Теорема Пифагора

Урок по теме: «Теорема Пифагора»

Историческая справка

Пифагор – древнегреческий ученый, живший в VI веке до нашей эры.

Вообще надо заметить, что о жизни и деятельности Пифагора, который умер две с половиной тысячи лет тому назад, нет достоверных сведений. Биографию учёного и его труды приходится реконструировать по произведениям других античных авторов, а они часто противоречат друг другу.

С именем Пифагора связано много важных научных открытий: в географии и астрономии – представление о том, что Земля – шар и что существуют другие, похожие на неё миры; в музыке – зависимость между длиной струны арфы и звуком, который она издаёт; в геометрии – построение правильных многоугольников (один из них пятиконечная звезда – стал символом пифагорейцев).

Венчала геометрию теорема Пифагора , которой посвящён сегодняшний урок.

Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно задолго до Пифагора. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство этой теоремы.

Опорное повторение по готовым чертежам

В

• Какой треугольник изображён?

(Определите его вид)

• Назовите катеты и гипотенузу данного треугольника.
• Как найти площадь

Δ АВС?

С

А

• На какие два многоугольника разбит данный многоугольник ABCDE?

• Каким свойством площадей необходимо воспользоваться, чтобы найти площадь многоугольника ABCDE?
• С помощью каких формул можно найти площадь квадрата ABCF и площадь треугольника DFE?
• Запишите формулой площадь многоугольника ABCDE.

В С

D

A E

F

Практическая работа

• Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами). Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях. Возведите все результаты в квадрат, т. е. Узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 . Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 ) и сравните с квадратом гипотенузы. У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?
• Постройте в тетрадях прямоугольный треугольник (с катетами, длина которых для удобства выражается целыми числами).
• Измерьте катеты и гипотенузу. Результаты измерений запишите в тетрадях.
• Возведите все результаты в квадрат, т. е. Узнайте величины a 2 ; b 2 ; c 2 .
• Сложите квадраты катетов (a 2 + b 2 ) и сравните с квадратом гипотенузы.
• У всех ли получилось, что a 2 + b 2 = с 2 ?

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

c 2 = a 2 + b 2

a c

b

Стихотворение о теореме Пифагора

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом.

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдём:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путём

К результату мы придём.

(И. Дырченко)

Составьте по готовым чертежам, если это возможно, верное равенство.

3

х

5 5

4 х

4

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВЫМ ЧЕРТЕЖАМ

1.

Дано:

Найти: ВС

В

?

6 см

С

А

8 см

2.

Дано:

Найти: ВС

В

5 см

А

?

7 см

С

3.

13 см

Дано:

Найти:

А

12 см

?

B

D

C

Подведение итогов

• Возможно ли было решение задач данного типа без применения теоремы Пифагора?
• В чём суть теоремы Пифагора?
• Для любых ли треугольников можно применить данную теорему?

4. В Древнем Египте был известен треугольник со сторонами 3, 4, 5; его использовали при разметке прямоугольных земельных участков после ежегодного уничтожения их границ разлившимся Нилом. Для построения прямых углов египтяне поступали так: на веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.

5. Занимаясь поисками треугольников, стороны которых a, b, c удовлетворяли бы условию a 2 + b 2 = c 2 , Пифагор нашел формулы, которые в современной символике могут быть записаны так:

a = 2n + 1, b = 2n(n + 1), c = 2n 2 + 2n + 1, n Є Z.

6. Треугольник с такими сторонами является прямоугольным:

n = 1: а = 3, b = 4, с = 5 (приведите примеры самостоятельно).

7. Где применяется, по вашему, сейчас теорема Пифагора?

Домашнее задание

П. 54. № 483 ( б ,в);

№ 484 ( а,б ,в)