Сложение и умножение числовых неравенств

Сложение и умножение числовых неравенств

Все разобранные выше свойства объединяет то, что сначала дано верное числовое неравенство, и из него посредствам некоторых манипуляций с частями неравенства и знаком получается другое верное числовое неравенство. Сейчас мы приведём блок свойств, в которых изначально дано не одно, а несколько верных числовых неравенств, а новый результат получается из их совместного использования после сложения или умножения их частей.

1. Сложение неравенств. Верные числовые неравенства одного знака можно почленно складывать, при этом получится верное неравенство, т.е. если для чисел a, b, c и d справедливы неравенства и , то верным является и числовое неравенство .

Доказательство: составим разность , так как и , а сумма двух отрицательных чисел есть число отрицательное, значит, , ч.т.д.

По индукции это свойство распространяется на почленное сложение трёх, четырёх, и, вообще, любого конечного числа числовых неравенств. Так, если для чисел справедливы неравенства , то методом математической индукции можно доказать, что

Например, если и , то .

1. Умножение неравенств. Верные числовые неравенства одного знака, обе части которых представлены положительными числами, можно почленно умножать, при этом получится верное неравенство, т.е. для двух неравенств и , где a, b, c и d – положительные числа, справедливо числовое неравенство .

Для доказательства можно умножить обе части неравенства на число c, и обе части неравенства – на число b, что даёт верные числовые неравенства и , из которых по свойству транзитивности следует, что .

Указанное свойство справедливо и для умножения любого конечного числа верных числовых неравенств с положительными частями.

То есть, если – положительные числа, причём , то

Заметим, что если в записи числовых неравенств содержатся неположительные числа, то их почленное умножение может приводить к неверным числовым неравенствам.

Например, числовые неравенства и – верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств даёт что то же самое, , а это неверное неравенство.

Следствие. Почленное умножение одинаковых верных неравенств вида с положительными a и b даёт верное числовое неравенство

В заключение, соберём все изученные свойства в таблицу свойств числовых неравенств:

1. Пусть и – положительные числа. Верно ли, что

   если , то

   если то

2. Пусть и – отрицательные числа. Верно ли, что

   если , то

   если то

3. Пусть и . Сравнить с нулём значение выражения:

4. Пусть и . Сравнить с нулём значение выражения:

5. Пусть – положительное число. Сравнить с нулём значение выражения:

6. Пусть – положительное число. Сравнить с нулём значение выражения:

7. Из данных неравенств выпишите те, которые верны при любом значении :

8. Из данных неравенств выпишите те, которые верны при любом значении :

9. Сложите почленно неравенства:

10. Перемножьте почленно неравенства:

11. Верно ли, что:

1. если , то а) ; б) ; в)

2. если , то а) б) в)

3. если , то

4. если , то а) ; б) ; в)

5. если , то а) б) в)

6. если , то

1. Докажите, что если , то:

2. Докажите, что если , то:

3. Докажите, что если , то:

4. Докажите, что если , то:

5. Докажите, что, если и , то

6. Докажите, что, если и , то

7. Сравните, если возможно:

   , если	если
   , если	если
   если	если
   если	если

8. Пусть и . Сравнить с нулём:

9. Пусть и . Сравнить с нулём:

10. Пусть – произвольное число. Сравнить с нулём значение выражения:

11. Пусть – произвольное число. Сравнить с нулём значение выражения:

1. Докажите, что при любом а дробь принимает значение, большее или равное 2.

2. Докажите, что при любом а дробь не превосходит .

3. Докажите, что правильная дробь (a и b – натуральные числа, ) увеличится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.

4. Докажите, что неправильная дробь (a и b – натуральные числа, ) уменьшится при прибавлении к её числителю и знаменателю одного и того же положительного числа.

5. Первый велосипедист проехал из посёлка в город и возвратился обратно, двигаясь с постоянной скоростью. Второй велосипедист ехал в город со скоростью, на 2 км/ч большей скорости первого, а возвращался в посёлок со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем скорость первого велосипедиста. Кто из них затратил на весь путь больше времени?

6. Расстояние от турбазы до станции равно 18 км. Чтобы попасть на поезд, туристы должны были пройти это расстояние с определённой скоростью. Однако, половину пути они шли со скоростью на 1 км/ч меньше намеченной, а вторую половину пути – со скоростью на 1 км/ч больше намеченной. Успеют ли туристы попасть на поезд?

7. Известно, что . Оценить значение выражения:

8. Известно, что . Оценить значение выражения:

9. Зная, что и , оцените:

10. Зная, что и , оцените:

11. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами см и см, если .

12. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами см и см, если .

13. Пользуясь тем, что и , оцените:

14. Пользуясь тем, что и , оцените:

15. Зная, что и , оцените значение выражения .

16. Зная, что и , оцените значение выражения .

17. Оцените значение выражения:

    , если	если
    , если	если
    если	если
    если	если

18. Известно, что и . Оцените произведение и разность . Сравните результаты.

19. Известно, что и . Оцените разность и произведение . Сравните результаты.

20. Оцените величину угла С в треугольнике АВС, если известно, что , .

21. Оцените величину угла A в треугольнике АВС, если известно, что , .

22. Оцените среднюю линию треугольника с основанием а, если .

23. Оцените среднюю линию трапеции с основаниями а см и b см, если .

3