Среднее арифметическое

28.11.25

Медиана числового набора. Устойчивость медианы

На предыдущем уроке вы познакомились с такой статистической характеристикой как среднее арифметическое набора чисел. Сегодня мы посвятим урок еще одной статистической характеристике – медиане.

Вспомним, что такое среднее арифметическое!

Средним арифметическим числового набора называется отношение суммы всех чисел массива к их количеству .

Теперь обозначим, что же такое медиана: Медианой набора чисел называется такое число, которое разделяет набор на две равные по численности части. Вместо “медиана” можно было бы сказать “середина”. Сначала на примерах разберем, как найти медиану, а затем дадим строгое определение.

В конце учебного года 11 учеников 7-го класса сдали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты. После того как ребята пробежали дистанцию, к преподавателю подошел Петя и спросил, кокой у него результат. “Самый средний результат: 16,9 секунды”, – ответил учитель “Почему?” – удивился Петя. – Ведь среднее арифметическое всех результатов – примерно 18,3 секунды, а я пробежал на секунду с лишним лучше. И вообще, результат Кати (18,4) гораздо ближе к среднему, чем мой”. “Твой результат средний, так как пять человек пробежали лучше, чем ты, и пять – хуже. То есть ты как раз посередине”, – сказал учитель.

Пример 1:

Возьмём какой-нибудь набор различных чисел, например: 4, 9, 1, 7, 11. Сначала упорядочим набор по возрастанию: 1, 4, 7, 9, 11. Упорядоченный набор называется вариационным рядом. Теперь найдём число, которое стоит посередине. Это число 7. Число 7 – медиана этого набора.

В этом примере набор состоял из пяти чисел.

Медианой в этом случае оказывается число, стоящее в точности посередине.

Пример 2:

Рассмотрим ещё один набор чисел 2, 6, 8, 17. Числа уже упорядочены, но их четыре, поэтому среди них нет числа, стоящего точно посередине. Возьмём два числа, стоящих посередине. Это числа 6 и 8. Любое из них, а также любое число между ними можно взять в качестве медианы. Чаще всего в качестве медианы берут среднее двух центральных чисел:

Алгоритм нахождения медианы числового массива

1. Упорядочить массив по возрастанию. Получится вариационный ряд.

2. Если в массиве нечётное количество чисел, то медианой является число, стоящее посередине вариационного ряда.

3. Если в массиве чётное количество чисел, то медианой обычно считают арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

В пункте 3 следует внести поправку: если в массиве чётное количество чисел, то медиан у такого массива много – два срединных числа и все числа, заключённые между ними.

Дадим теперь точное определение медианы .

МЕДИАНА ЧИСЛОВОГО МАССИВА

Медианой числового массива называют такое число m , что хотя бы половина чисел массива не больше числа m и хотя бы половина чисел массива не меньше числа m .

ЗАДАНИЕ 1. С помощью определения покажем, что число 6 является медианой числового набора

1, 6, 3, 2, 0, 4, 9, 12, 8, 6.

Всего в наборе 10 чисел, поэтому число 6 будет медианой, если в наборе найдутся 5 (или больше) чисел, которые не больше числа 6, а также найдутся 5 (или больше) чисел, которые не меньше числа 6.

Не будем упорядочивать числа, а просто подчеркнём все числа, которые не больше числа 6, а над всеми числами, которые не меньше числа 6, поставим черту сверху (надчеркнём их):

Обратите внимание: число 6 входит и в одно, и в другое множество – оно и подчёркнуто, и надчёркнуто одновременно.

Всего мы сделали 7 подчёркиваний и 5 надчёркиваний. Значит, в этом наборе 7 чисел, не бОльших чем 6, и 5 чисел, которые не меньше чем 6. Требование определения выполнено, поэтому число 6 является медианой, ч.т.д.

Предположим, что мы хотим описать население российского города-миллионера одним числом. Найдем среднее арифметическое:

В таблице нет города, население которого было бы близко к получившемуся среднему значению.

Численность Москвы и Санкт-Петербурга, рассмотрим, как выбросы.

Численность населения городов-миллионеров в России, тыс. чел.

Упорядочим значения:

Медианой является восьмое по порядку значение (выделено): 1144 тыс.чел.

Это население г. Самары.

Можно сказать, что Самара - медианный по численности город-миллионер в 2021 году или медианный представитель данного набора.

Главное достоинство медианы – устойчивость относительно выбросов.

Численность населения городов-миллионеров в России, тыс. чел.

Задание 2 . Предположим, что в числовом наборе 10 чисел. Есть правило, что если увеличивать или уменьшать одно число набора (двигать его), то среднее арифметическое будет двигаться в ту же сторону, но в 10 раз медленнее. А как поведет себя медиана? Проще всего разобраться в этом на примере. Рассмотрим набор из первых 10 натуральных чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10

Среднее арифметическое и медиана совпадают. Они равны 5,5.

а) Увеличим последнее число на 10, а потом еще на 100. Как изменятся среднее и медиана?

б) Увеличим первое число на 10, а потом еще на 100. Как изменится среднее и медиана в этом случае?

Решение задания №2 .

а) Если увеличить последнее число 10 на 10, то среднее арифметическое увеличится на 1 и станет равным 6,5.

А медиана останется прежней (5,5): она зависит только от двух серединных чисел 5 и 6, которые не изменялись.

Если увеличить последнее число еще на 100, то среднее арифметическое вырастет еще на 10 и теперь будет 16,5.

Медиана и в этом случае не изменится.

б) Увеличим теперь первое число 1 на 10. Получится 11. Среднее вырастет на 1 и станет равно 6,5.

Так как вариационный ряд теперь изменился, медиана изменилась тоже. Серединными числами нового набора

2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10, 11

являются не числа 5 и 6, как прежде, а числа 6 и 7. Следовательно, медиана теперь тоже равна 6,5. Но дальнейшее увеличение первого числа уже не изменит медиану.

Если теперь первое число увеличить еще на 100, получится набор

2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10, 11,

где среднее стало равно 6,5 +10 =16,5, а медиана уже больше не изменилась. Она равна 6,5.

Домашнее задание

1. Найдите медиану, среднее арифметическое и размах чисел, а также моду, если это возможно:

a) 1, 3, 5, 7, 9; б) 1, 3, 5, 7, 14;

в) 1, 3, 5, 7, 9, 11; г) 1, 3, 5, 7, 9, 17.

2. Пользуясь таблицей, найдите медиану величины «площадь поверхности океана» и медианного представителя (т.е. напишите название океана, площадь поверхности которого является медианой).