Уравнение окружности

8. Найдите координаты точек пересечения окружности с

центром в начале координат и радиусом, равным 7, с

осями координат.

Проверить

y

• (7; 0),

(0; 7),

(-7; 0),

(0; -7).

(0; 7)

(7; 0)

(-7; 0)

x

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

O

Вернуться назад, проверка

(0; -7)

9

Уравнение линии на плоскости

y

y = x

M ( x;y )

L

x

D ( x;y )

O

C ( x;y )

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

• Если точка лежит на данной линии, то ее координаты удовлетворяют уравнению этой линии.
• Координаты любой точки, не лежащей на данной линии, не удовлетворяют ее уравнению.

10

y

M ( x;y )

r

d =

( x 2 –x 1 ) 2 +( y 2 –y 1 ) 2

C ( x 0 ;y 0 )

( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2

MC =

x

= r 2

( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2

O

В прямоугольной системе координат

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид

уравнение окружности

= r 2

( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2

11

y

r = 3

r = 3

3

r

y 0

( x – ) 2 + ( y – ) 2

x 0

( )

2

= 2

= 9

x

O

r

C (4 ; -2 )

-2

4

В прямоугольной системе координат

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид

= r 2

( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2

12

y

y 0

x 0

( x – ) 2 + ( y – ) 2

( )

( )

-2

3

-3

2

= 9

= 2

3

O

x

r = 3

r

x 0

y 0

C ( ; )

C ( -3;-2)

В прямоугольной системе координат

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

уравнение окружности радиуса r с центром в точке C ( x 0 ;y 0 ) имеет вид

= r 2

( x–x 0 ) 2 +( y–y 0 ) 2

13

r

Уравнение окружности

Центр

( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 16

r = 4

C ( 3; 2)

( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 4

r = 2

C ( 1;-2)

( x + 5 ) 2 + ( y – 3) 2 = 25

r = 5

C ( -5; 3)

( x – 1 ) 2 + y 2 = 8

r = 8

C ( 1; 0)

x 2 + ( y + 2) 2 = 2

r = 2

C ( 0;-2)

x 2 + y 2 = 9

r = 3

C ( 0; 0)

( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 0,09

C ( 3; 2)

r = 0,3

( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 2,5

C ( -7; 5)

r = 2,5

5

1

x 2 + ( y + 4) 2 = 6

r =

C ( 0;-4)

2

4

r

Уравнение окружности

Центр

( x – 1 ) 2 + ( y – 2) 2 = 6 4

C ( 1; 2)

r = 8

( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,64

C ( 1;-2)

r = 0,8

( x + 5 ) 2 + y 2 = 1,44

r = 1,2

C ( -5; 0)

x 2 + y 2 = 5

r = 5

C ( 0; 0)

( x + 6) 2 + ( y + 2) 2 = 7

r = 7

C ( -6;-2)

( x – 5) 2 + y 2 = 0,0169

r = 0,13

C ( 5; 0)

( x – 3 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,09

C ( 3; -2)

r = 0,3

( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 1 , 6

C ( -7; 5)

r = 1,6

1

1 6

x 2 + ( y + 4) 2 =

C ( 0;-4)

r = 1

3

9

r

Уравнение окружности

Центр

( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 16

r = 4

C ( 3; 2)

( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 4

r = 2

C ( 1;-2)

( x + 5 ) 2 + ( y – 3) 2 = 25

r = 5

C ( -5; 3)

( x – 1 ) 2 + y 2 = 8

r = 8

C ( 1; 0)

x 2 + ( y + 2) 2 = 2

r = 2

C ( 0;-2)

x 2 + y 2 = 9

r = 3

C ( 0; 0)

( x – 3 ) 2 + ( y – 2) 2 = 0,09

r = 0,3

C ( 3; 2)

( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 2,5

C ( -7; 5)

r = 2,5

5

1

x 2 + ( y + 4) 2 = 6

r =

C ( 0;-4)

2

4

r

Уравнение окружности

Центр

( x – 1 ) 2 + ( y – 2) 2 = 6 4

C ( 1; 2)

r = 8

( x – 1 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,64

r = 0,8

C ( 1;-2)

( x + 5 ) 2 + y 2 = 1,44

r = 1,2

C ( -5; 0)

x 2 + y 2 = 5

r = 5

C ( 0; 0)

( x + 6) 2 + ( y + 2) 2 = 7

r = 7

C ( -6;-2)

( x – 5) 2 + y 2 = 0,0169

r = 0,13

C ( 5; 0)

( x – 3 ) 2 + ( y + 2) 2 = 0,09

r = 0,3

C ( 3; -2)

( x + 7) 2 + ( y – 5) 2 = 1 , 6

C ( -7; 5)

r = 1,6

1

1 6

x 2 + ( y + 4) 2 =

C ( 0;-4)

r = 1

3

9

Радиус

Центр

( ) ;

C

( x – 3) 2 + ( y – 2) 2 = 16;

r =

( ) ;

C

( x + 3) 2 + ( y – 5) 2 = 0,16;

r =

( ) ;

C

x 2 + ( y – 2) 2 = 25;

r =

( ) ;

C

( x – 1) 2 + y 2 = 144;

r =

( ) ;

r =

C

x 2 + y 2 = 2,25;

( ) ;

r =

C

( x + 7) 2 + ( y + 1) 2 = 0,09;

Вводите ответы в текстовые поля, не делая пробелов

r = 2

O ( 0; 3)

Центр? Радиус?

