Теорема Пифагора

М

Найти МК.

6

3

30 0

К

Р

М

Найти МР.

4

2

Какой треугольник изображен на рисунке? Какой треугольник изображен на рисунке? Найдите гипотенузу, если известно, что угол Р равен 30 0 , а катет МК равен 2 см.

30 0

К

Р

580 г. до н.э. – 500 г. до н.э.

16.12.04.

Классная работа.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А

АВ 2 =АС 2 +ВС 2

 С=90 0 ,

АВС,

с

с 2 =а 2 +в 2

в

С

В

а

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

К

КО 2 =КР 2 +РО 2

 Р=90 0 ,

КРО,

Р

О

«Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,

равновелик сумме квадратов построенных на его катетах»

«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах»

Доказательства Теоремы Пифагора.

• Доказательство для равнобедренного треугольника.

• Древнекитайское доказательство.

• Древнеиндийское доказательство.

• Доказательство Евклида.

• Доказательство Аннариция.
• Доказательство из учебника Геометрия,7-9:Л.С.Атанасян.

Доказательство для равнобедренного треугольника.

Древнекитайское доказательство.

Древнеиндийское доказательство.

Доказательство Евклида.

Доказательство Аннариция.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано:  АВС,  С=90 0

а , в – катеты

с- гипотенуза

в

а

а

с

Доказать: с 2 =а 2 +в 2

с

в

А

Доказательство.

S кв. = (а + в) 2

с

в

с

S АВС = ½ ав, S 1 =с 2 .

а

S кв. = 4 S АВС + S 1 .

С

В

а

в

S кв. =4 · ½ ав+ с 2 .

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в , с . Докажем, что с 2 =а 2 +в 2 Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в. Площадь S этого квадрата равна (а + в) 2. С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников и квадрата со стороной с. Площадь каждого треугольника равна ½ ав, площадь квадрата равна с 2 . Поэтому S =4 · ½ ав+ с 2 . Таким образом, (а + в) 2 =4 · ½ ав+ с 2. а 2 +2 ав+в 2 = 2ав+ с 2. Откуда получаем: а 2 +в 2 = с 2.

Таким образом, (а + в) 2 =4 · ½ ав+ с 2

а 2 +2 ав+в 2 = 2ав+ с 2

Получаем: а 2 +в 2 = с 2

Теорема доказана.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А

с 2 =а 2 +в 2

а 2 =с 2 -в 2

с

в 2 =с 2 -а 2

в

С

В

а

Напишите формулу теоремы Пифагора.

х 2 =6 2 +8 2

х

х 2 =100

х=10

8

6

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Напишите формулу теоремы Пифагора.

х

3

5

А

Случися некоему человеку к стене лествицу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обрете лествицу долготою 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествицы нижний конец от стены отстояти имать.

125

117

С

В

Дано:  АВС,  С=90 0

АС=117 стоп, АВ=125 стоп.

Найти: СВ .

А

Дано:  АВС,  А=90 0

АС=117 стоп, АВ=125 стоп.

125

Найти: СВ .

117

Решение.

С

В

Пусть СВ=х стоп.

Тогда, используя теорему Пифагора,

получаем:

125 2 =117 2 +х 2 ,

х 2 = 125 2 -117 2 ,

х 2 = (125-117)(125+117) ,

х 2 =8 · 242

х=  4 · 2 · 2 · 121 ,

х= 2 · 2 · 11 ,

х= 44,

СВ= 44 (стопы).

Ответ: 44 стопы.

М

КР 2 =МР 2 – КМ 2

4см

КР 2 =12

КР=  12

2 см

КР=2  3

30 0

К

Р

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А

АВ 2 =АС 2 +ВС 2

с 2 =а 2 +в 2

с

в

С

В

а

Домашнее задание.

П.54, вопрос 8.

Задача.

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»

«На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг ветра порыв его ствол надломал.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола,

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:

У тополя как велика высота?»