Урок 29. Монета и игральная кость в теории вероятностей

Монета и игральная кость в теории вероятностей

Монета и игральный кубик в изучении вероятностей

Изучать вероятности можно на примерах практически любых возможных событий и явлений: от падения метеоритов до траектории ползущей по листу улитки.

Однако многие из таких событий слишком редки или требуют специальной подготовки (например пойти в лес и найти ту самую улитку).

Ученые искали способ изучить вероятности событий наиболее просто, наглядно и на доступных инструментах. Такими инструментами стали монета и игральная кость (кубик).

Монета и игральный кубик - классические инструменты изучения теории вероятностей

Монета и игральный кубик являются классическими инструментами для изучения теории вероятностей.

Они позволяют наглядно продемонстрировать основные принципы и законы вероятности, которые лежат в основе многих явлений в природе и обществе.

Рассмотрим основные причины их использоования

• Простота и доступность. Монета и игральный кубик — это простые и доступные инструменты, которые можно легко найти и использовать. Это делает их идеальными для обучения основам теории вероятностей.
• Наглядность. Бросание монеты или игрального кубика позволяет наглядно увидеть, как работает вероятность. Результаты каждого броска являются случайными и непредсказуемыми, но при большом количестве бросков можно наблюдать закономерности, которые соответствуют законам вероятности.

Рассмотрим основные причины их использоования

• Универсальность. Монета и игральный кубик могут быть использованы для демонстрации различных законов вероятности, таких как закон больших чисел, закон распределения вероятностей и другие.
• Закон больших чисел утверждает, что при большом количестве испытаний частота наступления определенного события будет стремиться к его вероятности. Например, если мы будем бросать монету много раз, то частота выпадения «орла» будет стремиться к 50 % (так как вероятность выпадения «орла» равна 0,5 ), независимо от того, как часто выпадал «орел» в предыдущих бросках.

Рассмотрим основные причины их

использования

• Закон распределения вероятностей описывает распределение вероятностей различных исходов при многократном повторении эксперимента. Например, при бросании игрального кубика вероятность выпадения каждой грани равна ⅙ (конечно, для стандартного кубика, в котором нет пустот, плотность распределена равномерна и центр тяжести не смещен относитель геометрического центра фигуры).
• Закон независимости событий гласит, что вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло ли другое событие. Например, если мы бросим монету дважды, вероятность выпадения орла в первом броске не влияет на вероятность выпадения орла во втором броске.

Ответь на вопросы:

• Почему монета и игральный кубик являются важными инструментами для изучения теории вероятностей?
• Что такое закон больших чисел и как он применяется к изучению вероятностей?
• Как закон распределения вероятностей связан с монетой и игральным кубиком?
• Что такое закон независимости событий и как он проявляется в примере с монетой и игральным кубиком?
• Как ты думаешь, какие еще инструменты могут использоваться для изучения теории вероятностей?

Основные определения и примеры вычисления вероятности элементарных событий

В экспериментах с бросанием монеты или игрального кубика выпадение любой из сторон (граней) может как произойти, так и не произойти. Предугадать достоверно и точно, какой именно исход события сейчас произойдет (при честных бросках), невозможно. Именно поэтому такие события называют случайными .

Также отметим, что ни одно из этих событий не может быть разбито на составные события (более простые события в составе сложного), поэтому результаты выпадения стороны монеты или грани кубика называют элементарными событиями

Вероятности при подбрасыванием монеты или кубика

В опытах по бросанию монеты вероятность выпадения любой из ее сторон равна 1/2 , а выпадение любой из сторон игрального кубика возможно с вероятностью 1/6 .

Это верно, так как оба предмета обладают симметрией. Эксперименты с монетой и игральными кубиками называют равновероятными (или равновозможными) , так как шансы на появление любого из событий равны между собой.

На практике частота выпадения каждой из сторон может отличаться от вероятности. Например, при бросании монеты 200 раз получим 106 выпадений «орла» и 94 выпадения «решки», с частотами 0,53 и 0,47 соответственно. Отметим, что в сумме частоты этих событий дают 1 .

Аналогично проведем наблюдения за результатами 200 бросков игрального кубика (см. табл.)

Грань кубика

Число выпадений

1

2

Частота события

32

38

3

0,16

35

4

0,19

32

5

0,175

6

30

0,16

33

0,15

0,165

Результат 200 побрасываний кубика

Заметим, что, сложив частоты всех событий, также получим 1.

Пример 1.

Допустим, что мы бросаем монету три раза. Найди вероятность того, что первые два броска выпадет «орел», а третий — «решка».