9

-4

x 2 + y 2 – 6 y + 5 = 0;

( )

x 2 + y 2 – 6 y + 9 – 4 = 0;

x 2 + ( y – 3) 2 – 4 = 0;

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x 2 + ( y – 3) 2 = 4

19

Докажите, что линия, заданная уравнением

, является окружностью.

Является ли треугольник АВС вписанным в эту

окружность, если известно, что А(7; -5), В(3;-1), С(-1;-5) ?

x 2 – 6 x + y 2 + 10 y + 18 = 0

+25

+9

x 2 – 6 x + y 2 + 10 y + 18 = 0

( )

( )

9

25

16

x 2 – 6 x + 9 + y 2 + 10 y + 25 – 16 = 0;

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

( x – 3) 2 + ( y + 5) 2 – 16 = 0;

А(7; -5),

В(3;-1),

-1

( x – 3) 2 + ( y + 5) 2 = 16

7

- 1

-5

- 5

3

С(-1;-5)

20

Какие из следующих уравнений задают окружность?

x 2 + ( y – 1) 2 = 25

9

x 2 + y 2 =

:4

4 x 2 + 4 y 2 = 9

4

x 2 + y 2 = 0

2 x 2 + 2 y 2 = 0

:2

x 2 + y 2 + 1 = 0

x 2 + y 2 = – 1

( x + 2) 2 + y 2 = 0,01

( x + 2) 2 + y 2 – 0,01 = 0 ;

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x 2 – 2 x + 1 + y 2 = 3 + 1

x 2 – 2 x + y 2 = 3;

( x 2 – 1) + y 2 = 4

21

№ 960 (a) Какие из точек лежат на окружности?

r = 5

x

y

x 2 + y 2 = 25

O ( 0; 0)

Центр? Радиус?

3 2 + (-4) 2 = 25

A ( 3; -4);

Верно

1 2 + 0 2 = 25

B ( 1; 0);

y

C

C ( 0; 5);

0 2 + 5 2 = 25

Верно

E

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

5

x

D ( 0; 0);

0 2 + 0 2 = 25

B

D

0 2 + 1 2 = 25

E ( 0; 1);

A

22

( 0 – 1) 2 + (5 + 3) 2 = 9 C ( 0; 5); «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др. ( 0 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9 D ( 0; 0); ( 0 – 1) 2 + (1 + 3) 2 = 9 E ( 0; 1); 22 " width="640"

№ 960 (б) Какие из точек лежат на окружности?

O (1 ; -3 )

Центр?

Радиус?

( x – 1) 2 + ( y + 3) 2 = 9

x

y

r = 3

( 3 – 1) 2 + (– 4 + 3) 2 = 9

A ( 3; -4);

( 1 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9

B ( 1; 0);

Верно

( 0 – 1) 2 + (5 + 3) 2 = 9

C ( 0; 5);

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

( 0 – 1) 2 + (0 + 3) 2 = 9

D ( 0; 0);

( 0 – 1) 2 + (1 + 3) 2 = 9

E ( 0; 1);

22

100 ( 5 – 4 ) 2 + (1 + 3) 2 100 «Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др. ( – 5 – 4 ) 2 + (4 + 3) 2 100 ( 10 – 4 ) 2 + (5 + 3) 2 = 100 24 " width="640"

y

x

( x – 4 ) 2 + ( y + 3 ) 2 = 1 00

Дана окружность

Определите, какие из точек А(-4; 3), В(5; 1), С(-5; 4), D (10; 5) лежат: а) на окружности;

б) внутри круга, ограниченного данной окружностью;

в) вне круга, ограниченного данной окружностью.

( – 4 – 4 ) 2 + ( 3 + 3) 2 100

( 5 – 4 ) 2 + (1 + 3) 2 100

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

( – 5 – 4 ) 2 + (4 + 3) 2 100

( 10 – 4 ) 2 + (5 + 3) 2 = 100

24

y

Найдите множество точек, удаленных от окружности

на расстояние 3.

x 2 + y 2 = 16

x

4

7

1

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

x 2 + y 2 = 49

x 2 + y 2 = 1

25

O 1 (-5 ; 5 )

5 2

На чертеже расстояние ОО 1 = .

Написать уравнение окружности.

Центр?

Радиус?

r = 5

y

O 1

B

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

5 2

5

x

45 0

A

O

5

( x + 5) 2 + ( y – 5) 2 = 25

26

На чертеже расстояние ОО 1 = , ОЕ – касательная к окружности. EOF = 60 0 . Написать уравнение окружности.

4 3

y

ОЕ = О F , отрезки касательных

O

x

6 0 0

30 0

E

6

4 3

F

O 1

2 3

«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.

O 1 (- ;- 6 )

Центр?

Радиус?

2 3

( x + ) 2 + ( y + 6) 2 = 12

r =

2 3

2 3

27