Теорема Пифагора

Пифагор и его теорема

Выполнила

ученица 9 «А» класса

МКОУ «Никольская СОШ»

Новоусманского района

Воронежской области

Самбулова Елена Игоревна

Учитель: Золотарёва В.В.

Содержание

• Биография Пифагора. Пифагорейский союз.

• Т е орема Пифагора

• Из истории теоремы
• Доказательства теоремы.
• Теорема Пифагора в анекдотах
• Пифагор в литературе.
• Старинные задачи.
• «Ералаш»

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим —

И таким простым путем

К результату мы придем.

c

а

b

Из истории теоремы Пифагора.

История теоремы начинается в древнем Китае. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чупей. В этом сочинении так говорится о Пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4" .

В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Доказательства теоремы

• «Ослиный мост»
• Доказательство по площадям
• Алгебраическое доказательство
• Доказательство Бхаскара
• Доказательство Аннариция
• Доказательство методом Гофмана и Мёльманна
• Доказательство сгибанием квадратного листа
• Пифагоровы «штаны»

«Ослиный мост»

Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Доказательство по площадям

S 1 =c ² =25

S 2 =a ² = 9

S 3 = b ² =16

S 1

S 2

S 1 =S 2 +S 3

5

3

с ² = а² +b²

4

S 3

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Алгебраическое доказательство

b

a

=

c

b

a

a

b

Доказательство Бхаскара (12 в.)

b

c

b

c

b-a

a

a

a

(b-a) 2 +4*1/2ab=c 2

Площадь квадрата со стороной c равна сумме площадей четырех треугольников и квадрата со стороной b-a

10

Доказательство Аннариция.

Багдадский математик и астроном X в. ан – Найризий (латинилизированное имя – Аннарий) в арабском комментарии к «Началам» Евклида дал следующее доказательство теоремы Пифагора. Квадрат на гипотенузе разбит у Аннариция на 5 частей, из которых составляются квадраты на катетах.

Любопытно, что доказательство Аннариция является простейшим среди огромного числа доказательств теоремы Пифагора методом разбиения: в нём фигурирует всего 5 частей (или 7 треугольников).

Доказательство методом Гофмана и Мёльманна

1. Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

2.

3.

4. Отнимем от обоих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим:

5.

F

B

b

C

c

a

D

A

E

Доказательство сгибанием квадратного листа

Факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольников. Достаточно взглянуть на мозаику из чёрных и светлых треугольников сложенного квадратного листа, чтобы убедиться справедливости теоремы для равнобедренного треугольника.

Пифагоровы «штаны»

«Пифагоровы штаны во все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать», -так поется в одной шутливой песенке.

Эти « штаны » показаны на рисунке, где на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. А сам рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида «Начала»и был положен ее автором в основу доказательства теоремы Пифагора.

В англоязычных странах ее называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты .

C

A

B

Теорема Пифагора в анекдотах

Теорема Пифагора в литературе

Пребудет вечной истина, как скоро

Ее познает слабый человек!

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в его далекий век.

Обильно было жертвоприношенье

Богам от Пифагора. Сто быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, пришедший с облаков.

Поэтому всегда с тех самых пор,

Чуть истина рождается на свет,

Быки ревут, ее почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать.

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор .

Эти стихи написал немецкий писатель-романист А Шамиссо в начале XIX в., участвуя в кругосветном путешествии на русском корабле «Рюрик».

Афоризмы Пифагора

• Не считай себя великим человеком по величине твоей тени при заходе солнца.
• Делай великое не обещая великого.
• Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.
• Берегите слезы ваших детей, дабы они могли проливать их на вашей могиле
• Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне. Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.
• Как ни коротки слова "да" и "нет", все же они требуют самого серьезного размышления.

Задача из старинного китайского трактата:

В середине квадратного озера со стороной 10 футов растёт тростник, выходящий из воды на один фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет берега. Какова глубина озера?

Следующая

Задача древних индусов:

Над озером тихим,

С полфута размером, высился лотоса цветок.

Он рос одиноко.

И ветер порывом отнёс его в сторону.

Нет больше цветка над водой.

Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Следующая

Из первого на Руси учебника по математике («Арифметика» Магницкого)

Случится некому человеку к стене лествницу прибрати, стены же тоя высота есть 125 стоп. И ведати хощет, колико стоп сея лествницы нижний конец от стены отстояти имать.

Если вы до сих пор не поняли теорему Пифагора, то:

Спасибо за внимание!!!