Свойства числовых неравенств

Урок 78. Свойства числовых неравенств

Цель: рассмотреть свойства неравенств и их применение к решению задач.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы па домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Дайте определение, что число а больше числа b.

2. Сравните: а) 8/11 и 9/13, б) а2 + 16 и 8а.

3. Докажите неравенство (a - 3)(а + 11) a + 3)(a + 5).

Вариант 2

1. Дайте определение, что число а меньше числа b.

2. Сравните: а) 8/13 и 7/11, б) а2 + 25 и 10а.

3. Докажите неравенство (а – 2)(a + 9)

III. Изучение нового материала (основные понятия)

При решении задач необходимо знать основные свойства числовых неравенств, отраженные в следующих теоремах.

Теорема I. Если а  b, то b b, то b  а.

Если а  b, то по определению разность а - b  0. Но тогда величина b - а b 

Если а b, то по определению разность а - b b - а 0, что по определению означает b  а.

Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунках.

Если а  b, то на координатной прямой точка а расположена правее точки b. Но тогда точка b расположена левее точки а, что и означает b 

Если аb, то на координатной прямой точка а лежит левее точки b. Но тогда точка bрасположена правее точки a, что и означает b  а.

Теорема 2. Если а b и b 

Рассмотрим разность а - с и покажем, что эта разность — отрицательное число. Для этого к разности прибавим и вычтем число Ь и запишем ее в виде a - с = (a - b) + (b - c). Так как а b, то величина а - b отрицательна. Аналогично, так как b b - с также отрицательна. Сумма а - с отрицательных слагаемых а - b и b - с, очевидно, отрицательна. Тогда по определению а

Так как а b, то на координатной прямой точка b расположена правее точки а. Так как b b и, тем более, правее точки а. Поэтому а

Аналогично доказывается, что если а  b и b  с, то а с.

Теорема 3. Если а b и с — любое число, то а + с b + с.

Рассмотрим разность чисел a + с и b + с и получим (а + с) - (b + с) = а + с – b - с = а - b. Так как a b, то разность a - b отрицательна. Поэтому разность (a + c) - (b + c) также отрицательна. Тогда по определению а + с b + с. Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунке.

Так как а b, то точка а расположена на координатной оси левее точки b. Точка а + с смещена относительно точки а на такое же расстояние, как и точка b + с относительно точки b. Поэтому точка а + с расположена на координатной оси левее точки b + с и, следовательно, а + с b + с.

Итак, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.

Теорема 4. Если а b и с — положительное число, то ас bс. Если а b и с - отрицательное число, то ас  bс.

Рассмотрим разность ас - bс и запишем ее в виде ас - bc = (а - b)c. Так как а b, то первый множитель a - b в произведении — отрицательное число.

Если с 0, то произведение (а - b)с отрицательно и, следовательно, ас bс. Если с a - b)c положительно и, следовательно, ас  bс. Геометрическая иллюстрация этого свойства приведена на рисунке (для определенности числа а и bположительны). 

Так как деление можно заменить умножением на число, обратное делителю, то свойство, аналогичное рассмотренному, справедливо и для деления.

Итак, если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Следствие. Если а и b положительные числа и а b, то 1/a  1/b.

Разделим обе части неравенства а b на  положительное число ab. При этом знак неравенства (по теореме 4) не меняется, и получаем a/ab b/ab. Сократим дроби в этом неравенстве и получим 1/b a или (по теореме 1) 1/a  1/b.

Рассмотрим примеры использования перечисленных свойств неравенств при решении задач.

Пример 1

Оценим периметр квадрата со стороной а см, если известно, что 18,1

Периметр квадрата со стороной а равен Р = 4а. Поэтому умножим все части данного двойного неравенства 18,1

Пример 2

Докажем неравенство а2 + 5 4а.

Рассмотрим верное неравенство (а – 2)2 + 1 0 (сумма неотрицательного выражения (a – 2)2 и положительного числа 1 будет положительной величиной) или а2 - 4а + 4 + 1 0, или а2 – 4a + 5 0. К обеим частям этого верного неравенства прибавим одно и то же число 4а. Тогда по теореме 3 получаем также верное неравенство а2 – 4a + 5 + 4а 0 + 4a или а2 + 5 4а, что и требовалось доказать.

Очень важно обратить внимание учащихся на четкое знание теорем. В противном случае можно получить грубые ошибки.

Пример 3

Рассмотрим верное неравенство -2 1/3, которое, очевидно, неверно. Ошибка связана с тем, что использованное следствие применимо лишь если обе части исходного верного неравенства являются положительными числами. В этом примере левая часть верного неравенства -2

IV. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте и докажите теорему 1. Дайте ее геометрическую иллюстрацию.

2. Сформулируйте и докажите теорему 2. Приведите ее геометрическую иллюстрацию.

3. Сформулируйте и докажите теорему 3.

4. Сформулируйте и докажите теорему 4 и следствие из нее.

V. Задание на уроке

№ 729; 731; 732 (г); 733 (а, б); 735 (а, в); 736 (б, г); 739 (а, д); 741 (б); 744 (а).

VI. Задание на дом

№ 730; 732 (а, б); 734 (а, в, д); 735 (б, г); 736 (а, в); 738; 741 (а); 742 (а, б); 743 (а).

VII. Подведение итогов урока