Урок алгебры по теме "Теорема Виета"

Урок алгебры в 8 классе по теме «Теорема Виета»

Учитель: Акчурина Гульшат Рустямовна

Цели урока:

Образовательные: познакомиться с теоремой корней квадратного уравнения – теоремой Виета, научиться находить сумму и произведение корней по коэффициентам квадратного уравнения.

Коммуникативные: планировать общие способы работы.

Регулятивные: сличать способ и результат своих действий с заданным эталоном, обнаруживать отклонения и отличия от эталона.

Познавательные: структурировать знания.

УУД: формирование устойчивой мотивации к проблемно-поисковой деятельности.

Оборудование:

Интерактивная доска, компьютер, ,мультимедийный проектор, карточки для парной работы

Ход урока

I. Организационный момент. Психологический настрой. Слайд №1. (звучит музыка, учитель говорит под музыку)

«Развитие и образование ни одному человеку не могут быть даны или сообщены.

Всякий, кто желает к ним приобщиться, должен достигнуть этого собственной деятельностью, собственными силами, собственным напряжением»

А. Дистерверг.

Эти слова будут девизом нашего урока.

Какова тема урока, которую мы изучали на протяжении нескольких дней?

II. Актуализация опорных знаний.

1) Фронтальный опрос (Слайд №2)

1) Какие уравнения называют квадратными?

2) Как называются числа а, в, с в уравнении ах²+вх+с=0?

3) Как вычислить дискриминант квадратного уравнения?

4) Сколько корней имеет уравнение, если D0?

5) Какие уравнения называются неполными?

6) Какой коэффициент в уравнении ах²+вх=0 равен нулю?

7) Как решают уравнения вида ах²+вх=0?

8) Какой коэффициент в уравнении ах²+с=0 равен нулю?

9) Как решают уравнения вида ах²+с=0?

III. Изучение нового материала.

1) Создание проблемной ситуации.

У каждой пары на столе лежит карточка с НЕСКОЛЬКИМИ приведёнными квадратными уравнениями. Предлагаю каждой паре выбрать 1 уравнение и решить его. Смотрю на время. «Вы решали уравнение более 2 минут, а я могу, не решая, сразу назвать корни каждого уравнения». Представитель каждой команды называет уравнение, я говорю корни.

Учащиеся задают вопрос: «Как Вы это делаете?». Этим вопросом они ставят для себя проблему на уроке.

Дома вы должны были заполнить таблицу. Давайте проверим, как вы справились с этим заданием. (Учитель под диктовку учащихся заполняет таблицу) Слайд №3-15

2) Исследование возникшей проблемы.

Ребята, посмотрите внимательно на получившуюся таблицу. Какое предположение можно сделать?

- Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнений.

-Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

-Сформулируйте утверждение и заполните последнюю строчку таблицы. (Рассматривая сумму корней и второй коэффициент, а также их произведение и свободный член обучающиеся делают вывод). Слайд № 16-18.

Учитель: «Вы верно подметили, что в приведенном квадратном уравнении сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение-свободному члену. Но это предположение и оно верно для этих 4 уравнений, следовательно надо доказать, что оно верно для любого приведённого квадратного уравнения».

Значит цель нашего урока:

- определить ещё один способ нахождения корней квадратного уравнения;

- применять, найденный способ, для проверки корней квадратного уравнения.

Решить эти задачи поможет нам теорема Виета, с которой мы сегодня познакомились.

3) Доказательство выдвинутого учащимися предположения. Слайд № 19-27

Доказательство теоремы учителем, учащиеся работают в тетрадях.

Дано: х²+pх+q=0, х_1, и х_2- корни.

Доказать: х₁+х₂=-p; х₁х₂=q

Доказательство:

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение х²+pх+q=0, х_1, и х_2- корни.

Дискриминант этого уравнения D равен D=p²-4aq. Пусть D0.

Тогда это уравнение имеет два корня

,.

.

Итак, х₁+х₂=-p, х₁х₂=q

Если квадратное уравнение приведённое, то теорема Виета будет выглядеть так.

Слайд № 28

-А если не является приведённым квадратным уравнением, как она будет выглядеть?

