Сложение и вычитание векторов

ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКА

в

в

• От конца вектора а отложить вектор в, равный вектору в ;
• Провести вектор из начала вектора а в конец вектора в.
• ВЫВОД: полученный вектор и будет суммой векторов а и в.

в

а+в

а

а

а

а + в

а

ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

• От начала вектора а отложить вектор в, равный вектору в;
• На векторах а и в как на сторонах построить параллелограмм ;
• Провести из общего начала векторов а и в вектор –диагональ параллелограмма.
• ВЫВОД: полученный вектор будет суммой векторов а и в.

а

в

в

а 3

ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА

1 ) От конца вектора а 1 отложить вектор а 2 ,

равный вектору а 2;

2) Повторить откладывание векторов столько раз , сколько векторов нужно отложить;

3) Провести вектор из конца вектора а n в начало а.

ВЫВОД: полученный вектор в и будет суммой векторов а 1 , а 2 , а 3 ,… и а n

а 4

а 1

а 3

а 2

1

а 2

а 1

а 4

4

ЗАКОНЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ

Для любых векторов а , в и с справедливы равенства:

1) а + в = в + а --- переместительный закон

2) ( а + в ) + с = а + ( в + с ) --- сочетательный закон

А

а + в

ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН

1 .Доказательство: Рассмотрим случай ,когда векторы а и в не коллинеарные.

ОТ произвольной точки А отложим векторы

АВ = а и А D = в и на этих векторах построим параллелограмм АВС D . По правилу треугольника АС = АВ + А D = а + в.

Аналогично АС= А D + D С = в + а. Отсюда

Следует ,что а + в = в + а,

в

С

В

а

а

D

в

СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН

2. Доказательство : От произвольной точки А отложим вектор АВ = а , а от точки В вектор ВС = в , от точки С вектор С D =с. Применяя правило треугольника , получаем:

(а + в ) + с = ( АВ + ВС )+ С D = А C +С D =А D

а + ( в + с) = АВ + (ВС + С D)= АВ + ВС = А D . Отсюда

следует , что ( а + в ) + с = а + ( в + с). Теорема доказана.

в

В

С

а

с

.

D

А

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ

а

а

а- в

а

в

в

в

Разностью векторов а и в называется такой вектор , сумма которого с вектором в равна вектору а

8

Теорема : Для любых векторов а и в справедливо равенство

а – в = а +( - в ).

Доказательство. По определению разности векторов

( а – в ) + в = а Прибавив к обеим частям этого равенства

вектор (-в), получим (а – в ) + в + (-в)= а + (-в),или

(а – в ) +0=(-в), откуда а – в = а + (-в).

-в

А

В

а

а

.

а -в

в

О

Задача.

Сложить коллинеарные противоположно направленные векторы.

а

в

а + в

.

О

8

Задача.

Векторы а и в коллинеарные , найти сумму векторов.

а

а

С

в

в

а + в

а

О

Задача.

Дано:

х + y

А)

х

В)

x +z

у

z

C)

z + y

Задача.

Дано:

а

e

d

а

а +в +с + d +е

в

с

в

с

d

е

13

Задача.

Дано:

- х

-y

x -z

-z

у

х

y

x

x

z

х - у

z - y

z

y

у

ЗАДАЧА : используя правило треугольника , постройте векторы ОА = а +в

а

а

АА

ОА

в

в

14

ЗАДАЧА: используя правило параллелограмма

постройте векторы ОР =х + у

P

х

Х+У= ОР

O

у

х.

у

14

Задача : Используя правило треугольника, найдите сумму векторов:

а) РМ и МТ, б) СН и НС,

в) АВ + 0,г) 0 +СЕ.

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ИСТОЧНИКИ :

1) https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_(%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F)#.D0.9E.D1.82.D0.BD.D0.BE.D1.88.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F_.D0.BC.D0.B5.D0.B6.D0.B4.D1.83_.D0.B2.D0.B5.D0.BA.D1.82.D0.BE.D1.80.D0.B0.D0.BC.D0.B8

2) http://animashki.kak2z.org/category.php?cat=17

3) Геометрия.Учебник для 10-11классов.   Атанасян Л.С. и др.