Теорема Пифагора

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

ПИФАГОР

Знаменитый греческий философ и математик Пифагор Самосский, именем которого названа теорема, жил около 2,5 тысяч лет тому назад. Дошедшие до нас биографические сведения о Пифагоре отрывочны и далеко не достоверны. С его именем связано много легенд. Достоверно известно, что Пифагор много путешествовал по странам Востока, посещал Египет и Вавилон .

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Геометрическая

Алгебраическая

формулировка:

формулировка:

В прямоугольном треугольнике

В прямоугольном треугольнике

площадь квадрата, построен -

Квадрат гипотенузы

ного на гипотенузе, равна

равен сумме квадратов

сумме площадей квадратов,

катетов

построенных на катетах

Шутливая формулировка ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА

Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим – И таким простым путём К результату мы придём.

Теорема Пифагора занимает в геометрии особое место. На основе теоремы можно вывести или доказать большинство теорем. А еще она замечательна тем, что сама по себе вовсе не очевидна. Сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, его стороны а, b и с связывает простое соотношение:

c² = a²+ b²

с

a

b

Доказательство:

1)Достроим прямоугольник до квадрата со стороной

a + b.

2)Площадь квадрата равна ( а + b)²

3)С другой стороны квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольников с площадью ½ аb и квадрата,

площади с²

4) S=4 *1/2ab + с 2 = 2bc + с 2 .

(а+b) 2 =2ab+ с 2 .

с 2 = а 2 + b 2 .

Теорему Пифагора называли «мостом ослов», так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Записать для прямоугольных треугольников теорему Пифагора

K

В

KN²=KM²+MN²

N

СE²=СО²+EО²

M

С

ВD²=АB²+AD²

О

А

D

E

В

Дан ромб ABCD. О – точка пересечения диагоналей.

Записать для прямоугольных треугольников теорему Пифагора

А

С

АВ²=АО²+ВО²

О

ВС²=СО²+ВО²

АD²=АO²+DO²

CD²=DO²+СO²

D

Дан прямоугольник ABCD.

Записать для прямоугольных треугольников теорему Пифагора

В

С

ВD²=АB²+AD²

ВD²=АB²+AD²

ВD²=СD²+ВC²

А

D

Задачи на применение теоремы Пифагора

Дано:

ΔАВС

В=90°

АВ=6 см

ВС=8 см

Найти: АС.

А

С

В

Решение: AC²=АB²+BC²

АС = 10 см

Вычислите, если возможно: а) сторону АС треугольника АВС . ( рис. 1)

б) сторону МN треугольника КМN . (рис. 2)

С

N

К

12

2

13

В

А

1

Рис. 2

М

Рис. 1

в) вычислить диагональ ВМ квадрата ВСМF . (рис. 3)

г) вычислить сторону PK треугольника КPR . (рис. 4)

С

1 см

М

P

5

К

В

F

Рис. 3

Рис. 4

3

R

С

Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ. CD – медиана. CD = 16 см, АВ = 24 см. Найти АС

Ответ: 20 см

В

D

А

Рис. 5

Решение старинных задач

Задача индийского математика XII в. Бхаскары. На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река В четыре лишь фута всего широка. Верхушка склонилась у края реки, Осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?

Решение старинной задачи Бхаскары.

Найти высоту тополя, если ширина реки 4 фута, а ствол надломился на высоте 3 фута.

3

4

Ответ: 8 футов

Важные открытия, связанные с именем Пифагора:

• в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры;
• в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт;
• в геоме трии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев).

Рефлексия

Я все понял, мне очень понравилось!

Я не очень хорошо понял, но хотел бы понять!

Я ничего не понял!

Домашнее задание

П. 16, № 531,

№ 533,

№ 535,

№ 538