Составление уравнения касательной к графику данной функции, параллельной данной прямой

Обучение школьников решению задач данного типа

с позиции деятельностного подхода

Тема: Составление уравнения касательной к графику данной функции,

параллельной данной прямой

Цели:

Обучающая: ПРАКТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ

1. закрепление понятия касательной к графику функции в точке и понимания геометрического смысла производной;

2. совершенствование умения составления уравнения касательной к графику заданной функции в данной точке;

3. вывод алгоритма составления уравнения касательной, параллельной данной прямой;

4. формирование умения применения алгоритма для конкретных функций.

Развивающая: ТЕОРЕТИЧЕСКИХ УМЕНИЙ

• самоконтроля посредством соотнесения этапов решения эталонам;

• развитие математического интереса, логического мышления, исследовательских навыков посредством организации поиска решения заявленной задачи;

• математической речи посредством организации этапа громкой речи;

• умений планирования при организации применения алгоритма решения;

• контроля посредством написания контролирующей работы и проверки правильности решения по предъявленным ответам.

Воспитывающая: ЛИЧНОСТНЫЕ КАЧЕСТВА

формирование у школьников усидчивости, самостоятельности, навыков самоорганизации и самоконтроля.

Оборудование урока:

Интерактивная доска или проектор, раздаточный материал (карточки-опоры)

справочные таблицы на стенах следующего содержания:

Ход урока

1. Организационный момент, сообщение обучающей цели урока (цель заявлена темой урока)

2. Актуализация опорных знаний (мотивационно-ориентировочный этап)

Цель этапа: актуализация знаний, необходимых для усвоения темы:

1. понятия касательной к графику функции;

2. признака параллельности прямых;

3. знание формулы касательной в различных интерпретациях;

4. алгоритма решения задачи по известной абсциссе точки касания.

Ответьте на вопросы:

Вопросы могут быть предложены учащимся фронтально по одному, или предъявляться всем списком с последующим обсуждением ответов (с самопроверкой).

1. Согласны ли вы с утверждением: «Касательная – это прямая, имеющая с данной кривой одну общую точку»? Почему? Объясните, используя чертежи:

1. Какие из указанных прямых параллельны? у = 0,5х; у = - 0,5х;

у = 0,5 - 0,5х. Почему?

1. Выберите, по крайней мере, один вариант верного уравнения касательной из предложенных:

1. y = f''(x₀) + f(x₀)(x - x₀)

2. y = f''(x₀)(x - x₀) + f(x₀) ٧

3. y= f''(x₀)x + f(x₀) - x₀

4. y= f''(x₀)x + f(x₀) - f''(x₀)x₀ ٧

1. Какую ключевую задачу с касательной к графику заданной функции вы знаете? Повторим алгоритм ключевой задачи 1.

Задачи на повторение могут быть заданы по усмотрению учителя: либо заранее двум учащимся с последующей проверкой или сверкой с готовым решением, заготовленным учителем на экран; или быть заданными для самостоятельного решения всему классу с последующей самопроверкой с решением на экране.

Ключевая задача 1. Составление уравнения касательной, если задана точка касания

1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х²–2х–3 в точке с абсциссой х₀=2.

Решение:

1. Обозначим абсциссу точки касания а, тогда, а=2.

2. Найдем ординату точки касания f(a): f(2)= - 3

3. Найдем производную данной функции и значение производной в точке касания f’ (x) и f’(a): f’(x)=2x–2, f’(a)=2.

4. Подставим найденные числа f(a), f‘(a) в общее уравнение касательной

у = f(a) + f’(a)(x–a): у=-3+2(х–2), у=-3+2х–4,

у = 2х–7 – уравнение касательной. Ответ: у=2х –7.

2 . Составьте уравнение касательной к графику функции у =f (x) в точке с абсциссой х = а, если

Решение:

1. О бозначим абсциссу точки касания а, тогда, а=2.

2. Найдем ординату точки касания f(a):

3. Найдем производную данной функции и значение производной в точке касания и :

4. Подставим найденные значения в общее уравнение касательной

Ответ: у=7х –10 – искомое уравнение касательной.

1-й этап – мотивационный. Происходит предварительное ознакомление учащихся с целью обучения, создание «внутренней», или познавательной, мотивации. Для создания познавательной мотивации можно использовать проблемные ситуации.

