Урок геометрии на тему "Сумма углов треугольника"

Предмет: геометрия

Класс: 7 класс

Тема урока: Сумма углов треугольника.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цели урока:

Обучающие:

• познакомить учащихся с доказательством теоремы о сумме углов треугольника;

• обобщить знания свойств и признаков параллельных прямых, смежных и вертикальных углов;

• продолжить работу по формированию навыка решения задач по готовым чертежам.

Развивающие:

• развивать математическую речь, умение выполнять сравнение, использовать элементы исследования.

Воспитательные:

• воспитывать творческую активность, культуру общения, интерес к предмету.

Оборудование урока:

• ноутбук;

• видео проектор;

• компьютерная презентация;

• чертёжные инструменты;

• карточки с заданиями;

• бумажные треугольники.

План урока:

1. Сообщение темы и постановка целей урока –

2. Актуализация знаний учащихся –

3. Изучение нового материала–

4. Закрепление изученного –

5. Подведение итогов урока, рефлексия –

6. Домашнее задание –

1. Начало урока. Организационный момент.

Учитель. Добрый день, ребята! Сегодня у нас необычный урок. К нам приехали гости со всего района. Поприветствуйте, пожалуйста, наших гостей улыбкой. Садитесь.

Ребята, у вас на столах лежат смайлики, выберите тот, который соответствует вашему настроению. - Как много улыбок засветилось. Спасибо! - А это моё настроение… Удачи вам! Слайд №1 Откладываем смайлики.

Девизом сегодня на уроке будут слова великого русского поэта А.С. Пушкина «Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии », Слайд №4 поэтому я уверена, что сегодня на уроке не будет наблюдателей и все будут активны.

В Атлантическом океане есть место, по форме напоминающее геометрическую фигуру, о которой мы сегодня будем говорить. Это место, расположенное между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико, полуостровом Флорида и называется “бермудским треугольником”. А ещё его называют “дьявольский треугольник”, “треугольник проклятых”. Загадочность его заключается в том, что в нём бесследно исчезают корабли и самолёты. Природа “бермудского треугольника” остаётся тайной и по сей день. Слайд №5 Ещё один общеизвестный треугольник – это «невозможный треугольник». Который увековечен в виде скульптуры в д. Опховен, Бельгия. Слайд №6 И треугольник Пенроуза в городе Перт, Австралия. Слайд №7

Но мы с Вами поговорим о ВОЗМОЖНЫХ треугольниках. Слайд №8

В старших классах каждый школьник Изучает треугольник. Три каких-то уголка, А работы на века.

(Учитель держит в руках треугольник) 

И опять треугольник! Треугольник в геометрии играет особую роль. Без преувеличения можно сказать, что вся или почти вся геометрия строится на треугольнике. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о геометрии треугольника как о самостоятельном разделе геометрии. (История геометрии) Слайды №9 и №10

С треугольником связано очень много теорем, много свойств, много утверждений. О треугольнике мы уже многое знаем, но тем не менее тема нашего урока связана с тем утверждением о треугольнике, которое мы пока ещё не знаем и сегодня нам с вами предстоит его разгадать.

Давайте сначала вспомним те утверждения, свойства и теоремы, которые связаны с треугольником и мы знаем уже ответы на них.

Итак, что же такое треугольник? Слайд №8

(треугольник - это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и отрезками, попарно соединяющими эти точки.)

Какой треугольник называется остроугольным? Какой треугольник называется прямоугольным? Какой треугольник называется тупоугольным? Какой треугольник называется равнобедренным?

Когда мы с вами берем в руки треугольник ( а у вас на столах есть треугольники и они все разные), мы можем что-нибудь сказать про эти треугольники? Какие они? Равнобедренные, остроугольные, тупоугольные? (ответы учащихся)

А чтобы быть уверенными и ответить точно на мой вопрос, что необходимо сделать? (измерить углы треугольника).

Если мы измерим углы треугольника, что мы можем узнать? (вид треугольника).

А если я измерю стороны треугольника, на какой вопрос я могу ответить? (равнобедренный или равносторонний треугольник).

Зная длины всех сторон треугольника, какой ещё я могу задать вам вопрос, чтобы вы смогли мне на него ответить? (узнать периметр треугольника).

Значит, зная длины всех сторон треугольника, мы можем ответить на вопрос: как найти периметр треугольника и чему равен периметр этого треугольника.

