Цифровая запись числа

Цифровая запись числа

Кратность (2,4,8 3,9 5,10 11 и др.)

Используем делимость на 10, 5 и 2 для нахождения последней цифры.

Используем делимость на 4 для нахождения предпоследней цифры

Используем делимость на 8 для нахождения 3-й с конца цифры.

В конце используем делимость на 3/9/11 для подбора оставшихся цифр.

Помним, что делимость на некоторое число означает также делимость на все его простые множители, например, если искомое число делится на 12 нацело, то делится также на 2,3,4.

14. Най­ди­те ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 0 и де­лит­ся на 24.

13. Най­ди­те наи­мень­шее пя­ти­знач­ное число, крат­ное 55, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 50, но мень­ше 75.

15. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3 и ко­то­рое за­пи­са­но тремя раз­лич­ны­ми нечётными циф­ра­ми.

19. Вы­черк­ни­те в числе 123456 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзнач­ное число де­ли­лось на 27. В от­ве­те ука­жи­те по­лу­чив­ше­е­ся число.

20. Вы­черк­ни­те в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

21. Вы­черк­ни­те в числе 74513527 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 15. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

22. Вы­черк­ни­те в числе 85417627 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 18. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

23. Вы­черк­ни­те в числе 181615121 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 12. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

54. Вы­черк­ни­те в числе 23462141 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 12. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

27. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

30. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

31. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 2 и 0 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

32. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 72. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

50. Най­ди­те че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 66, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и четны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь такое число.

51. Найти че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 44, любые две со­сед­ние цифры ко­то­ро­го от­ли­ча­ют­ся на 1. В от­ве­те ука­жи­те любое такое число.

8. Най­ди­те трёхзнач­ное число, крат­ное 25, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Кратность: при делении дает одинаковый остаток

Если искомое число abc, то сначала ищем число abd, которое делится аналогично abc, но без остатка. Потом добавляем к d остаток и получаем abc. Если остаток не известен, то после нахождения abd добавляем к d x, подобрав его из дополнительных условий.

24. Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 2, и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

25. Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 3, и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

34. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 даёт в остат­ке 3 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

35. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 4 и на 5 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

36. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 1 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

37. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

2. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

16. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 11 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и у ко­то­ро­го сред­няя цифра яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух край­них цифр.

33. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

38. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

39. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

40. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

41. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая спра­ва цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

42. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая спра­ва цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

52. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

53. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Сумма цифр равна произведению цифр.

(цифры должны быть маленькие, начинаем перебирать с числа 11…121 в сторону возрастания)

10. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

12. Най­ди­те четырёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, крат­ное 19, сумма цифр ко­то­ро­го на 1 боль­ше их про­из­ве­де­ния.

43. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

55. Най­ди­те пя­ти­знач­ное на­ту­раль­ное число, крат­ное 5, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Произведение цифр равно числу. (разложим число на множители – кандидаты в искомые цифры, добавляем по необходимости цифры 1)

11. Най­ди­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное число, крат­ное 11, у ко­то­ро­го про­из­ве­де­ние его цифр равно 12. В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее такое число.

44. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 12, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 40, но мень­ше 45. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

4. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

5. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 40. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

6. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 60. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

7. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 18, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

11. Най­ди­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное число, крат­ное 11, у ко­то­ро­го про­из­ве­де­ние его цифр равно 12. В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее такое число.

44. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 12, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 40, но мень­ше 45. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Число А делится на с и число (А+b) делится на с. (проверить b-9; b-18; b-27 делится на c? Если да, то последняя цифра 9 или 8 или 7 или … b штук, если первое да, то предпоследняя цифра меньше 9; если второе да, то предпоследняя цифра 9, если третье – да, то 3-я с конца цифра девять и т.д.)

17. Сумма цифр трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа А де­лит­ся на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также де­лит­ся на 12. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число А.

18. Сумма цифр трёхзнач­но­го числа A де­лит­ся на 13. Сумма цифр числа A+5 также де­лит­ся на 13. Най­ди­те такое число A.

26. Най­ди­те трёхзнач­ное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

 · сумма цифр числа A де­лит­ся на 8;

 · сумма цифр числа A + 1 де­лит­ся на 8;

 · в числе A сумма край­них цифр крат­на сред­ней цифре.

В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

29. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа А, об­ла­да­ю­ще­го сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

1) сумма цифр числа А де­лит­ся на 8;

2) сумма цифр числа (А + 2) также де­лит­ся на 8;

3) число А мень­ше 3000.

В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

48. Най­ди­те трёхзнач­ное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

· сумма цифр числа A де­лит­ся на 5;

· сумма цифр числа (A + 4) де­лит­ся на 5;

· число A боль­ше 350 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

49. Най­ди­те трёхзнач­ное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

· сумма цифр числа A де­лит­ся на 4;

· сумма цифр числа (A + 2) де­лит­ся на 4;

· число A боль­ше 200 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Прочие

1. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

3. Цифры четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзнач­ное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 4536. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

9. Най­ди­те трёхзнач­ное число, сумма цифр ко­то­ро­го равна 25, если из­вест­но, что его квад­рат де­лит­ся на 16.

45. Цифры четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзнач­ное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 1458. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

46. Най­ди­те четырёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, мень­шее 1360, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

47. Най­ди­те на­ту­раль­ное число, боль­шее 1340, но мень­шее 1640, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

Цифровая запись числа (пояснение)

1. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

По­яс­не­ние.

