Теорема косинусов

Теорема

косинусов

Теорема 12.1

(Теорема косинусов)

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Квадрат стороны треугольника равен

сумме квадратов двух других сторон

минус удвоенное произведение этих сторон

на косинус угла между ними.

cosA

a 2 =

– 2bc

b 2 + c 2

C

b

a

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

A

c

B

Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный)

Квадрат стороны треугольника равен

сумме квадратов двух других сторон

минус удвоенное произведение этих сторон

0

на косинус угла между ними.

C

BC 2 + CA 2

cos

AB 2 =

– 2 BC CA

AB 2 = BC 2 + CA 2

B

Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

90 0

C

A

4

Квадрат стороны треугольника равен

сумме квадратов двух других сторон

минус удвоенное произведение этих сторон

на косинус угла между ними.

– 2 RO XO

RO 2 + XO 2

cosO

XR 2 =

RX 2 + XO 2

RO 2 =

cosX

– 2 RX XO

– 2 RX RO

cosR

RX 2 + RO 2

XO 2 =

R

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

O

X

5

F

Записать для данного

треугольника теорему

косинусов для каждой

стороны.

D

С

Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии: 9 класс.

5

B

c

a

b

C

A

Следствие из теоремы косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.

Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, знак « ̶ », когда он острый.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.

B

C

A

Н

9

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

9

Устная работа Определить вид треугольника со сторонами 5, 6 ,7 см. Определите вид треугольника со сторонами 2, 3, 4 см. 9 " width="640"

Устная работа

Определить вид треугольника со сторонами

5, 6 ,7 см.

Определите вид треугольника со сторонами

2, 3, 4 см.

9

Квадрат стороны треугольника равен

сумме квадратов двух других сторон

минус удвоенное произведение этих сторон

на косинус угла между ними.

Найти АВ

2

2

– 2 BC AC

cosC

BC 2 + AC 2

AB 2 =

3

В

AB 2 = 41 – 40

2

5

5

5

2

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

3

AB = 41 – 20

?

30 0

30 0

С

А

4

4

4

12

Найти угол В

В

?

4

2

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

С

А

2 3

13

Найти угол В

=

В

?

60 0

4

2

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

30 0

С

А

2 3

14

ABСD – параллелограмм. Найти ВD.

2

2

А

– 2 АВ AD

cos

АВ 2 + AD 2

ВD 2 =

1

ВD 2 = 34 – 30

2

C

B

ВD 2 = 19

?

Гаврилова Н.Ф. «Поурочные разработки по геометрии: 9 класс». – М.: ВАКО, 2007. – 320 с. – (В помощь школьному учителю)

3

3

3

ВD = 19

60 0

60 0

60 0

A

D

5

5

5

15

Домашнее задание

№ 1031