ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА
в
в
- От конца вектора а отложить вектор в, равный вектору в ;
- Провести вектор из начала вектора а в конец вектора в.
- ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой векторов а и в.
в
а+в
а
а
а
а + в
а
ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
- От начала вектора а отложить вектор в, равный вектору в;
- На векторах а и в как на сторонах построить параллелограмм ;
- Провести из общего начала векторов а и в вектор –диагональ параллелограмма.
- ВЫВОД: полученный вектор будет суммой векторов а и в.
а
в
в
а 3
ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА
1 ) От конца вектора а 1 отложить вектор а 2 ,
равный вектору а 2;
2) Повторить откладывание векторов столько раз , сколько векторов нужно отложить;
3) Провести вектор из конца вектора а n в начало а.
ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1 , а 2 , а 3 ,… и а n
а 4
а 1
а 3
а 2
1
а 2
а 1
а 4
4
ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Для любых векторов а , в и с справедливы равенства:
1) а + в = в + а --- переместительный закон
2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) --- сочетательный закон
А
а + в
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН
1 .Доказательство: Рассмотрим случай ,когда векторы а и в не коллинеарные.
ОТ произвольной точки А отложим векторы
АВ = а и А D = в и на этих векторах построим параллелограмм АВС D . По правилу треугольника АС = АВ + А D = а + в.
Аналогично АС= А D + D С = в + а. Отсюда
Следует ,что а + в = в + а,
в
С
В
а
а
D
в
СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН
2. Доказательство : От произвольной точки А отложим вектор АВ = а , а от точки В вектор ВС = в , от точки С вектор С D =с. Применяя правило треугольника , получаем:
(а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ С D = А C +С D =А D
а + ( в + с) = АВ + (ВС + С D)= АВ + ВС = А D . Отсюда
следует , что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана.
в
В
С
а
с
.
D
А
ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
а
а
а- в
а
в
в
в
Разностью векторов а и в называется такой вектор , сумма которого с вектором в равна вектору а
8
Теорема : Для любых векторов а и в справедливо равенство
а – в = а +( - в ).
Доказательство. По определению разности векторов
( а – в ) + в = а Прибавив к обеим частям этого равенства
вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а + (-в),или
(а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в).
-в
А
В
а
а
.
а -в
в
О
Задача.
Сложить коллинеарные противоположно направленные векторы.
а
в
а + в
.
О
8
Задача.
Векторы а и в коллинеарные , найти сумму векторов.
а
а
С
в
в
а + в
а
О
Задача.
Дано:
х + y
А)
х
В)
x +z
у
z
C)
z + y
Задача.
Дано:
а
e
d
а
а +в +с + d +е
в
с
в
с
d
е
13
Задача.
Дано:
- х
-y
x -z
-z
у
х
y
x
x
z
х - у
z - y
z
y
у
ЗАДАЧА : используя правило треугольника , постройте векторы ОА = а +в
а
а
АА
ОА
в
в
14
ЗАДАЧА: используя правило параллелограмма
постройте векторы ОР =х + у
P
х
Х+У= ОР
O
у
х.
у
14
Задача : Используя правило треугольника, найдите сумму векторов:
а) РМ и МТ, б) СН и НС,
в) АВ + 0,г) 0 +СЕ.
ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ :
1) https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)#.D0.9E.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.88.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B5.D0.B6.D0.B4.D1.83_.D0.B2.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.B8
2) http://animashki.kak2z.org/category.php?cat=17
3) Геометрия.Учебник для 10-11классов. Атанасян Л.С. и др.