Раз­ло­жим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми спо­со­ба­ми:

 

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

 

При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−4, 7 и 8 суммы квад­ра­тов чисел не крат­ны трём. При раз­ло­же­нии пятым спо­со­бом сумма квад­ра­тов крат­на де­вя­ти. Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи. Таким об­ра­зом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, на­при­мер, число 578.

2. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не боль­ше 400

При : 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Также под­хо­дят числа 573 и 693.

 

Ответ: 453,573, 693.

3. Цифры четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзнач­ное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 4536. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

По­яс­не­ние.

Число де­лит­ся на 5, зна­чит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзнач­ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

 

 

Вто­рое сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Зна­чит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое сла­га­е­мое. То есть  От­ку­да  Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние, по­лу­чим, что  Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого ра­вен­ства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся от­ве­том: 9605, 9715, 9825, 9935.

4. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 24 можно пред­ста­вить мно­ги­ми спо­со­ба­ми, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - . При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким об­ра­зом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть чет­ным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 4312, 2134, 1342, 3124

5. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 40. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 40 можно пред­ста­вить мно­ги­ми спо­со­ба­ми, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния -  При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким об­ра­зом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть чет­ным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 5412, 5214, 1452, 1254, 1518

6. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 60. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 60 можно пред­ста­вить мно­ги­ми спо­со­ба­ми, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - . При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким об­ра­зом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть чет­ным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 5126, 2156, 6512, 1562

7. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 18, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число abcd крат­но 18, оно крат­но 2, 9, 3, 6: то есть оно долж­но быть чет­ным и сумма его цифр долж­на быть крат­на 9. Таким об­ра­зом d - чет­ное,  де­лит­ся на 9, . Про­из­ве­де­ния цифр могут быть пред­став­ле­ны в виде . Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие дан­ным усло­ви­ям: 3222, 2322, 2232

8. Най­ди­те трёхзнач­ное число, крат­ное 25, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Чтобы число де­ли­лось на 25, оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 за­кан­чи­вать­ся не может, по­сколь­ку все его цифры долж­ны быть раз­лич­ны. Вы­пи­шем все трёхзнач­ные числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на 25, 50 или 75, все цифры ко­то­рых раз­лич­ны, найдём сумму квад­ра­тов их цифр, про­ве­рим, де­лит­ся ли она на 3 и на 9.

 

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3 и на 9.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3 и на 9.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

 

Таким об­ра­зом, усло­вию удо­вле­тво­ря­ет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

 

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

9. Най­ди­те трёхзнач­ное число, сумма цифр ко­то­ро­го равна 25, если из­вест­но, что его квад­рат де­лит­ся на 16.

По­яс­не­ние.

Раз­ло­жим число 25 на сла­га­е­мые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.

Квад­рат числа де­лит­ся на 16, зна­чит, само число де­лит­ся на 4. Это зна­чит, что оно как ми­ни­мум за­кан­чи­ва­ет­ся на чётную цифру. То есть пер­вый набор от­па­да­ет, так как в нём та­ко­вых нет. Из вто­ро­го мы можем со­ста­вить числа 988 и 898. Пер­вое число удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям за­да­чи.

10. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть наше число имеет вид . Тогда имеем  И так как число де­лит­ся на 4,  де­лит­ся на 4. Можно за­ме­тить, что если среди цифр есть хотя бы три еди­ни­цы, то ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как сумма будет боль­ше про­из­ве­де­ния. То же самое, если еди­ниц мень­ше, чем две. В этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет слиш­ком боль­шое. Таким об­ра­зом, среди цифр есть ровно две еди­ни­цы. Рас­смот­рим дву­знач­ные числа, ко­то­рые де­лят­ся на 4, это кон­цов­ка на­ше­го числа. Нель­зя брать числа с нулём, так как в этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет равно нулю, что плохо.

12: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая — 4.

16: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая ни­ка­кая не по­дойдёт.

24: зна­чит, остав­ши­е­ся цифры — еди­ни­цы. Всё схо­дит­ся.

Осталь­ные числа будут да­вать слиш­ком боль­шое про­из­ве­де­ние или нечётную сумму.

Таким об­ра­зом, ис­ход­ные числа: 1412, 4112, 1124.

11. Най­ди­те наи­мень­шее четырёхзнач­ное число, крат­ное 11, у ко­то­ро­го про­из­ве­де­ние его цифр равно 12.

В от­ве­те ука­жи­те наи­мень­шее такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть число имеет вид  Про­из­ве­де­ние цифр числа равно 12, то есть  от­ку­да по­лу­ча­ем, что  может быть на­бо­ром цифр: 1, 2, 2, 3; 1, 1, 3, 4. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих на нечётных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на чётных ме­стах. Наи­мень­шее число, удо­вле­тво­ря­ю­щее этому тре­бо­ва­нию и со­сто­я­щее из име­ю­щих­ся на­бо­ров цифр, — 1232.

 

Ответ: 1232.

12. Най­ди­те четырёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, крат­ное 19, сумма цифр ко­то­ро­го на 1 боль­ше их про­из­ве­де­ния.

По­яс­не­ние.

Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзнач­ное число — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да сле­ду­ет, что все цифры не мень­ше 1, и их сумма не мень­ше четырёх, а зна­чит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 со­от­вет­ствен­но, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию.

Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых трой­кой, двой­кой и двумя еди­ни­ца­ми. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым.

 

Ответ: 3211.

 

При­ме­ча­ние.

Четырёхзнач­ное число, об­ла­да­ю­щее тре­бу­е­мы­ми свой­ства­ми, един­ствен­но. По­ка­жем это, при­ве­дя дру­гое ре­ше­ние.