Мы можем рассмотреть множество возможных исходов эксперимента, обозначив «орла» букво О, а «решку» буквой Р

Это множество называется пространством элементарных сообытий и обозначается греческой буквой «омега»

Ω={OOO, OOP , OPO, OPP, POO, POP, PPO, PPP}

Из результатов видно, что только один из восьми исходов благоприятен (ООР), то есть вероятность искомого события равна 1/8.

Пример 2.

С какой вероятностью при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 8 очков? Рассмотрим все возможные результаты бросков двух кубиков.

Как видим, всего различных исходов 36 .

Среди них только 5 дают сумму 8 (мы выделили их в таблице).

Таким образом, при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 8 очков с вероятностью 5/36≈0,14

Пример 3.

Допустим, что мы бросаем монету три раза. Найди вероятность того, что два раза из трех выпадет «орел» и один — «решка».

Опишем пространство элементарных событий в виде множества

Ω={OOO, OOP , OPO , OPP, POO , POP, PPO, PPP}

В этой задаче порядок не важен, значит нас устроит любой из вариантов:

1) «орел» — «орел» — «решка»;

2) «орел» — «решка» — «орел»;

3) «решка» — «орел» — «орел». Рассмотрим все возможные исходы.

Три исхода из восьми благоприятны, значит вероятность искомого события 3/8=0,375

Обобщая способы решения задач:

• сперва рассмотри все возможные исходы событий;
• среди всех исходов выдели те, которые удовлетворяют условию задачи, посчитай их количество;
• определи вероятность, разделив число благоприятных исходов к их общему количеству. Как правило, такой ответ выражается в виде десятичной дроби и он всегда равен числу между 0 и 1

Задачи с самопроверкой

Реши задачи и проверь свои решения.

Задача 1.

Петя и Вася играют с кубиком. Петя загадал, что при броске двух кубиков выпадет сумма 10 , а Вася загадал сумму 11 . Порядок выпадения чисел не важен. У кого из ребят выше шанс выиграть?

Подсказка: Рассмотри все комбинации, которые приведут к загаданным суммам.

Проверь себя

Рассмотрим все исходы.

Петя загадал сумму 10, которую можно получить из комбинаций:

1) 4 + 6; 2) 6 + 4; 3)5 + 5. Вероятность этого события 3/36=1/12

Вася загадал сумму 11, которую можно получить из комбинаций:

1) 5 и 6 ; 2) 6 и 5 . Вероятность этого события 2/36=1/18

1/12:1/18=1/12⋅18/1=18/12=3/2=1,5 .

Ответ: у Пети вероятность выиграть в полтора раза выше, чем у Васи

Задание 2.

Маша загадывает желание и подкидывает монетку несколько раз.

Она придумала правило: если монетка два раза покажет «орла», а потом два раза «решку», либо наоборот (сперва два раза «решку», потом два раза «орла»), то желание обязательно исполнится.

Какова вероятность того, что Машино гадание даст положительный ответ?

Подсказка: Рассмотри все комбинации, которые благоприятствуют событию.

Проверь себя

Рассмотрим все исходы при четырех бросаниях монеты.

Ω={OOOO, OOOP, OOPO, OOPP , OPOO, OPOP, OPPO, OPPP,

POOO, POOP, POPO, POPP, PPOO , PPOP, PPPO, PPPP}

Вероятность выпадения положительного исхода из четырех результатов ( OOPP или PPOO ) равна 2/16=1/8=0,125

Задание 3.

Миша узнал, что пароль от учетной записи его сестры Маши состоит из нулей и единиц и его длина равна пяти. Какова вероятность того, что Миша наугад подберет пароль?

Подсказка: В этой задаче следует в первую очередь искать не вероятность, а число всех возможных паролей. Считаем, что угадать — это подобрать пароль с первого раза.

Проверь себя

Рассмотрим пространство элементарных исходов опыта:

Ω={00000, 00001, 00010, 00011, 00100, 00101, 00110, 00111,

01000, 01001, 01010, 01011, 01100, 01101, 01110, 01111,

10000, 10001, 10010, 10011, 10100, 10101, 10110, 10111,

11000, 11001, 11010, 11011, 11100, 11101, 11110, 11111}

Всего различных исходов 32.

Из них подходящим будет только один.

Вероятность, что Миша наугад подберет пароль, равна 1/32=0,03125

Выводы

• Основные понятия теории вероятностей включают пространство элементарных событий, вероятность и независимые события.
• Эксперименты с монетой и игральной костью демонстрируют фундаментальные принципы теории вероятностей.
• Применение теории вероятностей широко распространено в науке, технике и повседневной жизни.