Скажите, пожалуйста, а что ещё можно было бы узнать глядя на этот треугольник и измеряя его элементы? Что мы можем измерить в треугольнике? (мы можем измерить стороны и углы треугольника). Кстати, чем мы будем измерять стороны треугольника? А углы? Вот измерили стороны треугольника и вы мне сказали, что зная длины сторон можно ответить на вопрос: как найти периметр треугольника? А какую ещё величину можно найти в треугольнике? (сумму всех углов треугольника)

Мы с вами никогда ещё не находили сумму углов треугольника, у нас не было необходимости её находить. Давайте сегодня этим и займёмся. Значит, тема сегодняшнего урока …? ( Сумма углов треугольника).

Слайд №11

Откройте тетради, запишите число, классная работа. Запишем тему в тетрадь. А как можно найти сумму углов треугольника? (измерив углы треугольника транспортиром и сложив их градусные меры).

Практическая работа №1 (работа в паре) Слайд №12 Работаем в парах. Ваша задача не только самому выполнить задание, но и помочь, и объяснить другу по парте, если у него возникли затруднения.

Строим в своих тетрадях произвольный треугольник. Треугольник может быть любым, какой вам понравится. У кого треугольник готов? Что мы договорились сделать? Измерить углы и найти их сумму. Обозначаем треугольник. Треугольник обозначается тремя большими буквами. Измеряем углы, записываем в тетрадь результаты и находим сумму углов треугольника. Кто готов ответить на мой вопрос: чему равна сумма углов треугольника? (ответы уч-ся). Вам не кажется, что мы крутимся около какой-то одной величины? (все суммы близки к 180º). Чем объясняется небольшое различие? Тем ли что нет никакой закономерности, или тем, что закономерность есть, но нашими инструментами мы не можем установить её с достаточной точностью?

Проведём ещё одно исследование. Слайд №13 Практическая работа №2 (работа в паре).

Мы с вами сейчас рассмотрим непосредственно треугольник. У каждого из вас на столах есть треугольники. Все они различные. В этом треугольнике, как и во всех остальных, три угла. Не жалея треугольник отрываем от него сначала один уголочек, потом второй и у нас остается третий. На партах у вас должен получиться такой конструктор из трёх уголков треугольника. Сложим все уголки треугольника друг к другу вместе так, чтобы вершины совпали. А ничего вам это не напоминает? (развернутый угол).

Правильно, все 3 угла треугольника, когда мы их сложили, то в сумме это дало развёрнутый угол. А что такое – развёрнутый угол? (это угол, градусная мера которого равна 180⁰). Какой вывод можно сделать? (Что сумма углов треугольника равна 180⁰).

Слайд №14

- Выполнив практическую работу, мы установили, что сумма углов треугольника равна 180 градусов. -Можно ли быть уверенным в том, что в каждом треугольнике сумма углов равна 180⁰? (нет) - Всегда ли можно измерить углы треугольника? (нет)

В математике практическая работа дает возможность лишь сделать какое-то утверждение – гипотезу. Чтобы она стала истиной, её нужно доказать, убедиться, что она справедлива для любого треугольника. Слайд № 15 (история геометрии)

Как называется утверждение, справедливость которого устанавливается с помощью доказательства? (Утверждение, справедливость которого устанавливается путем доказательства, называется теоремой.)

- Какую теорему нам нужно доказать?

Сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Доказательство теоремы. Слайд №17

Записываем в тетради:

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180⁰ .

Доказательство этой теоремы весьма строгое и красивое. Чтобы её доказать, рассмотрим произвольный треугольник АВС.

Дано: АВС;

Доказать: ⁰ .

Откуда взялась эта величина: 180⁰ ? (это величина развернутого угла). В геометрии мы впервые столкнулись с величиной 180⁰ в аксиоме измерения углов – это величина развернутого угла. (Аксиома: Каждый угол имеет определённую градусную меру, большую нуля. Развёрнутый угол равен 180⁰ . Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.) В этой теореме сумма углов треугольника сравнивается с величиной развернутого угла. Мы проведём доказательство, выполнив именно такое сравнение и опираться мы будем на уже известные вам факты: аксиомы и свойства параллельных прямых. Вспомним аксиому параллельных прямых. ( Аксиома: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной).

