Трисекция, квадратура, удвоение куба.

Тема: Проблема квадратуры круга, решаемая с древних времён.

Автор: Мустафаев Рустем Эйвасович, 02.03.1968 г.р.

Аннотация: В теме поставлена задача построить квадрат, равный по площади произвольному кругу, используя лишь циркуль и линейку без делений... В решении активно применён способ построения дуг равных окружностей и деления радиуса круга на определённые части отрезками из точек пересечения дуг.

Ключевые слова: ; ; сторона квадрата; круг; погрешность; четверть радиуса; диагональ равный по площади.

Решение.

Учитывая, что , следует, что надо выполнить условие ; ; Тогда Значит, сторона квадрата, по площади равного кругу, приблизительно в 1,8 раза больше радиуса данного круга … Абсолютная погрешность составляет: Относительная: Построим произвольно круг и определим равный по площади квадрат …

В произвольном кругу, т. определим методом пересечения дуг окружностей половину,, точку , Образовав дуги окружностей с одинаковым радиусом из точек и , затем проведя отрезок, соединив точки пересечения дуг. Так же определим половину , т. .

Схема получения равного по квадрата.

Из точек () строим дуги с , – в их пересечении – вершины равного кругу квадрата.

Образование дуг ; из точек (), – альтернатива для нахождения вершин квадрата, (без прямых ) …

составляет четверть радиуса ; отдельно построив отрезок определим методом пересечения равных дуг из и средину отрезка, точку . Отрезок равен

Сумма двух отрезков равна … Если построить с двух сторон диаметра круга, получится отрезок , равный стороне квадрата, площадь которого равна площади заданного круга. …

Из точек и построим равные дуги, проведём прямую “”. На прямой циркулем отложим равные расстояния, точки и из которых циркулем отметим расстояния, равные Эти отрезки расположим перпендикулярно к прямой “” с помощью линейки …

Через определённые точки проведём прямую “”; ….

Из точки отложим , (половина стороны квадрата)… Получим сторону искомого квадрата … Из точек и построим диагонали квадрата, на которых отложим Соединим точки линейкой… Получим квадрат, равный по площади заданному кругу…

В данном вычислении (способом образования пересекающихся дуг) абсолютная погрешность равна Относительная

Учитывая, что точки, линии имеют определённую условную “толщину”, вычисление достаточно верное, вопрос квадратуры круга решён…

Литература:

1. Атанасян Л.С. и др Геометрия, 10-11 класс, 2013.

2. Бевз, Владимирова Геометрия, 11 класс.

Тема: трисекция углов (разделение на три равных меньших угла).

Автор: Мустафаев Рустем Эйвасович, 02.03.1968 Г.Р.

Аннотация: поставлена задача с помощью циркуля и линейки без делений разбить угол на три равные части. В решении пошагово описан простой способ трисекции, – построения трисектрисс.

Ключевые слова: ∠Ԃ; ∠ 𝛽; разные дуги; прямые углы.

Решение

С помощью линейки построим прямые углы,

Точками пересечения сторон прямых углов и со сторонами и , (сторону продлеваем линейкой), есть точки и .

Решение:

Действия по трисекции :

Проведение дуги пересекающей стороны и в точках и ;

центр окружности – т.

(перпендикуляры опустим линейкой).

Из точек и в углах, и образуем две равные дуги, окружности с ; Эти дуги пересекут в точках и , разделив на три равные части: … так как эти отрезки трёх дуг равны, стороны трёх дуг равны, стороны трёх углов (соединим точки линейкой с вершиной ) равны и есть радиусом Окр. ; , и стороны углов выходят из общей вершины , – значит получены три равных угла (трисекция), в сумме образующих ; ().

Возможность трисекции доказана.

Литература:

1. Бевз, Владимирова Геометрия, 11 класс.

Тема: удвоение объёма куба с помощью циркуля и линейки без делений.

Автор: Мустафаев Рустем Эйвасович, 02.03.1968 Г.Р.

Аннотация: Задача рассмотрена с двух сторон, – из большего вдвое по объёму куба получен меньший, опираясь на физические законы, – и наоборот, из меньшего куба геометрически построен вдвое больший куб… Установлена зависимость, – у куба с вдвое большим объёмом стороны приблизительно в 1,25 раза длиннее.

Ключевые слова: объём, куб; меньший; мгновенная скорость; центростремительное ускорение; вращение круга; диагональ.

Решение.

Задача удвоения объёма куба … Схема образования квадратов при .

(отличие сторон большего и меньшего квадратов). Значение “” можно считать коэффициентом увеличения (уменьшения) сторон квадратов, при отличии объёма вдвое.

Задачу удвоения объёма куба можно рассмотреть обратно, – определить куб с объёмом, вдвое меньшим, что отображено на рисунке А.

При рассмотрении построения меньшего куба использован физический процесс.

Объем куба равен: , где или ; Если объём одного куба больше другого в два раза, то есть , то итак как стороны куба равны, то каждая сторона куба больше стороны в раза, ( в данном случае абсолютная погрешность относительная ). Так как у куба площади всех поверхностей равны, то для определения куба, вдвое больше или меньше изначального, надо построить одну поверхность, квадрат, отличающийся вдвое. Задачу удвоения объёма куба можно рассмотреть обратно, – определить куб с объёмом, вдвое меньшим, что отображено на рис. А… При рассмотрении построения меньшего куба рассмотрен физический процесс, – вращение круга (круг, – форма в результате сжатия не плотного тела в виде квадрата при центрофугировании, создании повышенного давления в камере)… А именно, – сжатие неплотного вещества, в виде большого квадрата – до размеров круга с центром и радиусом с последующим преобразованием в квадрат , где : 1,25 (установленный коэффициент)…. Мгновенная скорость ; ( Пересечение векторов мгновенной круговой скорости и центр-стр. ускорения образуют ; Аналогично мгновенная скорость направлена во всех положениях, пересекая диагонали квадрата и , с образованием точек , образуя малый квадрат (рис. А). Стороны этого квадрата в 1,25 раза меньше сторон квадрата …

Куб со сторонами вдвое меньше по объёму куба со стороной … Выразим процесс геометрически… В большом квадрате строим диагонали ; . – центр включённой в квадрат окружности, построенной циркулем.

– точки пересечения круга с квадратом. Моментальная скорость круга направления по касательной, перпендикулярно в каждой точке вектору центро-стр. ускорения…

Задачу удвоения объёма куба можно решить, определив площадь его стороны, следующим образом…

Продлим диагонали куба и . Из центра, т. опустим перпендикуляры, используя линейку, на стороны квадрата и …

Методом построения пересекающихся дуг, точки пересечения , – проведём отрезки ; и определим средины медиан, – точки и ; Возьмём половину диагонали квадрата, , и из точек и построим дуги двух окружностей. Эти дуги пересекут продлённые диагонали квадрата ; в точках . Соединим их линейкой, получим квадрат – одну из четырех поверхностей удвоенного в объёме куба… Аналогично можно построить и другие поверхности куба…

Вывод: способом определения центров окружностей, т. ; и построением двух дуг с радиусом, равным половине диагонали меньшего квадрата, – просто образовать, определив точки поверхность (сторону) удвоенного в объёме куба и построить этот куб. Задача решена.

Литература:

1. Бевз, Владимирова Геометрия 11 класс.