Умножение вектора на число

Тема урока: Умножение вектора на число

Цель урока:

Обучающая цель: формирование представлений учеников о произведении вектора на действительное число, изучение правила построения нового вектора, полученного путём умножения исходного вектора на данное число, развитие навыков решения практических задач, связанных с векторной арифметикой.

Развивающая цель: развитие абстрактного мышления, пространственного воображения, внимания и памяти учащихся.

Воспитательная цель: воспитание интереса к изучению математики, аккуратности и внимательности при выполнении геометрических построений.

Тип урока: Изучение нового материала

Форма организации учебной деятельности: Фронтальная, индивидуальная

Методы обучения: Словесный (беседа, рассказ), наглядный (демонстрация рисунков), практический (решение задач)

Планируемые образовательные результаты:

Предметные: учащиеся смогут определять произведение вектора на число, строить новый вектор, полученный умножением исходного вектора на числовой коэффициент, решать практические задачи, связанные с операциями над векторами.

Метапредметные: умение самостоятельно анализировать условия задачи, выделять главное, находить пути решения поставленной проблемы, проверять правильность выполненных действий.

Личностные: осознание важности изучения геометрического аппарата для решения реальных жизненных ситуаций, развитие мотивации к саморазвитию и самосовершенствованию.

Оборудование:

Доска, мел, учебники, тетради, чертежные инструменты (линейка, карандаш, циркуль)

Ход урока

1. Организационный этап (2 минуты)

Приветствие класса, объявление темы и цели урока. Создание мотивации учащихся.

2. Актуализация опорных знаний (5 минут)

Фронтально повторяются ранее изученные понятия:

— Определение вектора;

— Понятие длины (модуля) вектора;

— Равенство векторов;

— Направление векторов.

3. Объяснение нового материала (15 минут)

Ребята, мы продолжаем изучать важную тему — операции с векторами. Сегодня поговорим о новом правиле, которое позволит вам лучше понимать законы движения объектов, анализа траекторий и даже решения некоторых физических задач. Речь пойдет об умножении вектора на число.

Вы уже знаете, что такое вектор и умеете определять его длину и направление. Но представьте себе ситуацию, когда вы хотите увеличить скорость какого-то объекта ровно вдвое или уменьшить силу тяжести в три раза. Для этого потребуется изменить сам вектор, сохраняя или меняя его направление.

Давайте разберемся подробнее!

Допустим, у вас есть некий вектор a⃗. Мы хотим создать новый вектор, равный этому же вектору, умноженному на некоторое число λ. Это значит, что каждый компонент нашего исходного вектора умножается на этот коэффициент λ.

Рассмотрим простой пример. Предположим, у нас есть вектор v⃗=2. Попробуем умножить его на число 2. Получим новый вектор:

λ⋅v⃗=2⋅2=4

Видите, увеличился в два раза. Длина нового вектора стала больше в два раза, а направление сохранилось прежним.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если умножим тот же самый вектор на отрицательное число, скажем, −2:

−2⋅2=−4

Получился совершенно другой вектор, направленный противоположно первоначальному, потому что знак изменился на минус. Таким образом, если мы умножаем вектор на отрицательное число, то изменяется направление вектора, а длина опять-таки увеличивается или уменьшается в зависимости от величины коэффициента.

Запомним важное правило:

• Когда мы умножаем вектор на положительное число, сохраняется направление вектора, но меняется его длина.

• Если мы умножаем вектор на отрицательное число, меняется направление вектора на противоположное, и снова меняется длина.

Это правило полезно не только в математике, но и в физике, технике, компьютерной графике и многих других областях науки и техники.

Итак, давайте попробуем вместе разобраться, как правильно выполнять такую операцию на конкретных примерах. После объяснения начнем тренировочные упражнения, чтобы убедиться, что вы поняли всё верно.

4. Первичное закрепление материала (10 минут)

Класс делится на группы (или индивидуально), каждой группе выдаётся задание построить графики результата умножения конкретного вектора на предложенное число. Затем осуществляется взаимопроверка решений группами друг друга. Учитель контролирует ход выполнения и исправляет возможные ошибки.

1. Пусть дан вектор p⃗​. Постройте векторы − p⃗, 2p⃗, −3p⃗.

2. Дан вектор q⃗. Вычислите и постройте вектор 1,5q⃗​.

Дополнительные вопросы классу для углубления понимания материала:

— Почему вектор при умножении на отрицательное число меняет своё направление? Построить векторы −2m⃗, 0.5n⃗

Выполнить умножение вектора k⃗=2 на числа 3, −1, 0.53, −1, 0.5 и записать результаты.

5. Закрепление полученных знаний (5 минут)

№ 776, № 781 , № 778

6. Подведение итогов урока (3 минуты)

Сегодня мы познакомились с новым действием над векторами — умножением вектора на число. Мы узнали, что:

• При умножении вектора на положительное число вектор сохраняет свое направление, но его длина изменяется в соответствующее количество раз.

• При умножении на отрицательное число вектор меняет направление на противоположное, также увеличиваясь или уменьшаясь в длину.

• Умножение вектора на ноль даёт нулевой вектор.

Мы рассмотрели ряд примеров и выполнили упражнения, благодаря которым теперь можем уверенно выполнять подобные операции.

Кроме того, мы убедились, насколько важным становится правильное понимание направлений векторов, ведь это основа для дальнейшего освоения сложных тем, таких как скалярное произведение и составление уравнений прямой линии.

7. Домашнее задание (5 минут)

п. 86 № 775, № 777