У АВС есть 3 вершины и значит у нас есть 3 точки А, В, С и через любую вершину можно провести прямую, параллельную противолежащей стороне. Проведём такую прямую, например, через точку А. Назовём её: КТ. КТ//ВС. Рассмотрим вершину треугольника - точку А. Точка А – вершина 180⁰ . Лучи АВ и АС делят ⁰ = ⁰ . ч.т.д

Назад, в историю! Слайд №18

Свойство суммы углов треугольника было установлено еще в Древнем Египте. Доказательство, изложенное в современных учебниках, содержится в комментариях Прокла к «Началам» Евклида. Прокл утверждает, что это доказательство было открыто пифагорийцами (5 в. до н. э.).

Прокл пишет: «Пифагор впервые разработал принципы геометрии».

В первой книге «Начал» Евклид излагает другое доказательство теоремы о сумме углов треугольника, которое легко понять при помощи чертежа.

Слайд №19

А так доказывают теорему о сумме углов треугольника в школах Японии.

Физминутка Слайд № 20-24

Итак мы доказали теорему. О чем она говорит? (сумма углов треугольника равна 180⁰)

Доказав теорему, мы уверены в том, что сумма углов треугольника действительно равна 180⁰ . Поэтому мы можем применять её для решения задач.

Слайд № 25

Самостоятельная работа-тест ( карточки на столах) с дальнейшей коллективной проверкой в классе. (самопроверка)

Итоги:5 вопросов-«5»; 4 вопроса –«4»; 3 вопроса- «3».

Рефлексия (смайлики).

Оцените свои силы: на партах у вас лежат смайлики. Кто считает, что хорошо усвоил теорему, поднимаем улыбающийся смайлик.

Теорема о сумме углов треугольника - вычислительная теорема. С её помощью можно решить многие задачи, в которых надо вычислить величину угла треугольника. Некоторые задачи самые простые: найти неизвестный угол, если известны два других угла.

Работа по готовым чертежам (устно) Слайды № 26-28 1. Найти неизвестный угол треугольника, если два других угла равны 60⁰ и 45⁰ . 2. Найти неизвестный угол треугольника, если два других угла равны 35⁰ и 35⁰ . 3. Найти неизвестный угол треугольника, если два других угла равны 90⁰ и 30⁰

"Нельзя изучать математику, глядя, как это делает сосед" (А. Нивен) Слайд № 29

Самостоятельная работа. Слайды № 30-32 (взаимопроверка по эталону на экране)

Рефлексия.

Поднимите смайлик. Кто доволен своей оценкой? Кто не очень?

Решение задач на доске

Задача №1 Найти углы треугольника, если один из них в 3 раза меньше второго и на 35⁰ меньше третьего.

Дано: ⁰ . Найти: Решение: Для решения этой задачи необходимо составить уравнение. Решим её. Пусть ⁰ . Тогда ⁰; ⁰ +30⁰ . Теорема о сумме углов треугольника позволяет нам составить уравнение. Сложим градусные меры углов и приравняем эту сумму к 180⁰ . х+3 х +х +30 =180. Получили линейное уравнение. А вот решить его тебе помогут навыки, приобретенные на уроках алгебры. Не забывай, что геометрия и алгебра - это математические дисциплины и поэтому они часто пересекаются. Геометрия использует аппарат, разработанный алгеброй и, в свою очередь, алгебра иллюстрирована примерами геометрических задач. 5х+30=180; 5х =180-30; 5х=150; х=150:5; х=30. Значит ⁰; ^. 30⁰ =90⁰; ⁰ +30⁰=60⁰ . Проверим, используя теорему о сумме углов треугольника: 30⁰ +90⁰+60⁰ =180⁰ . Ответ: 30⁰; 90⁰; 60⁰ .

Задача №2. Найти углы треугольника, если они относятся как 2:6:10.

Дано: АВС; Найти: Решение: Пусть 1 часть = х⁰ ; тогда ⁰; ⁰; ⁰ . Составим и решим уравнение: 2х + 6х +10х=180; 18х=180; х=10. ⁰ = 20⁰; ⁰= 60⁰; ⁰ =100⁰. Ответ: 20⁰; 60⁰; 100⁰.

Задача №3. (Это задача – теорема. Она не носит вычислительного характера, это задача, в которой надо доказать.)

Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме двух других углов, то этот треугольник – прямоугольный.

Дано: АВС; Доказать: АВС – прямоугольный; Доказательство: По теореме о сумме углов треугольника: ⁰ . По условию: =180⁰ ; 2* =180⁰ ; =180⁰ : 2; ⁰ = АВС – прямоугольный.