 

При­ведём ре­ше­ние Дмит­рия Му­хи­на (Москва).

Пусть a, b, c, d — цифры числа и пусть а самая боль­шая из них (по­ря­док цифр не важен). По­ка­жем, что про­из­ве­де­ние мень­ших цифр не боль­ше четырёх. Дей­стви­тель­но, из ра­вен­ства a + b + c + d = 1 + abcd, по­лу­ча­ем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наи­боль­шую цифру a, по­лу­ча­ем, что bcd 

Рас­смот­рим те­перь сле­ду­ю­щие слу­чаи.

1. Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда по­сколь­ку a + b + c + d = 1, это число 1000, но оно на 19 не де­лит­ся. Итак, все три мень­шие цифры числа от­лич­ны от нуля.

2. Пусть все три мень­шие цифры равны еди­ни­це, тогда a + 3 = a + 1. Этот слу­чай не­воз­мо­жен.

3. Пусть мень­шие цифры это две еди­ни­цы и двой­ка. Тогда a + 4 = 2a + 1, от­ку­да a = 3. Пе­ре­би­рая 12 чисел, со­став­лен­ных из цифр 1, 1, 2, 3, на­хо­дим, что из них крат­но 19 толь­ко число 3211. Оно и яв­ля­ет­ся от­ве­том.

4. Пусть мень­шие цифры это две еди­ни­цы и трой­ка. Тогда a + 5 = 3a + 1. От­сю­да a = 2, но тогда a не наи­боль­шая цифра. Про­ти­во­ре­чие.

По­сколь­ку bcd 

13. Най­ди­те наи­мень­шее пя­ти­знач­ное число, крат­ное 55, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 50, но мень­ше 75.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 55, то оно де­лит­ся на 5 и на 11. Если число де­лит­ся на 5 то оно может окан­чи­вать­ся на 0 или на 5. Если в за­пи­си числа есть ноль, то про­из­ве­де­ние цифр числа равно нулю, сле­до­ва­тель­но, за­пись числа долж­на окан­чи­вать­ся на 5. Пусть число имеет вид  Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр на нечётных ме­стах равна сумме цифр на чётных ме­стах:  Рас­смот­рим раз­лич­ные про­из­ве­де­ния  такие, что  По­след­няя цифра числа равна пяти, сле­до­ва­тель­но, воз­мож­ные зна­че­ния про­из­ве­де­ния  50, 55, 60, 65, 70. Раз­ло­жим каж­дое число на про­стые мно­жи­те­ли:

 

 

По­пы­та­ем­ся удо­вле­тво­рить урав­не­нию  Пе­ре­би­рая раз­лич­ные воз­мож­ные зна­че­ния, по­лу­чим, что толь­ко число раз­ло­же­ние числа 70 в виде  удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию:  Наи­мень­шее число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи — 11 275.

 

Ответ: 11 275.

14. Най­ди­те ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 0 и де­лит­ся на 24.

По­яс­не­ние.

Чтобы число де­ли­лось на 24 оно долж­но де­лит­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Ис­ко­мое число за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко ну­ля­ми и еди­ни­ца­ми, зна­чит, оно за­кан­чи­ва­ет­ся на 000.

Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. По­сколь­ку три по­сл­лед­ние цифры числа нули, пер­вые три долж­ны быть еди­ни­ца­ми.

Таким об­ра­зом, един­ствен­ное число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­вию за­да­чи, это число 111 000.

 

Ответ: 111 000.

15. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3 и ко­то­рое за­пи­са­но тремя раз­лич­ны­ми нечётными циф­ра­ми.

По­яс­не­ние.

Число при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, сле­до­ва­тель­но, оно нечётное. При де­ле­нии на 3 число даёт оста­ток 2, то есть число имеет вид  При де­ле­нии на 5 число даёт оста­ток 3, то есть число имеет вид  то есть число может окан­чи­вать­ся либо на трой­ку, либо на восьмёрку. Число нечётное, сле­до­ва­тель­но, может окан­чи­вать­ся толь­ко на трой­ку. Учи­ты­вая, что число окан­чи­ва­ет­ся на 3:  Пе­ре­би­рая зна­че­ния  что при  по­лу­ча­ем число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи. Это число 173.

 

Ответ: 173.

16. Най­ди­те наи­мень­шее трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 11 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и у ко­то­ро­го сред­няя цифра яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух край­них цифр.

По­яс­не­ние.

По мо­ду­лю 6 и 11 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 66, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше шести. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид:

 

 

При  по­лу­ча­ем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не яв­ля­ют­ся трёхзнач­ны­ми.

При  по­лу­ча­ем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

 

Ответ: 135.

17. Сумма цифр трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа А де­лит­ся на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также де­лит­ся на 12. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число А.

По­яс­не­ние.

Пусть число  имеет вид  Если , то сумма цифр в новом числе будет на 6 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть  де­лит­ся на 12, тогда  то есть число  не де­лит­ся на 12. Ана­ло­гич­но, если число  де­лит­ся на 12, то число  не де­лит­ся на 12. Зна­чит, . Рас­смот­рим три слу­чая:

1)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 3 мень­ше суммы цифр числа 

2)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 12 мень­ше суммы цифр числа 

3)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 21 мень­ше суммы цифр числа 

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Под­берём число  так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 12. Наи­мень­шее воз­мож­ное  удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи, — 699.

 

Ответ: 699.

18. Сумма цифр трёхзнач­но­го числа A де­лит­ся на 13. Сумма цифр числа A+5 также де­лит­ся на 13. Най­ди­те такое число A.