Слайд № 29

Учитель: «Впервые такое же предположение сделал французский математик Франсуа Виет. Он первый, среди математиков, смог доказать это для любого приведённого квадратного уравнения. В его честь названа теорема, которую мы с вами сегодня сами доказали».

4) Доклад учащегося о жизни и деятельности Франсуа Виета: Слайд №30.

«Линейные уравнения научились решать более 3000лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад квадратные. Большой вклад в развитие математики, а именно уравнений внесли такие математики, как Фибоначчи, Диофант, Франсуа Виет, живший во Франции в 1540-1603 годах. Он произвёл целую революцию в алгебре – по существу создал новую алгебру. Виет придумал новый термин – коэффициент. Стал числовые коэффициенты обозначать согласными буквами, ввёл фигурные скобки, создал алгебраические формулы, обогатил приёмы решения уравнений. Имя Франсуа Виета чаще упоминается на уроках алгебры в связи сего известной теоремой о корнях уравнений, которая позволяет проверить правильность решения квадратных уравнений, а в простейших случаях устно находить корни.

Он ввёл общий по идее метод решения уравнений с первой по четвёртую степень. Но авторитет знаменитого математика усилился, когда на глазах короля и его свиты и многочисленных гостей нашёл корень уравнения 45-й степени!

В учёном мире его считают по праву отцом символической буквенной алгебры».

5) Обратная теорема. Учащиеся находят формулировку теоремы в учебнике.

-Справедливо утверждение, обратное теореме Виета. Слайд № 31

« Если числа х₁ и х₂ таковы, что их сумма равна –p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х²+pх+q=0»

Это утверждение позволило мне быстро подбирать целые корни квадратных уравнений, которые вы мне предложили в начале урока.

- Давайте решим вместе с вами уравнение и выполним его проверку по теореме, обратной теореме Виета (Слайд № 32-37)

х²+ 3х-40=0

D= 3²-4*(-40)=169

По формуле корней квадратного уравнения получаем

х₁=-8, х₂= 5.

Покажем, что корни уравнения найдены правильно. В уравнении х²+ 3х-40=0 , p=3,

а q= -40

х₁ + х₂=-3, х₁х₂= -40. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, эти числа являются корнями уравнения х²+ 3х-40=0

IV. Первичное закрепление. Слайд № 38-42

1. (Устно). Выберите среди данных уравнений приведенные:

a) 2х²+3х-1=0, 
б) х²-х-6=0, 
в) 3х²+5=0, 
г) х²+7х+6=0.

2. (Устно). Методом подбора найдите сумму и произведение корней уравнений:

a) х²+7х+6=0  (-6;-1)
б) х²-8х+12=0  (6;2)
в) х²-х-6=0 (3;-2)

3. (Письменно) Первые задания в каждом номере ученики выполняют с комментариями у доски, следующие самостоятельно

Проверьте, правильно ли найдены корни квадратного уравнения:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

V.Физкультминутка

VI. Применение знаний.

1.№ 581 (а,б)

2.583

3.№ 585

Найти: , зная, что .

Решение. , , .

, , .

Ответ: , .

VII. Подведение итогов. Рефлексия.

1) Ответьте на вопросы.

1) Какие уравнения мы сегодня рассматривали?

2) Чему равна сумма корней квадратного уравнения?

3) Чему равно произведение корней квадратного уравнения?

Слайд №43

-Ребята, скажите, какое из высказываний наиболее близко теме нашего урока?

«Математика является самой древней из всех наук, вместе с тем она остаётся вечно молодой». М.В. Келдыш.

«Ни одно человеческое исследование не может назваться истинной наукой, если оно не прошло через математические доказательства». Леонардо да Винчи.

«Умения пользоваться буквенными формулами необходимы почти каждому мастеру или квалифицированному рабочему». А.Н. Колмогоров.

2) Отгадай кроссворд. Слайд № 44-49

3) Рефлексия урока. Слайд № 50

Продолжите фразу:

“Сегодня на уроке я узнал...”;

“Сегодня на уроке я научился...”

“Сегодня на уроке я познакомился...”

“Сегодня на уроке я повторил ...”

“Сегодня на уроке я закрепил...”

Учащиеся сдают тетради, каждый получает оценку.

VIII. Домашнее задание Слайд № 51

Обязательно всем: Знать формулировку теоремы Виета.

№ 580,582(а-г), 597