Учебный проект "Аксиома. Что это?"

Учебный проект на тему: «Аксиома. Что это?»

Выполнили: ученики 7 класса А

Сапсуева Маргарита

Экес Юрий

Учитель-консультант:

Поспелова Е.А.

МБОУ СОШ № 3 им. Героя России

Сергея Ромашина

г. Южно-Сахалинск, 2017 г.

Аристотель

(древнегреческий философ,

384-322 гг. до н.э.)

«Аксиомы обладают наивысшей степенью общности и представляют начало всего»

Цели проекта:

• Узнать, что такое аксиома.
• Сравнить аксиомы Евклида и Лобачевского.
• Найти аксиомы в других науках.
• Провести опрос среди сверстников и взрослых: «Какие аксиомы сопутствуют в жизни?».
• Сформировать исследовательские и презентационные умения и навыки.

Гипотеза проекта:

Проводя исследование по выбранной теме, мы можем предположить, что геометрия – это не единственная наука, в которой есть аксиомы

В переводе с греческого слово ГЕОМЕТРИЯ означает «землемерие» («гео» – земля, «метрео» – мерить).

Такое название объясняется тем, что зарождение геометрии было связано с различными измерительными работами

Начальные геометрические знания были добыты опытным путем. Получение новых геометрических фактов при помощи рассуждений (доказательств) началось от древнегреческого ученого Фалеса Милетского ( VI в до н.э.)

К III в до н.э. геометрия становится дедуктивной наукой, т.е. наукой, в которой большинство фактов устанавливается путем вывода (дедукции), доказательства

Евклид – древнегреческий ученый, III в до н.э.

О самом Евклиде практически ничего не известно. «Точные» же биографические данные основываются на заметках неизвестного арабского математика XII века: «Евклид, сын Наукрата, известный под именем «Геометра», учёный старого времени, по своему происхождению грек, по местожительству сириец, родом из Тира…»

Ватиканский манускрипт (XI, Предложения, 31—33)

Классический труд Евклида, написанный в 3 веке до н.э., посвященный , прежде всего, аксиоматическому построению геометрии, а также включавший основы теории чисел, общей теории отношений величин и методов нахождения площадей и объемов с элементами теории пределов. Этот трактат служил учебником геометрии более 1000 лет и современные учебники во многом опираются на заложенные в нем идеи. В свою очередь, Евклид использовал труды Гиппократа, Евдокса, Архита и Теэтета

АКСИОМА – утверждение, не требующее доказательства.

Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достаточный».

Весь выбор аксиом (система) называется аксиоматикой

АКСИОМЫ ЕВКЛИДА

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то и целые не будут равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

ПОСТУЛАТ – утверждение не требующее доказательства (аксиомы и постулаты – не синонимы)

Принципиальные различия :

• В отличие от аксиомы (она имеет опытное происхождение) постулат может быть опровергнут опытом.
• Если постулат может быть принят как произвольное предположительное утверждение, то аксиома – то, истинность чего очевидна

ПОСТУЛАТЫ ЕВКЛИДА

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию. II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить. III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом. IV. И чтобы все прямые углы были равны. V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Пятый постулат Евклида

На современном языке :

Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180 0 , то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей

Пятый постулат Евклида

В школьных учебниках :

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая параллельная данной

Лобачевский Николай Иванович (1792-1856) русский математик, создатель неевклидовой геометрии

Заменив V постулат Евклида на аксиому, Лобачевский Н.И. пришел к выводу, что можно построить другую геометрию, отличную от евклидовой

«Чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклида?» Главное различие кроется в понимании самой природы пространства:

«Новая геометрия» Николая Лобачевского

Как показали исследования, геометрия Лобачевского (в том числе и 5-й постулат) совершенно верна, если ее рассматривать не на плоскости, а на поверхности гиперболического параболоида (вогнутой поверхности, напоминающей седло)

Воронка

Гиперболический параболоид

ВЫВОД

Несмотря на кажущиеся странности, геометрия Лобачевского является настоящей геометрией нашего мира, а Евклидова - является только её составной частью. Но в пределах ежедневных измерений Евклидова геометрия даёт ничтожно малые ошибки, и мы пользуемся именно ею

