Теорема Пифагора

Теорема Пифагора

(урок изучения нового материала)

…Геометрия владеет двумя сокровищами –

Теоремой Пифагора и золотым сечением, и

если первое из них можно сравнить с мерой

золота, то второе – с драгоценным камнем…

Иоганн Кеплер

Содержание: теорема Пифагора, применение теоремы Пифагора в решении задач.

Цели изучения:

1. существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками;

2. познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора;

3. осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, биологией, литературой.

Прогнозируемый результат:

1. знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника;

2. познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора;

3. уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока

1.Организационный момент.

2.Актуализация знаний.

3.Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского.

4.Историческая справка о теореме Пифагора.

5.Работа над теоремой.

6.Решение задач с применением теоремы.

7.Подведение итогов урока.

8.Домашнее задание

Ход урока

Сегодня на уроке мы приступаем к изучению одной из важнейших теорем геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой для решения множества геометрических задач и базой для дальнейшего изучения теоретического материала. Докажем эту теорему и решим несколько задач с ее применением. Но сначала послушаем рассказ о математике, именем которого она названа. Сообщение подготовил (Ф И ученика)

Из рассказа вы узнали, что союз пифагорейцев был тайным. Эмблемой или опознавательным знаком союза являлась пентаграмма – пятиконечная звезда. Пентаграмме присваивалась способность защищать человека от злых духов.

Этот пятиугольник обладает интересным геометрическим свойством: поворотной симметрией пятого порядка, т.е. имеет пять осей симметрии, которые совмещаются при каждом повороте на 72º. Именно это тип симметрии наиболее распространен в живой природе у цветков незабудки, гвоздики, колокольчика, шиповника, лапчатки гусиной, вишни, груши, яблони, малины, рябины и т.д. Поворотная симметрия пятого порядка встречается и в животном мире, например, у морской звезды и панциря морского ежа.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу ученому принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Откройте тетради, и запишите число и тему урока – «Теорема Пифагора».

- Ребята, может быть, вы что-нибудь слышали о теореме Пифагора?

В современных учебниках теорема сформулирована так: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

- Как записать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ∆АВС с катетами а,b и гипотенузой c (рис)

A

b

a

C B

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах». Действительно, с²- площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а² и b² - площади квадратов,

построенных на

его катетах (рис).

с²

c

b² b

C

a

a²

B

c² = a² + b²

Большинство способов ее доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части. На стенде вы можете познакомиться с такими доказательствами.

А сейчас докажем теорему Пифагора в современной формулировке.

Теорема: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов».

1 способ

Начертите треугольник АВС с прямым углом С (рис).

Дано: ∆ АВС, / C =90º.

Доказать:АВ² =АС² +ВС²

Доказательство

Проведем высоту CD из вершины прямого угла С.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе, поэтому

AD AC

в ∆АСD cos A ═ ─ , а в ∆ АВС соs A=  .

AC АВ

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, AD/AC=AC/AB. Отсюда, по свойству пропорции, получаем

АС²=AD*AB.(1)

Аналогично,

в ∆BCD cos В=BD/BC, a в ∆ABC cos B=BC/AB

Так как равны левые части этих равенств, то равны и правые, следовательно, BD ̳ BC . Отсюда, по свойству пропорции, получаем:

BC AB

BC²=BD*AB. (2)

Сложим почленно равенства (1) и (2), вынесем общий множитель за скобки:

АС²+ВС²=АD*AB+BD*AB=AB*(AD+BD)

AB

AC²+BC²=AB*AB=AB²

Получили, что

АВ²=АС²+ВС²

2 способ

Доказательство

Рассмотрим прямоугольник с катетами а,b и гипотенузой с

b a

с

с

с

сс

с

с

a a b

Докажем, что с²=a²+b².

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + b так, как показано на рисунке. Площадь S этого квадрата равна (а + b)². С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна 1/2*a*b, и квадрата со стороной с, поэтому

S=4*1/2*ab +c²=2ab+c²

Таким образом,

(a = b)²=2ab+c²

Откуда

с²=a²+b²

Теорема доказана.

Итак:

Если дан нам треугольник,

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат легко возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Что и требовалось доказать.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем геометрии, потому что с ее помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Задача индийского математика XII века Бхаскары

D

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в этом месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»