Теорема Пифагора

Горлівська загальноосвітня

школа І-ІІІ ступенів № 29

Проектна робота з теми :

Теорема Піфагора

Підготували учні 9 класу

Керівник: вчитель математики

Мазур Галина Карпівна

2010 рік

Теоре́ма Піфаго́ра — одна із засадничих теорем евклідової геометрії, яка встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема у загальному вигляді була сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).

Піфагор Самоський(580 до н. е. — 500 до н. е.) — давньогрецький філософ, релігійний та політичний діяч, засновник піфагорізму.

Відомо понад сто доведень теореми Піфагора.

1. Доведення Бхаскари.

Мал.1

• Розглянемо прямокутний трикутник ABC (кутС=90°). Площа квадрата,побудованого на трикутників і квадрат,довжина сторони якого дорівнює a-b.
• Тоді:c²=4(ab):2+(a-b)²=2ab+a²-2ab+b²=a²+b². Отже, c²=a²+b².
• гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних

Плато́н (др.-греч. Πλάτων) (428 или 427 до н. э., Афины — 348 или 347 до н. э., там же) — древнегреческий философ, ученик Сократа, учитель Аристотеля. Настоящее имя — Аристокл (др.-греч. Αριστοκλής). Платон — прозвище, означающее «широкий, широкоплечий».

2. Д оведення Платона

• Доведення Платона можна зрозуміти лише при одному погляді на малюнок.
• Це доведення засновано на розрізанні квадратів, побудованих на катетах, та складанні отриманих частин на квадраті, побудованого на гіпотенузі.
• Мал.2
• 3. Доведення.
• Доведення стає зовсім зрозумілим з двох малюнків (мал.3.) будовано два квадрати зі сторонами а+b; вони розбиті на фігури,
• як показано на малюнку. Якщо із площ однакових квадратів забрати площі однакових прямокутних трикутників, то залишаються рівні площі:
• c 2 = a 2 + b 2

мал3

мал.2

Доведення Багдо ан-Найризія.

Ан-Найризій – Багдадський математик і астроном п’ятого століття. (латинізоване ім’я-Анариізій).

Мал.4

На доведенні Анаризія грунтується наступне розкладання фігури на попарно рівні частини, яке з’явилось в підручниках в дев’ятнадцятому та двадцятому століттях.

Мал.5

Алгебраїчні доведення теореми Піфагора. №1

Всі три співвідношення виходить безпосередньо з подібності трикутників, вказаних у теоремі. 1)Трикутники ADC та ACB подібні. Тоді навпроти їх рівних кутів лежать пропорційні сторони:

b:c=b с :b, звідси отримуємо співвідношення(1). b²=b c *c

2) Трикутники CDB та ACB подібні. Тоді навпроти їх рівних кутів лежать пропорційні сторони: a:c=a c :a. Звідси отримуємо співвідношення(2).a²=c*a c

3)Трикутники ADC та CDB подібні. Тоді навпроти їх рівних кутів лежать пропорційні сторони: bc:hc=hc:ac. Звідси отримуємо співвідношення.(3) h²=a c *b c . З (1),(2),(3) одержимо a²+b²=c² .

Мал.6

Алгебраїчні доведення теореми Піфагора. №2

До кола з центром C проведено дотичну AB та січну AE, якій належить центр C.(мал.7) За теоремою про січну та дотичну AB²=AD*AE. (1)

Оскільки AC=CD+AD, AE=AC+CE=AC+CB, отже AD=AC-CD=AC-CB. Підставимо цей вираз у (1): AB²=(AC-CB)*(AC+CB), або AB²=AC²-CB², AB²+CB²=AC²,що і треба було довести!

Мал.7

Алгебраїчні доведення теореми Піфагора. №3

• Скористаемось формулою бісектриси l²a =bc-b1c1.(мал.8)

• Маємо трикутник АВС (прямий кут С=90° ). Розглянемо осьову симетрію відносно катета АС. (мал.9)
• Отримаємо рівнобедрений трикутник АВВ1 з бісектрисою АС=b. Маємо: АС²=АВ*АВ1-ВС*СВ1,або b²=c*c-a*a, звідси с²=a²+b².

Мал.8

Мал.9

Доведення Мельмана.

• мал.10
• В прямокутному трикутнику з катетами a та b та гіпотенузою c, радіусом вписаного кола
• r=(a+b-c):2.
• Оскільки площа S=ab:2 та S=rp, маємо 1/2ab=1/4(a+b+c)*(a+b-c), або ab=1/2((a+b)²-c²), звідси c²=a²+b².

C.Тоді φ=(B-C):2,а AW1=2Rcosφ=acos (B-C):2(з т-ка W1AD). Мал.11 " width="640"

• Доведення І.Кушніра
•  
• Нехай в трикутнику АВС прямий кут А=90°.Позначимо,що φ-кут між бісектрисою la та висотою AH1. Застосуємо авторську формулу S =1/2AW1*MN .Для прямокутного трикутника кут А=90°
• la=(2bc):b+c cos45°=(bc):b+c*√2.Хай для визначеності кут ВC.Тоді φ=(B-C):2,а AW1=2Rcosφ=acos (B-C):2(з т-ка W1AD).

Мал.11

• Доведення Гарфілда
• На рис. три прямокутних трикутника складають трапеції. Тому площуцієї фігури можна знаходити за формулою площі прямокутної трапеції, або як суму площ трьох трикутників. У першому випадку ця площа дорівнює
• 1/2(а + b )(а + b),
• У другому
• -1/2а b + 1/2а b + 1/2с 2 .
• Прирівнюючи ці вирази, отримуємо теорему Піфагора.

Мал.12

Мал. 13 ілюструє ще один більш оригінальний доведення, запропонований Гофманом .

Тут: трикутник ABC з прямим кутом С; відрізок BF перпендикулярний СВ і рівний йому, відрізок ВЕ перпендикулярний АВ і рівний йому, відрізок AD перпендикулярний АС і рівний йому; точки F, С, D належать одній прямій; чотирикутники ADFB і АСВЕ рівновеликі, так як ABF = ЕСВ; трикутники ADF і АСЕ рівновеликі; віднімемо від обох рівновеликих чотирикутників спільний для них трикутник ABC, отримаємо

1/2 а 2 + 1/2 b 2 = 1/2 c 2 .

Як вже було сказано вище, стародавні єгиптяни близько 2000 років тому практично користувалися властивостями трикутника зі сторонами 3, 4, 5 для будування прямого кута, тобто фактично застосовували теорему, обернену теоремі Піфагора. Наведемо приклад доведення цієї теореми, основане на ознаці рівності трикутників (тобто таке, яке можна дуже рано ввести у школі). Отже, хай сторони трикутника АВС (мал. 14) пов’язані співвідношенням

с 2 = а 2 + b 2 .

Мал.13

Мал.14

• Висновки
•  
• - Піфагор Самоський – легендарна особистість,вчений – математик, який превів теорему з площини практичного застосування в площину науки.
•  
• - Математики різних часів постійно повертаються до теореми Піфагора і намагаються знайти своє доведення.
• - Існує багато способів доведення теореми. Кожен спосіб відповідає рівню,розвитку математики, зокрема алгебри.
•  
• Теорема Піфагора має велике значення для розв’язування задач практичного і теоретичного змісту.