Средняя линия треугольника

План конспекта урока по геометрии в 8 классе Дата_________

Подготовила учитель математики Прищепа Н.И.

Тема урока: Средняя линия треугольника.

Цель урока: ознакомить обучающихся с теоремой о средней линии треугольника (свойством медиан треугольника).

Тип урока: Комбинированный.

Задачи:

Обучающие:

– сформировать навык применения теоремы о средней линии треугольника и свойства медиан треугольника при решении задач;
– совершенствовать навыки решения задач на применение теорем подобных треугольников.

Развивающие:

– развивать внимание, логическое и математическое мышление, познавательную активность, самостоятельность, упорство в достижении цели; умение анализировать, сравнивать, делать выводы;
– развивать у учащихся математические коммуникативные компетенции.

Воспитательные:

– воспитывать: трудолюбие, целеустремленность, доброжелательное отношение друг к другу, чувство сотрудничества и взаимопомощи;
– побуждать учеников к самоконтролю, вызывать у них потребность в обосновании своих высказываний.

Дидактический материал: слайды с задачами.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран.

План урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний учащихся

3. Анализ контрольной работы.

4. Изучение нового материала

5. Первичное осмысление и применение нового материала к решению задач

6. Самостоятельная работа

7. Домашнее задание

8. Подведение итогов урока

9. Рефлексия урока

Ход урока

I. Организационный момент

Психолого-педагогический этап, приветствие детям.

Проверить готовность классной аудитории к работе.

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальный теоретический опрос.

После решения первого задания ученикам предлагается ответить на вопросы:

1. Дайте определение подобных треугольников.

2. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

3. Какие прямые называются параллельными?

4. Назовите признаки параллельности прямых.

Ученикам предлагается решить задачи на применение темы «подобие треугольников» с целью их подготовки к восприятию нового материала. На экран с помощью мультимедийного проектора выведены чертежи и данные к задачам, предлагаемым для устного решения.

Задача 1.

Дано:

CD = 4, AD = 8,

CE = 5, BE = 10.

Доказать:

1) ∆ СDE  ∆CAB;

2) AB || DE.

Доказательство:

Задача 2.

Дано:

ABCD – трапеция.

Доказать:

а) BO : OD = CO : OA;
б) DO : BO = 2, если BC = AD / 2

Доказательство:

а) Рассмотрим ∆ BOC и ∆ DOA.

1. ⦟ BOC = ⦟ DOA, как вертикальные.

⦟ BCO = ⦟ OAD, как внутренние накрест лежащие.

= ∆ BOC ̴ ∆ DOA.

2. BO:OD = CO:OA, что и требовалось доказать.

б) 1. Так как ∆ BOC  ∆ DOA, то  

2.  , что и

требовалось доказать.

III. Анализ контрольной работы

Учитель обращает внимание на основные ошибки. Учащиеся отмечают, что только что были рассмотрены задачи очень похожие на те, что были в контрольной работе.

IV. Изучение нового материала

Объявление ученикам цели и темы урока.

1. Учитель предлагает ученикам:

а) построить в тетради треугольник: первому варианту – тупоугольный; второму варианту – прямоугольный; третьему варианту – остроугольный;
б) ввести обозначение этого треугольника;
в) отметить середины двух любых его сторон и обозначить их;
г) соединить полученные точки отрезками.

Учитель объясняет ученикам, что полученный ими отрезок называют средней линией треугольника. 

2. Оформление теоремы о средней линии треугольника с доказательством на доске и в тетради учащихся.

Учитель представляет теорему о средней линии треугольника.

Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Дано: ∆ ABC, MN – средняя линия.

Доказать:

1) MN || AC;
2) MN = AC:2.

Доказательство:

1. ∆ MBN  ∆ ABC, т.к. BM : BA = BN : BC = 1 : 2, угол B – общий.

2. ⦟1 =⦟ 2 = MN || AC

3. MN : AC = BM : BA = 1 : 2 = MN = AC : 2, что и требовалось доказать.

V. Первичное осмысление и применение нового материала к решению задач

1. Ученикам предлагается, применяя полученные ими знания по новой теме, решить задачи по готовым чертежам, проецируемым на доску при помощи мультимедийного проектора.

Задача 1. (предлагается решить устно)

а) Дано:

BE = EA, BF = FC,

EF = 3,5 см

Найти: CA.

Ответ: 7 см.

б) Дано:

BE = EA, BF = FC,

CA = 11 см

Найти: FE.

Ответ: 5,5 см.

Задачу № 2 учитель предлагает решить самостоятельно, записав решение в тетрадь. Трое учащихся, решившие задачу первыми, сдают тетрадь учителю для проверки. Дальнейшая проверка решения задачи осуществляется при помощи мультимедийного проектора.

Задача 2.

Дано: ∆ ABC,

AB = 18 см,

BC = 22 см,

AC = 24 см,

AK = KB, BM = MC, AN = NC.

Найти : P_KMN.

Решение.

Ответ : 32 см.

Задача № 3 ( ученики решают устно)

Дано: ∆ АВС

BE = EC, AK = KC

Р_ECK = 15,5 см.

Найти: Р_АВС

(Ответ: 31 см)

2 Задание. Определите, каким свойством обладают медианы в треугольнике.

Указания для решения задачи:

1. Постройте треугольник ABC.

2. Постройте медианы BB₁ и AA₁. Обозначьте точку пересечения медиан буквой O.

3. Соедините точки A₁ и B₁ отрезком. Что вы можете сказать о треугольниках AOB и A₁OB₁ ?

4. Докажите, что точка О делит каждую из медиан AA₁ и BB₁ в соотношении 2:1, считая от вершины.

5. Постройте третью медиану CC₁. Докажите, что она проходит через точку пересечения первых двух и делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

6. Анализируя решение задачи, сделайте соответствующий вывод.

Ученики, используя данные указания, поэтапно решают задачу и самостоятельно делают вывод, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

После того, как учащиеся закончили решение задачи, один из учеников доказывает выведенное им утверждение у доски (чертеж к задаче, со всеми необходимыми дополнительными построениями проецируется на экран при помощи мультимедийного проектора).

Учитель доводит до сведения учащихся, что данное утверждение называется свойством медиан треугольника и широко используется при решении задач.

3. Устное решение задачи.

С целью закрепления свойства медиан треугольника ученикам предлагается устно решить задачу, условие и чертеж к задаче спроецированы на экран.

Задача.

В треугольнике MNL медианы MM₁, NN₁ и LL₁ равные соответственно 12 см, 6 см и 9 см, пересекаются в точке O. Найти MO+ON+LO

(Ответ: 18 см).

VI. Самостоятельная работа в 2-х вариантах

1) Средняя линия равностороннего треугольника равна 15 см. (10 см.). Найдите периметр треугольника.

2) Периметр равностороннего треугольника равен 48 см. (51 см.). Найдите длину средней линии треугольника.

3) Стороны треугольника равны 7 см., 10 см., 14 см. (5 см., 8 см., 11 см.) Найдите стороны треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника.

4) Периметр треугольника равен 16 см. (15 см.), середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

5) Средняя линия равнобедренного треугольника, параллельная основанию, равна 3 см. (4 см.). Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 16 см. (20 см.).

VII. Домашнее задание

Стр. 145-146 (п. 64), № 564, 566, 568(а, б). Для сильных учащихся: найти другие доказательства теоремы о средней линии треугольника.

Даются рекомендации по его выполнению.

VIII. Подведение итогов урока

Оценивается работа учащихся.

IX. Рефлексия урока.

Определите своё эмоциональное состояние в конце урока.

Ощущал себя:

Фрагменты презентации

9