Теорема Пифагора

Открытый урок по геометрии

8 класс

Теорема Пифагора

выполнила

учитель математики

Заремба Наталья Александровна

7 марта 2025 год

Эпиграф урока

«…Геометрия владеет двумя сокровищами:

Одно из них - это теорема Пифагора,

которую можно сравнить с мерой золота»

Иоганн Кеплер.

I. Мотивационно-организационный этап.

- Добрый день! Располагайтесь поудобнее, начинаем наш урок.

- Мы проведем не обычный урок геометрии, а отправимся с вами в путешествие.

– Ребят как вы думаете, зачем люди путешествуют? (Чтобы узнать что-то новое, познакомится с новыми людьми, сделать маленькие или большие открытия)

– Я с вами согласна! С этой целью, мы отправимся в заочное путешествие! В данный момент мы находимся в Москве, а в конце нашего путешествия окажемся в Древней Греции, в стране Пифагории, пифагорейской школе.

II. Актуализация опорных знаний.

– Но прежде, чем отправится в путешествие, нам необходимо собрать багаж в дорогу. А так как путешествие наше не обычное, то с собой мы возьмем не зонт и шляпу с плащом, а знания и умения, также нам понадобятся ваши внимание и память, запоминайте все самое интересное и полезное.

- А поможет нам собрать багаж Ученик 1.

1) Какой треугольник называется прямоугольным?

2) Какие из треугольников представленных на рисунке являются прямоугольными?

3) Как называются стороны прямоугольного треугольника? Назовите катеты прямоугольного треугольника, гипотенузу.

4) Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

5) Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

– Ребята, вы, наверное, догадались, какая геометрическая фигура должна стать объектом вашего внимания в путешествии? (Прямоугольный треугольник).

III. Создание проблемной ситуации

- Итак, багаж собран. Наше путешествие началось. На горизонте Остров Незнаек.

- Я хочу предложить вам такую задачу:

Задача: Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

- Предложите алгоритм решения задачи. (Ответы учеников)

- При решении задачи возникла проблема: недостаточность знаний.

- Помочь выйти из данной ситуации, расширить свои знания нам поможет одна из немногих теорем геометрии, которую помнят все поколения. Должны знать ее и вы - теорема Пифагора, которая позволяет находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным сторонам.

I V Сообщение темы и целей урока.

- Давайте сформулируем тему урока?

- А какова цель нашего урока? (Ответы детей.)

- Верно, цель урока (я добавлю): изучить теорему Пифагора и рассмотреть способы решения типовых задач.

- Оформите запись в тетради.

- Эпиграфом к нашему уроку послужат слова немецкого астронома Иоганна Кеплера: “Геометрия владеет двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота”.

- Ребята, а кто такой Пифагор?

- Что вы знаете о нем? А хотите узнать? Хорошо!

- Я предлагаю послушать Ученик 2. Он подготовил сообщение о Пифагоре.

V. Практическая работа исследовательского характера:

- Ребята, хотели ли вы попробовать себя в роли ученого?

- Тогда предлагаю выполнить исследовательскую поисковую работу в парах: у каждой пары лежат модели прямоугольных треугольников (с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 9 см и 12 см). Произведите измерения катетов и гипотенузы. Результаты занести в таблицу 1.

- Я выслушала ваши гипотезы, но чтобы ответить есть ли среди них правильные давайте заполним таблицу 2.

- Найдите квадраты катетов и гипотенузы и заполните таблицу 2.

- А сейчас, кто желает сформулировать зависимость между длинами катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике? (школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются).

П оздравляю вас с открытием теоремы Пифагора! (щелчок)

- Давайте выполним чертеж в тетрадках.

- Запишем равенство, выражающие Теорему Пифагора.

- Но это современная формулировка теоремы.

- Во времена Пифагора теорема формулировалась так:

VI. Теорема Пифагора.

- Путешествие продолжается, на горизонте берега Древней Греции.

- А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому что греки умели спорить! 

- Они не просто заучивали правила. А доискивались до причин.

- Но это было не всем под силу. О трудностях учения нам расскажет Ученик 3.

Воспитательный момент: Учащиеся средних веков считали доказательство теоремы очень трудным и прозвали его «ослиным мостом» или «бегством убогих», так как слабые ученики бежали от геометрии, а для тех, кто зубрил без понимания, она служила непреодолимым мостом.

- Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры.

- На данный момент в научной литературе зафиксировано более 200 доказательств теоремы Пифагора. Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

- Мы не будем доказывать теорему на уроке. Я предлагаю вам найти док – во теоремы на просторах интернета или в учебнике и рассказать на следующем уроке на дополнительную оценку.

VII. Закрепление материала

–Давайте вспомним задачу, которую мы не смогли решить в начале урока, ведь теперь мы знаем, какая зависимость связывает стороны прямоугольного треугольника.

- Есть желающие попробовать свои силы?

- Ребята, давайте ещё раз обратим внимание на нашу задачу.

- Какие стороны треугольника были известны7

- Какую сторону необходимо было найти?

- Какую использовали теорему, для её вычисления?

- Какую сторону можно ещё найти по теореме Пифагора? Как?

- Какие типы задач решают с помощью теоремы Пифагора?

В ывод: Теорема Пифагора позволяет установить следующие соотношения, применяемые при решении задач:

с² = а² + b²

а² = с² – b²;
b² = с² – а^2.

- Запишите формулы в тетрадь.

Для закрепления решим несколько задач устно.

Вычислите, если возможно:

1. Сторону АС треугольника АВС (рис. 1);

2. Сторону MN треугольника KMN(рис. 2);

3. Сторону KP треугольника KPR(рис.3);

О т в е т ы: а) б) 5; в) строну треугольника вычислить нельзя.

Замечание: Следует обратить внимание учеников на то, что в задаче 1, в) не хватает данных для решения. Неясно, какой вид имеет треугольник KPR. В такой ситуации теорема Пифагора, конечно, неприменима.

VIII. Продолжим наше путешествие. Сейчас вы поработаете в группах. Вам предстоит пройти Квест.

Задания Квеста:

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти гипотенузу этого треугольника. а) 49 см б) 13 см в) 289 см

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Найти второй катет. а) 4 см б) 2 см в)

3. В прямоугольном треугольнике стороны имеют длину 9 см, 15 см, 12 см. Как называется сторона, имеющая длину 15 см? а) катет б) основание в) гипотенуза

4. Запишите теорему Пифагора для треугольника АВС, у которого угол В прямой а) AB²=AC²+BC² б) AC²=AB²+BC² в) BС²=AB²+AC²

5. Найти площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равны 10 см, а катет - 8см. А) 80 см² б) 24 см² в)48 см² г) 40см².

- Квест пройден.

IX. Итог урока

- Посмотрите на карту, с радостью сообщаю вам, что мы достигли страны Пифагории.

- Мне очень приятно было совершать путешествие вместе с вами. Вы с достоинством прошли все испытания. Я надеюсь, что вам тоже понравилось. Я вас попрошу заполнить таблицу «3-2-1»

Под цифрой «3» запишите 3 слова, которые описали бы ваше впечатление от урока.

Под цифрой «2» запишите два интересных, запомнившихся вам факта.

Под цифрой «1» запишите терему Пифагора.

Выставление оценок.

- Я благодарю вас за работу.

- Поработали вы плодотворно, я могу оценить вашу работу так: …

- Вручаю вам медали.

X. Домашнее задание.

К следующему уроку выполнить задание на распечатке. Это обязательная часть домашнего задания. Подготовить док-во теоремы Пифагора – на дополнительную оценку

- Желаю успеха!

- Спасибо за урок!

11