Цель этапа: подведение учащихся к мысли о вариативности данных в изученной задаче составления уравнения касательной и вычленение возможных вариантов данных.

1. Выберите данные, необходимые для составления уравнения касательной к графику заданной функции в данной точке:

1. точка касания;

2. абсцисса точки касания;

3. ордината точки касания;

4. формула функции, к графику которой будет проведена касательная;

5. формула производной данной функции для нахождения значения производной в точке касания;

6. значения производной в точке (точках) касания;

7. угол наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс;

8. тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси абсцисс;

9. коэффициент k в уравнении касательной y = kx + b.

В результате нужно подвести к следующим рассуждениям:

1. из первых двух вариантов в задаче могут быть заданы каждый, но достаточно второго;

2. варианты с) и f) могут быть получены с помощью расчетов;

3. вариант ответа e) может быть получен самостоятельно, с помощью правил дифференцирования функций и таблицы производных;

4. последние 4 варианта из предложенных ответов могут быть взаимнозаменимы, либо получены один из другого.

Вывод: данные в задаче можно варьировать. Для составления уравнения касательной необходимо иметь как минимум 2 данных: формулу функции и абсциссу точки касания (это заложено в формуле касательной).

Объявление цели сегодняшнего занятия: Целью сегодняшнего занятия является изучение одной из таких вариационных задач, когда вместо одного из необходимых данных, а именно – абсциссы точки касания – предъявляется некая прямая, заданная формулой линейной функции y = kx + b , параллельная искомой касательной.

Вопрос: как вы будете решать задачу?

На следующем этапе надо организовать обсуждение предлагаемых вариантов решения.

1. Изучение нового материала

Цель этапа: составление алгоритма решения задачи написания уравнения касательной, параллельной графику данной прямой, формирование ориентировочной основы действия.

Учащимся объявляется, что цель сегодняшнего занятия – разобрать алгоритм только одного из видов заданий, а именно: Ключевая задача 2. Составление уравнения касательной к графику данной функции, параллельной данной прямой.

Итак, теперь у нас 2 ключевые задачи:

1. Составление уравнения касательной в точке;

2. Нахождение точки (точек) касания: по условию параллельности прямых;

Учащимся предлагается объяснить готовые решения задач, косвенно связанных с новой темой. На экране предъявляются две задачи с решениями, которые обсуждаются, акцент делается на момент приравнивания значения производной в точке угловому коэффициенту из уравнения прямой, параллельной касательной.

Нахождение точки (точек) касания

1. В какой точке касательная к графику функции у = х² параллельна прямой

у = 2х+1?

Решение:

Ответ: (1; 1) - координаты точки касания

2 . В какой точке касательная к графику функции у =sinx параллельна прямой у = - х?

Р ешение:

Ответ: - координаты точек касания.

2-й этап – составление схемы ориентировочной основы действия (ООД). Ученик разбирается в содержании усваиваемого действия: в свойствах предмета, в результате-образце, в составе и порядке исполнительных операций.

Цель этапа: поиск и составление алгоритма решения новой для них задачи. Учащимся предъявляется задача с решением, но решение открывается строка за строкой после того, как ученики «найдут» следующий шаг решения. Учитель может стимулировать активность ребят наводящими вопросами.

1. Первичное закрепление нового материала (этап уяснения знаний)

Учащимся предлагается алгоритм-памятка решения задачи в виде фрагмента тетради с печатной основой:

Решение:

1. Пусть а- ______________________________________________;

2. Найдем (выразим) ___________________________________________ f (a) = ……;

3. Найдем (выразим) __________________ и__________________________ f’(a)=….;

4. Но, с другой стороны, f’(a)=k, где k – угловой коэффициент в уравнении данной прямой (условие параллельности).

Решим уравнение … =… , получим a = …. - _______________________точек касания;

5. Вычисляем _________________________________ f (a) = …. (или несколько f (a) =…);

6. Подставим найденные числа а, f(a),f‘(a) в _____________________________касательной

у = f(a) + f’(a)(x - a):

y =… х +… (или несколько у = ... х + … ) - уравнения касательных.

Сначала учащимся предлагается заполнить пропуски в данном руководстве (это можно сделать с самопроверкой с доски).

