

b

c =

-1 5 + 1 6 + 1 2 = 3

a =

a

1 1 + (-1) (-1) + 2 2 = 6

b

b =

-1 (-1) + 1 1 + 1 1 = 3

20

0 b a  a b 90 0 a 2 a 2 = 21 " width="640"

Скалярное произведение векторов

Через длины векторов и угол между ними

в координатах

a

a

a

b

b

b

cos ( )

b

a

= x 1 x 2 +y 1 y 2 + z 1 z 2

=

a

b

a

b



= 0



b

a



a

b

0

b

a



a

b

90 0

a 2

a 2

=

21

a { 3 ; -4; 2 } ,

b { -2 ; 1; 3 } ,

c {-2; - 1,5 ; 0 }

Найдите

a

b

= - 4

= 3 (-2) + (-4) 1 + 2 3

тупой

c

b

острый

= 2 ,5

= (-2) (-2) + 1 (- 1,5) + 3 0

a

c

прямой

= 3 (-2) + (-4) (- 1,5) + 2 0

= 0

c

b

c

a

a

b

Перпендикулярны ли векторы и , и , и

Каким (острым, тупым или прямым) является угол между

векторами и , и , и

a

a

b

c

c

b

22

a

b

Косинус угла между ненулевыми векторами и

выражается формулой

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

cos =



x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

23

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

a

b

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

Доказательство:

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

a =

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

b =

a

a

b

cos

b



=

b

a

cos



=

a

b

cos



=

24

0 1   причем при a b b a 2 = Переместительный закон a c + b c ( a + b ) c 3 = «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др. Распределительный закон 4 ( k a ) b k ( a b ) Сочетательный закон = 25 " width="640"

Свойства скалярного произведения векторов

b

b

c

k

a

Для любых векторов , , и любого числа справедливы равенства:



a 2 0

a 0

a 2 0

1

 

причем при

a

b

b

a

2

=

Переместительный закон

a c + b c

( a + b ) c

3

=

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

Распределительный закон

4

( k a )

b

k ( a b )

Сочетательный закон

=

25

a c + b c

( a + b ) c

=

Распределительный закон

имеет место для любого числа слагаемых.

Например,

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

( a + b + c ) d

a d + b d + c d

=

26

№ 462. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – прямоугольный параллелепипед, АА 1 =АВ=А D =1, ,

ВА D 1 C 1

= 1 1 cos180 0

а )

B 1

C 1

A 1

D 1

1

B

C

1

A

60 0

D

1

27

В C 1 D 1 B

б )

№ 462.

(0;1;1)

C 1

B 1

1

A 1

3

D 1

( ; ;1)

В C 1 {0;1;1}

2

2

1

3

1

B

D 1 B {- ;- ;-1}

C

2

2

1

3

2

A

60 0

D

1

1

2

28

АС 1 А C 1

№ 462.

в )

= 2 2 cos0 0

1 способ

C 1

B 1

D 1

A 1

B

1

C

1

120 0

60 0

D

A

1

29

№ 462.

в )

АС 1 А C 1

2 способ

(0;1;1)

C 1

B 1

3

3

АС 1 {- ; ; 1}

D 1

2

A 1

2

B

1

C

1

3

2

60 0

D

A

1

1

1

3

( ; - ; 0 )

2

2

2

30

№ 462.

г )

IDB 1 I

B 1

C 1

D 1

A 1

B

1

C

1

1

60 0

D

A

1

30

№ 462.

cos(DA 1 D 1 B)

е )

B 1

C 1

1

3

( ; - ;1)

2

2

1

A 1

3

D 1

( ; ;1)

2

2

1

3

1

B

D 1 B {- ;- ;-1}

C

2

2

1

3

2

DA 1 {0;- 1; 1}

A

60 0

1

3

( ; ;0)

D

2

1

2

1

2

32

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямыми.

Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a , если он лежит либо на прямой a , либо на прямой, параллельной a .

a

B

c

A

33

• Направляющий вектор для прямой a .
• Направляющий вектор для прямой b .
• Вычислить cos





x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

cos =



x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

a

D

C

B

b

A

Угол между прямыми это тот из углов, который не превосходит любой из трех остальных углов !

34

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Направляющий вектор для прямой a .



Вектор, перпендикулярный к плоскости .



- искомый угол между прямой и плоскостью

- угол между векторами p и n



a

n

p





35

тупой

a

n





p

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

sin =



x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

36

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью.

• Направляющий вектор для прямой a .
• Вектор, перпендикулярный к плоскости .
• Вычислить sin







x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2

sin =



x 2 2 + y 2 2 + z 2 2

x 1 2 + y 1 2 + z 1 2

37