Аксиомы планиметрии

• Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой и точки не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую и только одну.
• Из трех точек на прямой одна о только одна лежит между двумя другими.
• Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
• Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.
• Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
• На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.
• От полупрямой на содержащей её плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180 0 , и только один.
• Каков бы ни был треугольник, в этой же плоскости существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.
• На плоскости через данную точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Аксиомы стереометрии

• Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом  только одна.
• Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
• Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Давид Гильберт

(1862-1942)

Немецкий математик, написал «Основания геометрии», в которых рассматриваются проблемы непротиворечивости, полноты и независимости систем аксиом, определяющих ту или иную геометрию

Фридрих Бернхард Риман (1826-1866)

Немецкий математик, создатель новой геометрии, которая обобщает как геометрию Евклида, так и геометрию Лобачевского

АКСИОМЫ В АЛГЕБРЕ

Свойства сложения

a+b=b+a

a+(b+c)=(a+b)+c

Свойства умножения

ab=ba

a(bc)=(ab)c

a(b+c)=ab+ac

АКСИОМЫ В ФИЗИКЕ

Альберт Эйнштейн

(1879-1955)

Немецкий физик-

теоретик

Ричард Фейнман

(1918-1988)

Американский

физик

Эйнштейн полагал, что вся его теория относительности базируется на двух аксиомах:

• Принцип относительности может быть распространён на все явления нашего мира
• Скорость света в вакууме – величина абсолютная, предельная для нашего мира.

ОСНОВНЫЕ АКСИОМЫ БИОЛОГИИ

Аксиома 1 . Все живые организмы состоят из фенотипа и программы для его построения (генотипа), передающейся по наследству из поколения в поколение. Наследуется не структура, а описание структуры и инструкция по ее изготовлению. Жизнь на основе одного только генотипа и фенотипа невозможна, т.к. при этом нельзя обеспечить ни самовоспроизведения структуры, ни ее самоподдержания (Д. Нейман, Н.Винер).

Аксиома 2 . Генетические программы не возникают заново, а реализуются матричным способом. В качестве матрицы, на которой строится ген будущего поколения, используется ген предыдущего поколения. Жизнь - это матричное копирование с последующей самосборкой копий (Н.К. Кольцов)

Аксиома 3 . В процессе передачи из поколения в поколение генетические программы в результате многих причин изменяются случайно и не направленно, и лишь случайно эти изменения оказываются приспособительными. Отбор случайных изменений не только основа эволюции жизни, но и причина ее становления, потому что без мутаций отбор не действует. (Эта аксиома основана на принципах статистической физики и принципе неопределенности В. Гейзенберга)

Аксиома 4 . В процессе формирования фенотипа случайные изменения генетических программ многократно усиливаются, что делает возможным их селекцию со стороны факторов внешней среды. Из-за усиления в фенотипах случайных изменений эволюция живой природы принципиально непредсказуема (Н.В. Тимофеев-Ресовский)

АКСИОМЫ В ФИЛОСОФИИ

Чтобы правильно построить философию, необходимо правильно начать философствовать, а для этого необходимо найти ту аксиому, которая является очевидной и бесспорной. Нужно найти истину, на которую можно опереться как на твёрдую незыблемую опору и из неё возводить всё знание философии. Если у предыдущих философов эта мысль встречалась неявно, то Аристотель отчетливо излагает именно такую задачу философии, первым аксиоматически строит философскую систему. Этот метод будет применяться в философии нового времени и станет на долгие века очевидным и само собой разумеющимся.

Такой аксиомой для Аристотеля является закон непротиворечия. Понятно, что для человека, который строит мост между бытиём и мышлением и ищет ответы на вопрос о сущности бытия в разуме, сложно было бы найти другой ответ.

Этот закон звучит следующим образом: «Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении». Именно здесь мы видим ключ ко всей философии Аристотеля, то, что связывает воедино его философию, логику, этику, физику и все области знаний.