По­яс­не­ние.

Пусть число  имеет вид  Если , то сумма цифр в новом числе будет на 5 боль­ше, чем в ис­ход­ном. Пусть  де­лит­ся на 13, тогда  то есть число  не де­лит­ся на 13. Ана­ло­гич­но, если число  де­лит­ся на 13, то число  не де­лит­ся на 13. Зна­чит, . Рас­смот­рим 3 слу­чая:

1)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 3 мень­ше суммы цифр числа 

2)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 12 мень­ше суммы цифр числа 

3)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 21 мень­ше суммы цифр числа 

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Под­берём число  так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 13. Наи­мень­шее воз­мож­ное  удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи, — 899.

 

Ответ: 899.

19. Вы­черк­ни­те в числе 123456 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзнач­ное число де­ли­лось на 27. В от­ве­те ука­жи­те по­лу­чив­ше­е­ся число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 9. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 3, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 3. За­ме­тим, что, если число де­лит­ся на 9, то оно де­лит­ся и на 3 (но не­обя­за­тель­но, что де­лит­ся на 27). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вы­черк­нув цифры 2, 4 и 6, по­лу­чим число, сумма цифр ко­то­ро­го равна де­вя­ти. 135 де­лит­ся на 27.

 

Ответ: 135.

20. Вы­черк­ни­те в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 30, то оно также де­лит­ся на 3 и на 10. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль. Тогда вычёрки­ва­ем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём, зна­чит, нужно вы­черк­нуть цифру 1 или цифру 4. Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем числа 145650, 115650 и 415650

 

Ответ: 145650, 115650 или 415650.

21. Вы­черк­ни­те в числе 74513527 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 15. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 15, то оно также де­лит­ся на 3 и на 5. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёрки­ва­ем 27. Остаётся 745135. По­счи­та­ем сумму цифр — 25. Для того, чтобы число де­ли­лось на три не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на трём. В таком слу­чае можно вы­черк­нуть цифру 1 и по­лу­чить число 74535, цифру 4 и по­лу­чить 75135 или вы­черк­нуть цифру 7 и по­лу­чить число 45135.

 

Ответ: 74535, 75135 или 45135.

22. Вы­черк­ни­те в числе 85417627 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 18. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 18, то оно также де­лит­ся на 9 и на 2. Число долж­но быть чётным, для этого вы­черк­нем цифру 7, по­лу­чим 8541762. По­счи­та­ем сумму цифр — 33. Для того, чтобы число де­ли­лось на де­вять не­об­хо­ди­мо, чтобы сумма цифр была крат­на де­вя­ти. Можно вы­черк­нуть цифры 5 и 1, по­лу­чив число 84762, либо вы­черк­нуть цифры 4 и 2 и по­лу­чить число 85176. Также воз­мож­но вы­черк­нуть цифры 7 и 8 и по­лу­чить число 54162.

 

Ответ: 84762, 85176 или 54162.

23. Вы­черк­ни­те в числе 181615121 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 12. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 сле­ду­ет, что число чётное — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3. Найдём сумму цифр в числе 1 + 8 + 1 + 6 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25. Бли­жай­шие суммы цифр — 24, 21, 18. Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18 вы­черк­нем из числа цифры 6 и 1. По­лу­чим число 181512. Это число де­лит­ся и на 4, и на 3. Число 116112 также под­хо­дит для от­ве­та.

 

Ответ: 181512, 116112.

24. Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 2, и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 2, сле­до­ва­тель­но, оно чётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 2, то оно может окан­чи­вать­ся на 2 или на 7. Таким об­ра­зом, число обя­за­тель­но долж­но за­кан­чи­вать­ся циф­рой 2.

Под­бо­ром на­хо­дим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 662 и 722.

 

Ответ: 662, 722.

25. Най­ди­те трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 3, и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 3, сле­до­ва­тель­но, оно нечётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 3, то оно может окан­чи­вать­ся на 2 или на 8. Таким об­ра­зом, число обя­за­тель­но долж­но за­кан­чи­вать­ся циф­рой 3.

Под­бо­ром на­хо­дим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 963 и 843.

 

Ответ: 963, 843.

26. Най­ди­те трёхзнач­ное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

 · сумма цифр числа A де­лит­ся на 8;

 · сумма цифр числа A + 1 де­лит­ся на 8;

 · в числе A сумма край­них цифр крат­на сред­ней цифре.

В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть число имеет вид , если , то сумма цифр в новом числе будет на 1 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Зна­чит . Рас­смот­рим те­перь 2 слу­чая:

1)  Число пе­рейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 8.

2)  Число пе­рейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 18.

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида , где  крат­но . Одним из таких чисел яв­ля­ет­ся 349.

 

Ответ: 349.

27. Най­ди­те четырёхзнач­ное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. При­знак де­ли­мо­сти на 8: число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных ме­стах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учи­ты­вая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны по­лу­ча­ем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 по­лу­чим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.

 

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

 

 

При­ведём идею дру­го­го ре­ше­ния.

Ис­ко­мое число долж­но быть за­пи­са­но че­тырь­мя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каж­дая из ко­то­рых взята один раз. Причём сумма цифр в раз­ря­дах тысяч и де­сят­ков долж­на быть равна сумме цифр в раз­ря­дах сотен и еди­ниц, а три по­след­ние цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны об­ра­зо­вы­вать трёхзнач­ное число, крат­ное вось­ми. Пусть в раз­ря­де тысяч стоит 8, тогда в раз­ря­де де­сят­ков долж­на быть 2, а в раз­ря­де сотен и еди­ниц — цифры 4 и 6. За­ме­тим, что число 8624 удо­вле­тво­ря­ет усло­вию. Далее ана­ло­гич­но для чисел, на­чи­на­ю­щих­ся с 2, 4 и 6.

