Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Геометрия. 8 класс

Квадратные уравнения Алгебра 8 класс

Древний Вавилон

Уже во втором тысячелетии до нашей эры вавилоняне знали, как решать квадратные уравнения. Решение их в Древнем Вавилоне было тесно связано с практическими задачами, в основном такими, как измерение площади земельных участков, земельные работы, связанные с военными нуждами; наличие этих познаний также обусловлено развитием математики и астрономии вообще. Были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений.

Вавилонская башня

Диофант Александрийский записал бы уравнение

ψ

3 х 2 – 10 х = 13

так:

3

Индия

Задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений, встречаются в трактате по астрономии «Ариабхаттиам», написанным индийским астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году нашей эры. Один из первых известных выводов формулы корней квадратного уравнения принадлежит индийскому учёному Брахмагупте (около 598 г.); Брахмагупта изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к каноническому виду:

ах 2  + bх = с .

Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным.

Брахмагупта

3

Основные понятия

Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2  + bх + с = 0 , где коэффициенты а , b , с – любые действительные числа, причем a ≠ 0 .

Многочлен ах 2  + bх + с называют квадратным трехчленом

а х 2  + b х + с = 0

старший коэффициент

свободный член

второй (средний) коэффициент

0,5 х 2  + 8 х – 5 = 0

2 + х 2  + 3 х = 0

Основные понятия

Квадратное уравнение называют приведённым , если его старший коэффициент равен 1 ; квадратное уравнение называют неприведённым , если старший коэффициент отличен от 1 .

1) х 2  + 4 х + 2 = 0

– приведённое

2) 0,5 х 2  + 8 х – 5 = 0

– неприведённое

3) – 6 х 2 – 9 х 4 + 7 = 0

4) – х 2  + х – 9 = 0

– неприведённое

5) 2 + х 2  + 3 х = 0

– приведённое

6) 15 – х 3  + 4 х = 0

7) х 2  + 3 х = 0

– приведённое

Основные понятия

ах 2  + bх + с = 0

Если b ≠ 0 и c ≠ 0 , то

ах 2  + bх + с = 0 – полное квадратное уравнение

Если b = 0 или c = 0 , то

ах 2  + bх + с = 0 – неполное квадратное уравнение

1) х 2  + 4 х + 2 = 0

– полное

2) 0,5 х 2  + х – 5 = 0

– полное

3) – 6 х 2 – 7 = 0

– неполное

4) – х 2  + х = 0

– неполное

5) х 2  + 3 х = 1

– полное

6) х 2  + 9 = 0

– неполное

Основные понятия

Корнем квадратного уравнения ах 2  + bх + с = 0 называют всякое значение переменной х , при котором квадратный трёхчлен ах 2  + bх + с обращается в нуль ; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трёхчлена .

1) х 2  + 2 х + 1 = 0;

х = -1

← корень

(-1) 2  + 2·(-1) + 1 = 0.

х 1 = 0, х 2 = -3

2) х 2  + 3 х = 0;

← корни

(-3) 2  + 3·(-3) = 0.

0 2  + 3·0 = 0;

Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Неполные квадратные уравнения

ах 2  + bх + с = 0

2) Если a ≠ 0 , b = 0 , с ≠ 0 , то

1) Если a ≠ 0 , b ≠ 0 , с = 0 , то

3) Если a ≠ 0 , b = 0 , с = 0 , то

Неполные квадратные уравнения

Примеры:

1) 2 х 2  + 4 х = 0

2) х 2 – 9 = 0

( х – 3)( х + 3) = 0

2 х ( х + 2) = 0

х – 3 = 0 или х + 3 = 0

2 х = 0 или х + 2 = 0

х 1 = 3 х 2  = - 3

х 1 = 0 х 2  = -2

Ответ: -3; 3.

Ответ: -2; 0.

3) – 6 х 2 – 7 = 0

4) – х 2  + х = 0

– 6 х 2 = 7

– х ( х – 1) = 0

– х = 0 или х – 1 = 0

х 2 = – 7/6

- не имеет смысла .

х 1 = 0 х 2  = 1

Ответ: нет корней .

Ответ: 0; 1.

Квадратные уравнения

ах 2  + bх + с = 0

– дискриминант квадратного уравнения

0 , то квадратное уравнение ах 2  + bх + с = 0 имеет два корня: " width="640"

Квадратные уравнения

ах 2  + bх + с = 0

– дискриминант квадратного уравнения

1) Если D , то квадратное уравнение

ах 2  + bх + с = 0 не имеет корней.

2) Если D = 0 , то квадратное уравнение

ах 2  + bх + с = 0 имеет один корень:

3) Если D 0 , то квадратное уравнение

ах 2  + bх + с = 0 имеет два корня:

Квадратные уравнения

Примеры:

1) х 2  + 4 х – 5 = 0

Ответ: -5; 1.

Квадратные уравнения

Примеры:

2) 4 х 2  + 3 х – 2 = 0

Ответ:

Квадратные уравнения

Примеры:

3) 4 х 2  – 12 х + 9 = 0

Ответ: 1,5.

Квадратные уравнения

Примеры:

4) 2 х 2  – 3 х + 6 = 0

Ответ: нет корней .

Рациональные уравнения

Пример 1:

1

( x+ 1)

х

Рациональные уравнения

Пример 1:

Ответ: 1.

Рациональные уравнения

Пример 2:

x ( x- 3)

2( x- 3)

2 x

Рациональные уравнения

Пример 2:

Ответ: 0,6; 2.

Биквадратные уравнения

Уравнение вида ах 4  + bх 2 + с = 0 называют биквадратным .

Примеры:

1) х 4  + х 2 – 20 = 0

Биквадратные уравнения

1) х 4  + х 2 – 20 = 0

Ответ: ± 2.

Использованы ресурсы

• Геометрия, 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.] – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2016.
• Изучение геометрии в 7 – 9 классах: Пособие для учителей / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др. – 7-е изд. – М.: Просвещение, 2009.
• http://retrobazar.com/journal/interesting/1088_vavilon-istorija-goroda-drevnego-mira-. html - Древний Вавилон
• https ://ru.wikipedia.org/wiki/ Брахмагупта - Брахмагупта
• http:// mythiki-anazitisi.blogspot.ru/2014/03/blog-post_6.html - Диофант