Ответы:

1. абсцисса точки касания

2. ординату точки касания

3. производную и значение производной в точке касания

4. абсцисса (сы)

5. ординату точки касания

6. общее уравнение

ВОПРОСЫ:

1. К чему (к каким действиям) сводится решение ДАННОЙ задачи?

1. Сколько и каких данных требуется для решения ДАННОЙ задачи?

Полученные заполненные опоры остаются у учеников.

Затем учащимся предлагается решить задачу, используя данный алгоритм, используя карточку-инструктаж (материализованная основа действия), в которой предлагается заполнить пропуски.

Лучше вызвать к доске ученика, который может громко вслух комментировать действия.

3-й этап – формирование действия в материальной или материализованной форме. Действие выполняется как внешнее, практическое, с реальными предметами (материальная форма действия), например, перекладывание каких-либо предметов при счете. Действие выполняется с преобразованным материалом: моделями, схемами, диаграммами, чертежами и т. п. (материализованная форма), например счет на палочках. При этом все операции действия осознаются, а замедленное их выполнение позволяет увидеть и осознать содержание как операций, так и всего действия в целом. Обязательным условием этого этапа является сочетание материальной формы действия с речевой, что позволяет отделить усваиваемое действие от тех предметов или их заместителей, с помощью которых оно выполняется. Когда действие начинает протекать плавно, безошибочно и более быстро, убираются ориентировочная карточка и материальные опоры.

Цель данного этапа: пошаговый контроль своих действий.

Работа в парах: учащимся предлагается на местах решить следующую задачу, проговаривая вполголоса алгоритм решения по карточке-опоре:

Учитель предлагает ребятам использовать карточки-опоры и решить задания у доски и на местах, воссоздавая весь алгоритм, с громким проговариванием у доски, с уточнениями и дополнениями класса с мест.

4-й этап – формирование действия в громкой речи. Ученик, лишенный материальных опор действия, анализирует материал в плане в громкой социализированной речи, обращенной к другому человеку. Это одновременно и речевое действие, и сообщение об этом действии. Речевое действие должно быть развернутым, сообщение – понятным другому человеку, контролирующему процесс обучения. На этом этапе происходит «скачок» – переход от внешнего действия к мысли об этом действии. Осваиваемое действие проходит дальнейшее обобщение, но остается несокращенным, неавтоматизированным.

1. К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой y = 2 – x:

1. Закрепление нового материала (этап отработки того, что уяснено)

Цель этапа: формирование умения решать задачу посредством пошагового контроля и самоконтроля своих действий (тренинг по алгоритму)

5-й этап – формирование действия во внешней речи «про себя». Ученик использует ту же речевую форму действия, что и на предыдущем этапе, но без проговаривания (даже шепотом). Здесь возможен пооперационный контроль: педагог может уточнять последовательность производимых операций или результат отдельной операции. Этап завершается, когда достигается быстрое и правильное выполнение каждой операции и всего действия.

1. Т ренировочные упражнения: К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой y = 2 – x:

Ответы: а),б),в)

6-й этап – формирование действия во внутренней речи. Ученик, решая задачу, сообщает только конечный ответ. Действие становится сокращенным и легко автоматизируется. Но это автоматизированное действие, выполняемое с максимально возможной для ученика скоростью, остается безошибочным (при появлении ошибок необходимо вернуться на один из предыдущих этапов). На последнем, шестом, этапе формируется умственное действие, появляется «феномен чистой мысли».

Цель этапа: совершенствование умения решать задачу посредством свертывания действия (сворачивание шагов некоторых алгоритма.

1. П рямая у = 7х - 5 параллельна касательной к графику функции у = х² + 6х - 8. Найдите абсциссу точки касания.

1. Составьте уравнение всех касательных к графику функции , параллельных прямой y = - 6x +5

2. Ответьте на теоретические вопросы

1. Как формулируется задача, изученная вами сегодня на уроке?

2. К чему (к каким действиям) сводится решение данной задачи?

3. Сколько и каких данных требуется для решения данной задачи?

1. Контроль знаний

Цель данного этапа: контроль правильности усвоения знаний посредством решения заданий и проверки правильности решения по предъявленным на экране ответам, развитие контроля и самоконтроля.

1. Подведение итогов. Самопроверка по готовым ответам.