28. Трёхзнач­ное число при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 3. Если по­след­нюю цифру числа пе­ре­не­сти в на­ча­ло его за­пи­си, то по­лу­чен­ное число будет на 72 боль­ше пер­во­на­чаль­но­го. Най­ди­те ис­ход­ное число.

По­яс­не­ние.

Пусть число имеет вид 

Тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так: 

Под­ста­вив зна­че­ние  в тре­тье вы­ра­же­ние и пре­об­ра­зо­вав его, по­лу­чим, что 

Под­хо­дит толь­ко пара .

Таким об­ра­зом, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет число 253.

29. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа А, об­ла­да­ю­ще­го сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

1) сумма цифр числа А де­лит­ся на 8;

2) сумма цифр числа (А + 2) также де­лит­ся на 8;

3) число А мень­ше 3000.

В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть число имеет вид . Если , то сумма цифр в новом числе будет на 2 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Зна­чит, . Рас­смот­рим те­перь 3 слу­чая:

1)  Число пе­рейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 7.

2)  Число пе­рейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 16.

3)  Число пе­рейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 25.

 

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида . Так как , не­слож­но вы­пи­сать все ва­ри­ан­ты: 1698, 2598, 1599, 2499.

30. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Пе­ре­брав трёхзнач­ные числа из 1 и 2, по­лу­чим, что толь­ко 112 де­лит­ся на 8. Это число об­ра­зу­ет по­след­ние три цифры ис­ко­мо­го числа.

Число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. По­след­ние три цифры 112 дают к сумме 4. Рас­смот­рим пер­вые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет сумма цифр, рав­ная 5. Троек с дан­ной сум­мой цифр три: 122, 212, 221.

Таким об­ра­зом, под­хо­дят числа: 122112, 212112, 221112.

31. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 2 и 0 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 24, то оно де­лит­ся на 3 и на 8.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя циф­ра­ми, тоже де­лит­ся на 8. Трёхзнач­ных чисел из 0 и 2, де­ля­щих­ся на 8, два: 000 и 200. Это окон­ча­ния ис­ход­но­го числа.

Если число де­лит­ся на 3, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 3.

000 даёт к сумме 0, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 6, то есть это 222.

200 даёт к сумме 2, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 4, то есть 220 или 202 (022 не может быть, так как это пер­вые цифры, а пер­вая цифра в числе не может рав­нять­ся 0).

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 220200, 202200, 222000.

32. При­ве­ди­те при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 72. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 72, то но де­лит­ся на 8 и на 9.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя циф­ра­ми, тоже де­лит­ся на 8. Ше­сти­знач­ных чисел из 1 и 2, де­ля­щиеся на 8 долж­ны за­кан­чи­вать­ся трой­кой цифр 112.

Если число де­лит­ся на 9, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9.

112 даёт к сумме 4, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 5, то есть долж­на со­сто­ять из пе­ре­ста­но­вок двух двоек и еди­ни­цы.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 122112, 212112, 221112.

 

Ответ: 122112, 212112 или 221112.

33. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

По мо­ду­лю 5 и 8 число имеет оди­на­ко­вые остат­ки. Оно будет иметь тот же оста­ток и при де­ле­нии на 40. Этот оста­ток боль­ше нуля и мень­ше пяти. Пусть наше число имеет вид , тогда имеем:

 

 

За­ме­тим, также, что ис­ко­мое число долж­но быть чётным. Пе­ре­берём все ва­ри­ан­ты, их че­ты­ре: 564, 684.

 

Ответ: 564; 684.

34. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 даёт в остат­ке 3 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Так как число даёт оди­на­ко­вый оста­ток по мо­ду­лям 4, 5 и 6, то оно также даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю 60. То есть число имеет вид  Все такие числа: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Из них под­хо­дят под по­след­нее усло­вие толь­ко 843 и 963.

35. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 4 и на 5 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Раз число даёт один и тот же оста­ток по мо­ду­лю 3, 4 и 5, то оно даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю . А зна­чит, число имеет вид  Все числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие этому не­ра­вен­ству: 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962. Из них удо­вле­тво­ря­ют усло­вию про две раз­лич­ные цифры: 662, 722.

36. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 1 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева на­пра­во. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число имеет оди­на­ко­вые остат­ки по каким-то мо­ду­лям, то оно имеет такой же оста­ток по мо­ду­лю, яв­ля­ю­ще­му­ся НОК этих мо­ду­лей. То есть в дан­ном слу­чае по мо­ду­лю 105. Тогда наше число . Пе­ре­берём все воз­мож­ные ва­ри­ан­ты: 106, 211, 316, 421, 526, 631, 736, 841, 946. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 421, 631 и 841.

 

Ответ: 421; 631; 841.

37. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Так как число даёт оди­на­ко­вые остат­ки по мо­ду­лям 3, 5 и 7, то оно также даёт такой же оста­ток по мо­ду­лю 105. То есть число имеет имеет вид . Все такие числа: 107, 212, 317, 422, 527, 632, 737, 842, 947. Под по­след­нее усло­вие под­хо­дят толь­ко числа 212, 422 и 737.

38. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Найдём все трёхзнач­ные числа, боль­шие пя­ти­сот, такие, что сред­няя цифра равна сред­не­му ариф­ме­ти­че­ско­му край­них. Пусть пер­вая цифра числа 5, тогда если по­след­няя цифра чётная, то сред­няя — не целое число. Сле­до­ва­тель­но, по­след­няя цифра долж­на быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Сред­нюю цифру на­хо­дим как сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них. По­лу­ча­ем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рас­суж­дая ана­ло­гич­но, на­хо­дим остав­ши­е­ся трёхзнач­ные числа, об­ла­да­ю­щие этим свой­ством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Опре­де­лим, какие из най­ден­ных чисел дают оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6. Это числа 543 (оста­ток 3), 630 (оста­ток 0), 642 (оста­ток 2), 753 (оста­ток 3), 840 (оста­ток 0), 963 (оста­ток 3).

Не­ну­ле­вые рав­ные остат­ки дают числа 543, 753, 963.

39. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и 8. Зна­чит, оно даёт такой же оста­ток и по мо­ду­лю 40. То есть число имеет вид  Пер­вая цифра не мень­ше 5. Пер­вая и по­след­няя цифры в сумме дают чётное число. Раз­ность числа и p де­лит­ся на 40, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, де­лит­ся на 4. Те­перь можно вы­пи­сать все числа, ко­то­рые под­хо­дят под эти усло­вия: 642, 963.

40. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид  То есть раз­ность на­ше­го числа и  долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это зна­чит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. Из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское также сле­ду­ет, что сумма пер­вой и по­след­ней цифры в ис­ход­ном числе чётная. Пе­ре­берём по­след­нюю и вто­рую цифры, а по ним од­но­знач­но вос­ста­но­вим первую и по­лу­чим числа: 123, 543, 963.

41. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая спра­ва цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид  То есть раз­ность на­ше­го числа и  долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это зна­чит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. А из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское сле­ду­ет, что сумма этих цифр также чётная. Под все эти усло­вия под­хо­дят числа 24, 42 и 60. А со­от­вет­ству­ю­щие им ис­ход­ные числа будут равны 243, 423 и 603.

42. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая спра­ва цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид  То есть раз­ность на­ше­го числа и  долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя циф­ра­ми, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это зна­чит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. А из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское сле­ду­ет, что сумма этих цифр также чётная. Под все эти усло­вия под­хо­дят числа 24, 42 и 60. А со­от­вет­ству­ю­щие им ис­ход­ные числа будут равны 243, 423 и 603.

43. При­ве­ди­те при­мер трёхзнач­но­го на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Можно за­ме­тить, что если среди цифр есть хотя бы две еди­ни­цы, то ра­вен­ство не­воз­мож­но, так как сумма будет боль­ше про­из­ве­де­ния. То же самое, если еди­ниц нет во­об­ще. В этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет слиш­ком боль­шое. Таким об­ра­зом, среди цифр есть ровно одна еди­ни­ца. Число де­лит­ся на 4, зна­чит, по­след­няя цифра чётная, а это зна­чит, что про­из­ве­де­ние тоже чётное. А зна­чит, и сумма. И так как по­след­няя цифра чётная, то остав­ши­е­ся две цифры долж­ны быть одной чётно­сти. А так как мы вы­яс­ни­ли, что среди цифр есть ровно одна еди­ни­ца, то эти числа нечётные. Под эти огра­ни­че­ния под­хо­дят числа: 132, 136, 152, 156, 172, 176, 192, 196, 312, 316, 512, 516, 712, 716, 912, 916, из ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют всем усло­ви­ям толь­ко числа 132 и 312.

44. При­ве­ди­те при­мер четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 12, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 40, но мень­ше 45. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

По­яс­не­ние.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 3 и на 4. Если число де­лит­ся на 3, то сумма всех его цифр тоже де­лит­ся на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми его циф­ра­ми тоже де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид , тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

 

 

В ин­тер­ва­ле  на­хо­дят­ся числа 41, 42, 43, 44. 41 и 43 — про­стые, а 44 де­лит­ся на 11 — тоже про­стое. Таким об­ра­зом, 41, 43 и 44 не под­хо­дят, по­то­му что не могут быть пред­став­ле­ны в виде про­из­ве­де­ния. То есть  Два на­бо­ра цифр под­хо­дят как ре­ше­ние: (1, 2, 3, 7) и (1, 1, 6, 7). Но в пер­вом на­бо­ре сумма цифр не крат­на трём, так что он от­па­да­ет. Имеем (1, 1, 6, 7). По­след­няя цифра в числе долж­на быть чётной, иначе число не будет де­лить­ся на 4.  Осталь­ные цифры могут сто­ять в любом по­ряд­ке.

Вы­пи­шем ис­ко­мые числа: 1176, 1716, 7116.

45. Цифры четырёхзнач­но­го числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзнач­ное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 1458. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

По­яс­не­ние.

Число де­лит­ся на 5, зна­чит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзнач­ное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

 

 

Вто­рое сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Зна­чит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое сла­га­е­мое. То есть  От­ку­да  Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в урав­не­ние, по­лу­чим, что  Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого ра­вен­ства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся от­ве­том: 7065, 7175, 7285, 7395.

46. Най­ди­те четырёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, мень­шее 1360, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть  - ис­ко­мое число ( - число тысяч,  - число сотен,  - число де­сят­ков,  - число еди­ниц) . По усло­вию . Кроме того, . Про­ана­ли­зи­ру­ем те­перь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру.

Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на сто­ять на 4-м месте. Это про­сто по­нять из того, что при­знак де­ли­мо­сти на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-ни­будь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Пер­вая цифра - еди­ни­ца. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число мень­ше 1360.