АКСИОМЫ В ГЕОГРАФИИ

• Аксиома Григорьева А.А. о географической оболочке: географическая оболочка – это целостная система взаимосвязанных элементов.
• Положение о составе элементов системы географической оболочки. Природа элементов оболочки двойственна: с одной стороны, это любые объекты и явления природы, принадлежащие четырем геосферам; с другой – хорологические единицы природно-территориальных комплексов.
• Положение о системе образующих отношениях. Обязательным атрибутом географической оболочки являются связи или отношения между ее элементами.
• Положение о структуре географической оболочки. Структура географической оболочки порождается географическими элементами и взаимоотношениями между ними.
• Аксиома об иерархии геосистем В.Б Сочавы. Географическая оболочка представляет собой систему, организованную в виде множества подсистем различных таксономических рангов.
• Аксиома о границах геосистем В.С. Преображенского. Географическая оболочка как планетарная система обладает свойствами континуальности и дискретности, т.е. она непрерывно – дискретна по своему строению

АКСИОМЫ ЭКОЛОГИИ ЧЕЛОВЕКА

• Аксиома экологии человека 1: эволюция и цивилизация
• Аксиома экологии человека 2: адаптация и биосоциальная специализация
• Аксиома экологии человека 3: социализация и жизнеспособность
• Аксиома экологии человека 4: роль совместной деятельности людей
• Аксиома экологии человека 5: обмен информацией и развитие человечества
• Аксиома экологии человека 6: взаимодействие человека и среды
• Аксиома экологии человека 7: последствия взаимодействий человека и среды
• Аксиома экологии человека 8: рост техногенных факторов риска
• Аксиома экологии человека 9: двоякое влияние факторов среды на людей
• Аксиома экологии человека 10: влияние факторов среды во времени
• Аксиома экологии человека 11: экономическое развитие и здоровье
• Аксиома экологии человека 12: ограничения роста населения Земли
• Аксиома экологии человека 13: сотрудничество или глобальная катастрофа

У каждого свой исходный постулат, на котором построена его геометрия жизни. Нужно только пристальнее приглядеться к человеку, определить этот исходный постулат и тогда всё станет ясно, все поступки окажутся логически обоснованными. Можно даже наперёд предсказать, как поступит тот или иной человек.

Н. Лобачевский

Аксиомы жизни

№ п/п

Аксиома

1

Взрослые

Вера

2

3

Сверстники

11

Высший разум

4

Закон бумеранга

7

4

10

10

Принципы нравственности

5

9

5

Рождение и смерть

6

8

8

Любовь и дружба

7

9

5

религия

8

9

8

11

Мысли материальны

Аксиом не существует

5

13

1

2

18

Аксиомы жизни

Аксиома жизни Трикими

В нашей жизни аксиома, Всё равно, что у парома Тот канат, что брат опоре,  Чтоб паром не сгинул в море.        Принятое положенье,         Всем знакомое ученье,         Отправная точка в мире,           Как струна в античной лире. Сборник истин непреложных, И понятных, и возможных, Всем без опытов известных, Вечных, крепких, светлых, честных.         Доказательств без мученья,        Без чьего-то огорченья,        Без хандры, без жгущих споров        И ненужных разговоров. По Евклидовым "Началам", Жизнь дают градским кварталам, Всем домам, дорогам мира, Без оглядки на кумира.        На глашатаев надежды,        И без мнения невежды,        Вне заумных толкований,        Вне призывов и воззваний.

Аксиома – дух сознанья, Чудо миропониманья,  Ветер, Солнце, воды мира, Слово, действия, стихира.         Жизнь и смерть в одном флаконе,        Пуля с порохом  в патроне,        Шаг, что делит вновь и вновь,        Злую ненависть, любовь. Бережливость и транжирство, Преданность и дезертирство, Безмятежность - жизни скупость,  Человеческую глупость.        Беспринципность в начинаньях,        Беспристрастность в обаяньях,        Вне сознания безбожность,        И без Бога осторожность...

Спасибо за внимание!