Удивительное рядом.

В этом году на муниципальном этапе Всероссийской олимпиады по математике задача № 5 была следующей : « Треугольник АВС – равносторонний треугольник со стороной 1 см.Найдите все точки плоскости , для каждой из которых наибольшее из расстояний до вершин этого треугольника равно 1 см.»

Решение

Пусть точка М входит в искомое ГМТ, т.е. наибольшее из расстояний МА, МВ и МС

равно 1. Это означает одновременное выполнение двух условий:

1) Каждое из трех расстояний равно 1;

2) Хотя бы одно из трех расстояний равно 1.

Точки, удовлетворяющие первому условию, составляют пересечение трех единичных

кругов с центрами в вершинах треугольника АВС.

Точки, удовлетворяющие второму условию, составляют объединение трех единичных

окружностей с центрами в вершинах треугольника АВС.

Если же выполнены оба условия, получаем объединение дуг трех окружностей с

центрами в вершинах треугольника с концами в двух других вершинах и угловой величиной

600.

Замечание. Полученную фигуру называют треугольником Рело. Много интересного о свойствах и применениях треугольника Рело можно узнать на сайте «Математические этюды» http://www.etudes.ru/ru/mov/mov001. Оценивание. За верное решение – 7 баллов.

Треугольник Рело — это геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов радиуса a с центрами в вершинах равностороннего треугольника со стороной a. Сверло, сделанное на основе треугольника Рело, позволяет сверлить квадратные отверстия (с неточностью в 2%).