На вто­ром месте могут сто­ять цифры 1,2,3. Но число 1 уже было, по­это­му на 2-м месте могут сто­ять цифры 2 и 3.

Если на вто­ром месте цифра 2, то число долж­но де­лить­ся на 2, т.е. чет­вер­том месте обя­за­тель­но долж­но сто­ять чет­ная цифра - 4,6,8.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 4, то по­след­ние две цифры числа долж­ны де­лить­ся на 4: 14 (не может быть), 24 (не может быть), 34 (не может быть), 44 (не может быть), 54 (не может быть), 64 (тогда число долж­но де­лить­ся на 3; при­знак де­ли­мо­сти 3 - сумма цифр де­лит­ся на 3, по­это­му про­ве­рим по­лу­чив­ше­е­ся число 1264: 1+2+6+4=13 - не под­хо­дит), 74 (не может быть), 84 (число долж­но будет де­лить­ся на 8, то есть три по­след­ние цифры числа долж­ны со­став­лять число, ко­то­рое де­лит­ся на 8: 284 не де­лит­ся на 8 без остат­ка), 94 (не может быть)

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 6, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3. У нас есть сумма трех цифр: 1+2+6=9. Таким об­ра­зом, на тре­тьем месте может сто­ять цифра 3, и 9 (обе цифры под­хо­дят, по­сколь­ку сумма цифр в этом слу­чае будет де­лить­ся, как на 3 и 6, так на 3 и 9. Таким об­ра­зом, мы нашли числа 1236, 1296.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 8, то по­след­ние три цифры числа долж­ны де­лить­ся на 8. Мы имеем число в общем виде 2х8, где х - число де­сят­ков. 248 де­лит­ся на 8, а также по­след­ние две цифры де­лят­ся на 4. Таким об­ра­зом, число 1248 - одно из ис­ко­мых чисел.

Если на вто­ром месте цифра 3, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты:

4+x+y=21 (x=8, y=9 не под­хо­дят, так как число долж­но быть мень­ше 1360)

4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - не под­хо­дит, так как если число 5 будет сто­ять на конце, то ис­ко­мое число будет боль­ше 1360, x=6,y=8 - не под­хо­дит, x=7,y=7 - не под­хо­дит)

4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не под­хо­дит, x=3,y=8 - не под­хо­дит, x=4,y=7 - не под­хо­дит, x=5,y=6 - не под­хо­дит)

4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не под­хо­дит, x=2,y=6 - число 1326 де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x=3,y=5 - не под­хо­дит, x=4,y=4 - не под­хо­дит)

4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не под­хо­дит, x=3, y=2 - не под­хо­дит)

4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не под­хо­дит)

4+x+y=3 (x+y=1 - не воз­мож­но, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не рав­ня­ет­ся.

Таким об­ра­зом, это еще одно най­ден­ное число - 1326

Ответ: 1236, 1296, 1248, 1326

47. Най­ди­те на­ту­раль­ное число, боль­шее 1340, но мень­шее 1640, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть  - ис­ко­мое число ( - число тысяч,  - число сотен,  - число де­сят­ков,  - число еди­ниц) . По усло­вию . Кроме того, . Про­ана­ли­зи­ру­ем те­перь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру.

Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на сто­ять на 4-м месте. Это про­сто по­нять из того, что при­знак де­ли­мо­сти на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-ни­будь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит усло­вию за­да­чи.

Пер­вая цифра - еди­ни­ца. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число боль­ше 1340 и мень­ше 1640.

На вто­ром месте могут сто­ять цифры 3,4,6.

Если на вто­ром месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая де­лит­ся на 3, может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты:

4+x+y=21 (x=8, y=9: 1389 - не под­хо­дит, так как не де­лит­ся на 8, 1398 - не де­лит­ся на 9)

4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - 1395 - число де­лит­ся на 3, на 9 и на 5, x=6,y=8 - 1368 - число де­лит­ся на 3, на 6. на 8, x=7,y=7 - не под­хо­дит)

4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не под­хо­дит, x=3,y=8 - не под­хо­дит, x=4,y=7 - не под­хо­дит, x=5,y=6 - не под­хо­дит)

4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не под­хо­дит, x=2,y=6 - 1362- число де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x=3,y=5 - не под­хо­дит, x=4,y=4 - не под­хо­дит)

4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не под­хо­дит, x=3, y=2 - не под­хо­дит)

4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не под­хо­дит)

4+x+y=3 (x+y=1 - не воз­мож­но, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не рав­ня­ет­ся.

Если на вто­ром месте цифра 4, то по­след­ние две цифры долж­ны де­лить­ся на 4. Среди таких чисел (без по­вто­ря­ю­щих­ся цифр): 28 (не под­хо­дит), 32 (не под­хо­дит), 36 (не под­хо­дит), 68 (не под­хо­дит), 72 (не под­хо­дит), 76 (не под­хо­дит), 82 (не под­хо­дит), 86 (не под­хо­дит), 98 (не под­хо­дит).

