Углы и расстояния в пространстве

Расположения прямой

Рисунок

Определение

Наклонная к плоскости α

Углом между прямой (наклонной к плоскости) и плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость

На рисунке это угол φ

Прямая, параллельная плоскости

Если прямая параллельна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Прямая, лежащая на плоскости

Если прямая лежит в плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным нулю.

Прямая, перпендикулярная к плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным   90°.

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

При этом прямая AB – это ребро двугранного угла, а полуплоскости α и β - стороны или грани двугранного угла.

Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол AB».

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым.

Линейный угол двугранного угла.

Для того, чтобы измерить двугранный угол нужно из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

В плоскости α провели перпендикуляр MD к ребру AB. В плоскости β провели перпендикуляр ND к ребру AB. В результате получился плоский угол MDN = φ. Этот угол является линейным углом двугранного угла AB.

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости в пространстве называется длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость

Расстояние между прямыми в пространстве

Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми в пространстве называется длина общего перпендикуляра, проведенного к этим прямым.

Если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости, а другая – параллельна этой плоскости, то расстояние между данными прямыми равно расстоянию между прямой и плоскостью.

Если две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях, то расстояние между этими прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями.

Расстояние между плоскостями

Расстоянием между двумя параллельными плоскостями называется расстояние от какой-нибудь точки одной плоскости до другой плоскости