Урок 3. Случайные события. Вероятности и частоты

Случайные события. Вероятности и частоты.

Представь себе, что каждый день что‑то происходит непредсказуемо — от погоды до результатов броска кубика: именно такие неопределённости и изучает теория вероятностей.

Разберём, как отличать случайные события от закономерных, а также в чём разница между вероятностью и частотой появления события.

Что такое случайный опыт

Случайный опыт (или эксперимент) — это действие, результат которого заранее предсказать нельзя, но можно повторять много раз в похожих условиях.

Примеры:

• подбросить монету;
• вытащить билет на экзамене;
• проверить, загорится ли лампочка после включения.

Что такое случайное событие

Случайное событие — это какой‑то конкретный исход или набор исходов этого опыта.

Например, при подбрасывании монеты:

• «выпал орёл» — случайное событие;
• «выпала решка» — тоже случайное событие.

Бывает, что событие почти точно случится или почти точно не случится. Но пока мы не сделали опыт, мы не знаем наверняка.

Вероятность и частота: в чём разница

Вероятность — это теоретическая мера того, насколько событие возможно. Её считают заранее, исходя из условий опыта.

Пример: у правильной монеты два равновозможных исхода — орёл и решка. Вероятность «орла» равна ½ ​ или 0,5 (то есть 50 %).

Частота — это то, что мы реально видим, когда проводим опыты. Частота считается по формуле:

Пример. Ты подбросил монету 20 раз, и орёл выпал 12 раз. Тогда частота «орла»: 12/20=0,6 (или 60 %). Это не значит, что вероятность стала 60 % — это просто результат именно этой серии бросков.

Сходимость частоты к вероятности

Самое интересное: если повторять опыт много‑много раз, частота начинает «приближаться» к вероятности.

Представь, что ты продолжаешь бросать монету:

• первые 20 бросков: орёл выпал 12 раз → частота 60 %;
• следующие 80 бросков (всего 100): орёл выпал ещё 48 раз → всего 60 раз из 100 → частота 60 %;
• ещё 900 бросков (всего 1 000): допустим, орёл выпал примерно 500 раз → итого 560 из 1 000 → частота ≈ 56 %;
• если бросить 10 000 или 100 000 раз, частота будет всё ближе к 50 %.

Это и есть сходимость частоты к вероятности при увеличении числа опытов . Чем больше опытов, тем надёжнее частота отражает настоящую вероятность.

Маловероятные события

Маловероятное событие — такое, у которого вероятность очень маленькая. Например, 0,01(1 %) или 0,001 (0,1 %). Оно может случиться, но редко.

Примеры из жизни:

• выиграть в лотерею крупный приз;
• встретить на улице человека в точно таком же наряде, как у тебя;
• молния ударит в конкретное дерево.

Такие события бывают, но мы не рассчитываем на них в обычной жизни.

Практически достоверные события

Практически достоверное событие — наоборот, почти наверняка произойдёт. Его вероятность близка к 1 (например, 0,99 или 0,999).

Примеры:

• если ты вышел без зонта, а на небе тучи, скорее всего, пойдёт дождь;
• лампочка, которую только что купили в магазине, скорее всего, загорится при включении.

Учёт маловероятных или практически достоверных событий в реальной жизни

В природе и обществе мы постоянно опираемся на такие оценки:

• страховые компании учитывают маловероятные, но тяжёлые события (аварии, пожары) и поэтому берут страховые взносы;
• синоптики говорят «вероятность дождя 90 %» и мы берём зонт;
• инженеры делают мосты и здания с большим запасом прочности, чтобы даже маловероятная сильная нагрузка не привела к аварии.

Простой пример целиком

Допустим, в коробке 10 шариков: 7 белых и 3 чёрных. Ты наугад достаёшь один шарик, записываешь цвет и кладёшь обратно. Это случайный опыт.

• Вероятность вытащить чёрный шарик: 3/10=0,3 (30 %).
• Ты провёл 50 опытов и вытащил чёрный шарик 17 раз. Частота: 17/50=0,34 (34 %).
• Если провести 500 или 5 000 опытов, частота будет всё ближе к 30 %.

Мини-задача для тренировки

Представь, что в классе 25 человек. У каждого день рождения в какой‑то день года (в году 365 дней).

• Какова вероятность, что у случайно выбранного ученика день рождения 1 сентября? (Считай, что все дни равновероятны.)
• Если ты опросишь 25 учеников, обязательно ли найдётся кто‑то с днём рождения 1 сентября? Почему?
• Как изменится ситуация, если опросить 1 000 человек?

Зачем это нужно в реальной жизни

• Игры и лотереи. Понимание вероятностей помогает не обманываться красивыми обещаниями «гарантированного выигрыша».
• Медицина. Вероятность побочных эффектов лекарства помогает врачам и пациентам принимать решения.
• Транспорт и погода. Авиакомпании и службы доставки учитывают вероятность задержек из‑за погоды.
• Безопасность. Инженеры и проектировщики учитывают маловероятные, но опасные события, чтобы сделать конструкции надёжнее.

Рефлексия

• Приведи свой пример случайного опыта и случайного события в нём (не про монеты и кубики). Объясни, почему это именно случайное событие — почему нельзя точно предсказать его исход, но можно повторять опыт много раз.
• Представь, что ты 10 раз подбросил кубик, и шестёрка ни разу не выпала — частота равна 0. Значит ли это, что вероятность выпадения шестёрки тоже 0? Почему да или почему нет? Как изменится ситуация, если бросить кубик 1000 раз?
• Подумай про маловероятное и практически достоверное событие, которые важны в реальной жизни (например, про безопасность, погоду, медицину). Напиши по одному примеру и коротко объясни: почему на первое мы не рассчитываем, а второе учитываем при принятии решений.