Треугольник и его свойства

Треугольник и его свойства

Подготовили ученицы 7 класса

Иванова Р и Алексеева Н

Учитель Смирнова Н.М.

Треугольник

• Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Точки называются вершинами , а отрезки - сторонами треугольника.

• А, В и С – вершины треугольника. АВ, ВС и СА – стороны треугольника. Треугольник обозначается указанием его вершин: треугольник АВС.
• Три угла ∠ВАС, ∠СВА и ∠АСВ – называются углами треугольника АВС. Часто их обозначают одной буквой ∠А, ∠В, ∠С.
• Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.

в

с

А

Виды треугольников

В

• Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу. Треугольник АВС и МРТ разносторонние треугольники.

С

А

Р

М

Т

Виды треугольников

E

• Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним. Треугольник DEF – равносторонний.
• Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые. Треугольник DEF – остроугольный.
• Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой.

D

F

тупоугольный треугольник

Первый признак равенства треугольников

• Теорема: Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

• Доказательство: Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , АС = A 1 C 1 ∠ А = ∠ А 1. Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А 1 В 1 и A 1 C 1 . Поскольку АВ = A 1 B 1 , АС = А 1 С 1 , то сторона АВ совместится со стороной А 1 В 1 а сторона АС — со стороной А 1 C 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Второй признак равенства треугольников

• Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

• Доказательство: Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = A 1 B 1 , ∠А = A 1 , ∠ В = ∠ В 1 . Так как ∠ А = ∠ А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А 1 , вершина С совместится с вершиной С 1 , а сторона АВ и А 1 В 1 наложится соответственно на луч А 1 В 1 . Поскольку ∠А = A 1 , ∠ В = ∠ В 1 , то сторона АС совместится со стороной А 1 С 1 , а сторона ВС — на луч В 1 С 1 ; в частности, совместятся точки В и В 1 , С и C 1 . Следовательно, совместятся стороны ВС и В 1 С 1 , АС и А 1 С 1 . Итак, треугольники ABC и А 1 В 1 С 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников

• Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны .

• Доказательство: Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых АВ = А 1 В 1 , ВС = В 1 С 1 , СА = С 1 А 1 . Так как А = А 1 , то треугольник ABC можно наложить на треугольник А 1 В 1 С 1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, треугольник А 1 В 1 С 1 так, чтобы вершина В совпала с вершиной В 1 , при этом по разные стороны от прямой А 1 В 1 должны оказаться вершины С и С 1 .

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

А

• Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
• Любой треугольник имеет три медианы. АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС.

М 3

М 2

С

В

М 1

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Е

• Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.
• Любой треугольник имеет три биссектрисы. СС1, DD1 и ЕЕ1 – биссектрисы треугольника СDЕ.

D 1

C 1

C

D

E 1

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

A

• Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.
• Любой треугольник имеет три высоты. АН1, ВН2, СН3 – высоты треугольника АВС.

H 2

H 3

C

B

H 1

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника обладают замечательными свойствами:

в любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке, биссектрисы пересекаются в одной точке,

высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке .

боковая сторона

Свойства равнобедренного треугольника

• Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
• Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника.

основание

Свойства равнобедренного треугольника

• Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

А

• Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС и докажем, что ∠В=∠С. Пусть АD – биссектриса треугольника АВС. Треугольники АВD и АСD равны по 1-му признаку равенства треугольников (АВ=АС по условию, АD – общая сторона, ∠1=∠2, т.к. АD – биссектриса). В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, поэтому ∠В=∠С.

1 2

3 4

В D C

Свойства равнобедренного треугольника

• Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
• Доказательство: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС, АD – его биссектриса. Из равенства треугольников АВD и АСD следует, что ВD=DС и ∠3=∠4. Равенство ВD=DС означает, что точка D – середина стороны ВС и поэтому АD – медиана треугольника АВС. Т.к. углы 3 и 4 – смежные и равны друг другу, то они прямые. Следовательно, отрезок АD является также высотой треугольника АВС. Теорема доказана.

Это интересно! применение признаков равенства треугольников для измерения расстояния до недоступной точки.

• Если разведчику необходимо измерить ширину реки, ( через которую предстоит организовать переправу), то это можно сделать без всяких вех, при помощи козырька фуражки:
• Надо стать лицом к реке и надвинуть фуражку на глаза так, чтобы нижний обрез козырька совпал точно с линией противоположного берега. Козырек можно заменить ладонью руки или записной книжкой, плотно приложенной ребром ко лбу. Затем, не изменяя положения головы, надо повернуться направо или налево, или даже назад (в ту сторону, где поровнее площадка, доступная для измерения расстояния) и заменить самую дальнюю точку, видимую из- под козырька ( ладони, записной книжки). Расстояние до этой точки и будет приблизительно равно ширине реки. Это расстояние теперь можно измерить шагами.

«Способ козырька»

• Геометрическое объяснение «Способа козырька»

• Луч зрения, касающийся обреза козырька. Первоначально направлен на линию противоположного берега. Когда человек поворачивается, то луч зрения, подобно ножке циркуля, как бы описывает окружность, и тогда полученные расстояния равны как радиусы одной окружности.

Треугольники в нашей жизни

Какие предметы имеют форму треугольника?

утюг

треуголка

Треугольник в Бильярде

На небе

Лопата и копья

Треугольники в архитектуре

Треугольники в архитектуре

Треугольники в архитектуре

палатки

Нос корабля

В геральдике

Флаг Чехии

Флаг Багамских островов

Флаг Иордании

Оригами и вязание

рычаги

шпатель

Дорожные знаки

Музыкальные инструменты

Чай в пирамидках

Олимпиада 2014

Треугольники в Сочи

Олимпиада 2014

• Треугольники также встречаются и на главном спортивном событии нашей страны – Зимней Олимпиаде в Сочи 2014. Они появляются в архитектуре, одежде спортсменов, медалях и прочих предметов. Даже часы, отсчитывающие время до начала и конца Олимпиады приняли треугольную форму.

Часы, отсчитывающие начало Олимпиады

Олимпийская одежда

Олимпийские медали

Олимпийские медали

Олимпийские спортсмены

Олимпийская архитектура

И многие другие предметы имеют форму треугольника. Помните об этом!

Спасибо за внимание!