Способы решения логических задач

Задача 2. « Сельскохозяйственная бригада ».

В начале лета школьники организовали сельскохозяйственную бригаду и избрали бригадира , заместителя бригадира и звеньевых первого , второго и третьего звеньев . Их имена: Аня , Боря , Вася , Гриша и Дина . Звеньевая первого звена решила подружиться со звеньевой второго звена. Дина удивилась, узнав, что бригадир и звеньевая второго звена – брат и сестра. Гриша дружит с бригадиром и его заместителем . У Васи нет сестёр. Назовите должности каждого из ребят.

Аня Боря Вася Гриша Дина

Бригадир Заместитель 1 2 3

бригадира звено звено звено

Задача 3 . « Ограбление » .

Брауну , Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники скрылись на синем « Бьюике », Джонс сказал, что это был черный « Крайслер », а Смит утверждает, что это был « Форд Мустанг » и ни в коем случае не синий . Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет. Какого цвета и какой марки был автомобиль?

Обозначим простые высказывания:

А = « Машина синего цвета»;

В = « Машина марки « Бьюик »»;

С = «Машина чёрного цвета»;

D = «машина марки « Крайслер »»;

Е = «Машина марки « Форд Мустанг »».

Решение

Из слов Брауна следует, что А+В= 1 .

Из слов Джонса следует, что С+D= 1 .

Из слов Смита следует, что ( не А )+ Е = 1 .

Перемножим логически эти высказывания

и выполним преобразования :

( А + В )*( С + D )*(не А + Е )=

=( А *С* не А )+(А*С*Е)+( А *D* не А )+(А*D*Е)+

+(В*С*неА)+(В*С*Е)+(В*D*неА)+(В*D*E) =

= 0 + А*С*Е + 0 + А*D*Е + В*С* не А + В*С*Е +

+ В*D*неА + В*D*E= 1

0

0

0

В*С* не А =1

0

0

Ответ: автомобиль был черного цвета марки « Бьюик »

Задача 4 . « Уроки логики ».

На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен следующий ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно , что если изучал третий, то изучал и второй. Кто из учащихся изучал логику?

Решение

Введем обозначения:

Р1 = « 1 - й учащийся изучал логику »

Р2 = « 2 - й учащийся изучал логику »

Р3 =« 3 - й учащийся изучал логику »

Из условия задачи следует истинность высказывания :

но

*

(Р3  Р2)

(Р1  Р2)

Упростим полученное высказывание:

А  В = А +В

(Р1  Р2) * (Р3  Р2)=

А+В = А * В

= (Р1 + Р2)*(Р3 + Р2) =

= (Р1+Р2) * ( Р 3 * Р 2 )=

( P1+P2 ) * P3 * P2 =

1 ( истина )

= Р1 * Р3 * Р2 + Р2 * Р3 * Р2

=Р1* Р3 *Р2=

0

Ответ : Логику изучал 3 -й учащийся,

а 1 -й и 2 -й не изучал .

Задача 5. « Кто виноват ?»

По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов , Петров , Сидоров . Следствием установлено следующее:

1) если Иванов не виновен или Петров виновен , то Сидоров виновен;

2) если Иванов не виновен , то Сидоров не виновен .

Виновен ли Иванов ?

Рассмотрим простые высказывания:

А = « Иванов виновен »,

В = « Петров виновен »,

С = « Сидоров виновен ».

Решение.

Факты, установленные следствием:

(А + В)  С

1)

2)

А  С

F (A,B,C) = ((А + В)  С ) * ( А  С)

Составим таблицу истинности для данного высказывания:

Пусть F = ((А + В)  С )*( А  С)

Составим таблицу истинности для данного высказывания:

F = ((А + В)  С )*( А  С)

А

В

0

С

0

0

не А

0

0

0

Не А + В

1

0

1

1

(не А + В )  С

1

1

0

1

1

не С

0

0

1

1

1

1

не А  не С

0

1

1

1

1

1

0

F

0

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

Задача 6. « Финансовый прогноз ».

Три подразделения А , В , С торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль . Экономисты высказали следующие предположения:

1) если А получит максимальную прибыль , то максимальную прибыль получат также В и С ;

2) либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат;

3) для того, чтобы С получило максимальную прибыль , необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.

По завершении года оказалось, что одно из трех предположений ложно . Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль ?

Решение

A =” А получит максимальную прибыль ”

В =” В получит максимальную прибыль ”

С =” С получит максимальную прибыль ”

По высказанным в задаче предположениям:

1). А → В*С

А*С

2). А*С

3). С → В

Составим таблицу истинности для 1). 2). 3).

3). С → В

А*С

1). А → В*С

2). А*С

А

В

0

С

0

0

0

0

А

0

1

1

1

0

С

0

В*С

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1)

0

1

1

0

1

1

0

0

А  В*С

А*С

1

1

0

0

0

А*С

0

1

1

2)

0

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

А*С А*С

3)

1

0

1

0

0

0

0

1

С→В  

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

1

Ответ: В и С получат максимальную прибыль.

Задача 7 . « Хоккеисты ».

На ледяном поле 5 хоккеистов: Ольховский , Малышев , Белов , Таманин , Лавров - штурмовали ворота. Раздался свисток судьи. «Удаляет двух», - подумали спортсмены. «Без Малышева или Ольховского я не останусь на поле», - сказал Таманин .