Если на вто­ром месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа долж­на де­лить­ся на 3 и, кроме того, число долж­но окан­чи­вать­ся на чет­ную цифру. Сумма пер­вых двух цифр 1+6=7. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая де­лит­ся на 3, может быть мак­си­мум 24. Рас­смот­рим ва­ри­ан­ты:

7+x+y=24 (x+y=17, x=8, y=9 не под­хо­дят, так как число долж­но быть мень­ше 1640)

7+x+y=21 (x+y=14: x=5,y=9 - не под­хо­дит, x=6,y=8 - не под­хо­дит, x=7,y=7 - не под­хо­дит)

7+x+y=18 (x+y=11: x=2,y=9 - не под­хо­дит, x=3,y=8 - не под­хо­дит, x=4,y=7 - не под­хо­дит, x=5,y=6 - не под­хо­дит)

7+x+y=15 (x+y=8: x=7,y=1 - не под­хо­дит, x=2,y=6 - не под­хо­дит, x=3,y=5 - не под­хо­дит, x=4,y=4 - не под­хо­дит)

7+x+y=12 (x+y=5: x=4,y=1 - не под­хо­дит, x=3, y=2 - число 1632 де­лит­ся на каж­дую из своих цифр)

7+x+y=9 (x+y=2: x=1,y=1 - не под­хо­дит)

Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632

48. Най­ди­те трёхзнач­ное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

· сумма цифр числа A де­лит­ся на 5;

· сумма цифр числа (A + 4) де­лит­ся на 5;

· число A боль­ше 350 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть наше число имеет вид 3yz. Если , тогда, при­бав­ляя 4, по­лу­чим, что в новом числе сумма цифр из­ме­нит­ся на 4 по срав­не­нию с сум­мой цифр в ис­ход­ном числе, и тогда эти оба числа не смо­гут де­лить­ся на 5. Зна­чит, 

Рас­смот­рим два слу­чая.

1) :  пе­рейдёт в , сумма цифр из­ме­нит­ся на 14.

2) :  пе­рейдёт в , сумма цифр из­ме­нит­ся на 5.

Во вто­ром слу­чае сумма цифр будет от­ли­чать­ся на 5, то есть также будет де­лить­ся на 5.

Таким об­ра­зом, ис­ко­мые числа: 357, 366, 389.

 

Ответ: 357, 366, 389.

49. Най­ди­те трёхзнач­ное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свой­ства­ми:

· сумма цифр числа A де­лит­ся на 4;

· сумма цифр числа (A + 2) де­лит­ся на 4;

· число A боль­ше 200 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Пусть число имеет вид . Если , то сумма цифр в новом числе будет на 2 боль­ше, чем в ис­ход­ном, и обе они не могут де­лить­ся на 4. Зна­чит, . Рас­смот­рим те­перь 2 слу­чая:

1)  Число пе­рейдёт в  (для ) или в  (для ) , сумма из­ме­нит­ся на 16

2)  Число пе­рейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 7.

 

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида . Так как , не­слож­но найти такие числа: 299, 398

 

Ответ: 299, 398.

50. Най­ди­те че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 66, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и четны. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь такое число.

По­яс­не­ние.

Наи­мень­шее че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 66, — число 1056. Чтобы пер­вая цифра была чет­ной удво­им его, по­лу­чим 2112, до­ба­вим 66 · 2 = 132, чтобы и вто­рая цифра стала чет­ной, по­лу­чим 2244, и будем до­бав­лять по 66 до тех пор, цифры не ста­нут раз­лич­ны­ми. До­ба­вив 6 раз, по­лу­чим 2640. (Воз­мож­ны и дру­гие при­ме­ры.)

51. Найти че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 44, любые две со­сед­ние цифры ко­то­ро­го от­ли­ча­ют­ся на 1. В от­ве­те ука­жи­те любое такое число.

По­яс­не­ние.

Наи­мень­шее че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 44, равно 1012, оно удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

52. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-

ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 8 и на 5, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 40, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не боль­ше 500

При : 521, 522, 523, 524. Сред­няя цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр

При : 641, 642, 643, 644. Число 642 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

При : 961, 962, 963, 964. Число 963 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

53. Най­ди­те трёхзнач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 60, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше 4. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не трех­знач­ное

При : 121, 122, 123. Число 123 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи

При : 181, 182, 183. Сред­няя цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр

При : 541, 542, 543. Число 543 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи

При : 961, 962, 963. Число 963 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи

Ответ: 123, 543, 963

54. Вы­черк­ни­те в числе 23462141 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 12. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Так как число долж­но де­лить­ся на 12, то долж­но де­лить­ся на 2 и на 6 (на 6, на 2 и на 3), т. е. число долж­но быть чётным и сумма цифр долж­на де­лить­ся на 3.

Таким об­ра­зом, за­черкнём по­след­нюю цифру, оста­нет­ся 2346214. Сумма цифр равна 22. Т. к. де­лит­ся на 3, то это может быть 21, но для этого вычёрки­ва­ет­ся толь­ко одна цифра 1, а нужно вы­черк­нуть две цифры. Дру­гим чис­лом может быть число 18, для этого вы­черк­нем 2 цифры. Это могут быть 3 и 1 (т. к. 22 − 18 = 4). По­лу­чим число 24624.

 

Ответ: 24624.

55. Най­ди­те пя­ти­знач­ное на­ту­раль­ное число, крат­ное 5, сумма цифр ко­то­ро­го равна их про­из­ве­де­нию. В от­ве­те ука­жи­те какое-ни­будь одно такое число.

По­яс­не­ние.

Число де­лит­ся на 5, если его по­след­няя цифра де­лит­ся на 5 (то есть равна 0 или 5). Но по­след­няя цифра не может быть нулем, по­сколь­ку про­из­ве­де­ние цифр будет равно нулю и ни­ко­гда не будет равно сумме цифр. Таким об­ра­зом, дан­ное число окан­чи­ва­ет­ся на 5.

При­ме­ра­ми таких чисел могут слу­жить: 11125, 12115, 11215, 21115...

 

Ответ: 11125 или 12115 или 11215 или 21115.