«Я тоже», - сказал Лавров .

«Удаляют либо меня с Беловым , либо Таманина с Лавровым », - сказал Малышев .

Когда судья объявил о своем решении, все оказались правы, и, кроме того, Ольховский и Белов не остались вместе на поле. Кто остался на поле?

Решение . Пусть

O =” Ольховский остался на поле ”

M =” Малышев остался на поле ”

B=”Белов остался на поле ”

T = ” Таманин остался на поле ”

L= ” Лавров остался на поле ”

Из высказываний хоккеистов:

1). Таманин : M*T+O*T=1

2). Лавров : M*L+O*L=1

3). Малышев: M*B+T*L=1

B

A

B

A

B

A* B

A+ B

A

1). M*T+O*T=1

2). M*L+O*L=1

3). M*B+T*L=1

O * T * O *L* M *B= 1

M * T *O*L* T *L= 0

5

4

O * T *L* M *B= 1

O * T * O *L* T *L= 0

6

M * T *O*L* M *B= 0

3

5

4

3

6

На поле остались Ольховский, Лавров, Таманин

B

O * T * M *L* M *B= 0

B

L

L

7

T

M

T

M

O * T * M *L* T *L= 0

8

M*T* M *L* M *B= 0

M* T *M*L* T *L= 0

2

1

L

L

7

2

L

B

O

M

O

T

L

M

M

L

L

T

M

T

T

8

B

1

M

O

Задача 8. « Пассажиры ».

В салоне небольшого самолета летели 42 пассажира. Некоторые из них были москвичами , остальные - иногородними . Среди москвичей было 9 мужчин . Некоторые из пассажиров были артистами , но ни одна из иногородних женщин артисткой не была. Всего иногородних мужчин было 18 . Из них 13 не были артистами . Среди пассажиров, не являющихся артистами, было 16 мужчин и 11 женщин . Шесть москвичей не были артистами . Разберитесь, пожалуйста, с пассажирами – кто есть кто?

42

иногородние

москвичи

42 - 26=16

26

женщины

мужчины

мужчины

женщины

18

9

16 - 9=7

8

н е а р т и с т ы

а р т и с т ы

н е а р т и с т ы

н е а р т и с т ы

н е а р т и с т ы

а р т и с т ы

а р т и с т ы

а р т и с т ы

9 – 3=6

0

5

7 – 3=4

16 – 13 = 3

11 – 3 = 8

13

3

Диаграммы Эйлера - Венна

Логическая операция

Круги Эйлера

Конъюнкция

Дизъюнкция

Обозначение

Строгая дизъюнкция

Инверсия

A

B

A*B

A

A+B

B

A xor B

A

B

не A

A

A

Задача 9. « Читатели »

В классе 30 учеников. Все они являются читателями школьной и районной библиотек. Из них 20 ребят берут книги в школьной библиотеке, 15 – в районной . Сколько ребят не являются читателями школьной библиотеки?

Решение. Пусть Ш круг изображает читателей только школьной библиотеки, Р круг – читателей районной библиотеки . Тогда ШР – читатели школьной и районной библиотек одновременно.

Ш

ШР

Р

Из рисунка: ( не Ш ) = Р – ШР

Ш

ШР

По условию

Р = 15,

Ш = 20,

Всего учеников - 30

Р

Тогда ШР =( Ш + Р) –30 =(20+15) – 30=5

(не Ш )=15 – 5 = 10

Ответ: 10 учеников не являются читателями школьной библиотеки

Задача 10. « Спортсмены »

В классе 35 учеников. Из них 24 играют в футбол ; 18 – в волейбол ; 12 – в баскетбол ; 10 учеников играют в футбол и волейбол ; 8 - в футбол и баскетбол ; 5 - в волейбол и баскетбол . Сколько учеников играют и в футбол , и в волейбол и в баскетбол одновременно?

По условию

A –(I+II+IV+VII) – футбол

B –(I+II+III+V)- волейбол

C –(I+III+IV+VI)- баскетбол

B

A

V

VII

II

I

III

IV

VI

35

C

№

Область диаграммы

1

Виды игр

Исходные

2

I

Все

Варианты

3

II

Ф и В

4

III

1

0

В и Б

5

IV

2

6

Ф и Б

10

V

1

3

В

4

9

7

VI

5

2

3

Б

18- 0-10-5=3

4

VII

8

5

8

8

4

7

Ф

12-0-5-8=-1

9

I+II

6

7

3

10

Ф+В

4

5

24- 0-10-8=6

6

2

I+III

6

10

5

11

В+Б

0

1

I+IV

5

5

Ф+Б

6

5

I+II+IV+VII

12

7

0

1

4

Ф

8

2

7

13

I+II+III+V

3

8

8

24

9

В

3

I+III+IV+VI

14

4

10

18

Б

I+II+III+IV+V+VI+VII

Всего

11

12

35

31

32

33

34

35

36

B

волейбол

A

V

VII

II

футбол

I

III

IV

VI

35

C

баскетбол

По условию

Всего - 35

Ф - 24 ; B – 18 ; Б – 12;

Ф+ В – 10 ; Ф +Б – 8 ; В +Б - 5