Урок геометрии в 7 классе по теме "Биссектрисы, медианы и высоты треугольника"

Урок геометрии в 7-м классе по теме "Биссектрисы, медианы и высоты треугольника"

Цели урока:

• Образовательные: вывести понятие биссектрисы, высоты, медианы треугольника, перпендикуляра к прямой, сформулировать и доказать теорему о единственности перпендикуляра к прямой, рассмотреть замечательные свойства треугольника.

• Развивающая: сознательное восприятие учебного материала.

• Воспитательная: воспитывать познавательную активность, культуру общения.

Методы: репродуктивный, частично-поисковый.

Формы: фронтальная, групповая, парная, индивидуальная.

Оборудование: тексты учебника, ребусы, транспортир, треугольник, опорный конспект, плакат с заданиями, линейка.

Ход урока:

I. Орг.момент.

Учитель: Ребята! Сегодня, на уроке, каждый из вас проведет небольшое исследование, сделает выводы, составит опорный конспект по изученному материалу. Каждый из вас пройдет своим путем. Один будет путешествовать по сказке, другой – с листом бумаги, а третий – с учебником геометрии. Вам предстоит познакомиться с новыми для вас понятиями, отгадать следующую загадку.

Нас три в треугольнике любом
Предпочитая золотые середины,
Мы центр тяжести встречаем на пути
Ведущем прямо из вершины.
Как называют нас?

Что за понятия, вы узнаете, если разгадаете следующие ребусы. рис.1-4 Приложение

Ученики дают ответы: перпендикуляр, биссектриса, высота, медиана. Записывают тему урока.

II. Актуализация прежних знаний.

Учитель: Но прежде чем начать исследование, повторим необходимые нам сведения.

Ребята делятся на группы (одни работают в парах, другие - письменно отвечают на вопросы, третьи – фронтально).

Задание:

• Какие углы называются смежными?

• Среди углов, изображенных на рисунке, найдите все смежные углы и запишите их номера. рис. 5 Приложение

• Сформулируйте теорему о смежных углах.

• Сформулируйте I признак равенства треугольников

• Докажите равенство треугольников ABD и ACD рис.6 Приложение

• Что называется биссектрисой угла.

 Те, кто работал письменно, сдают ответы учителю, в парах - друг другу выставляют отметки, фронтально – учитель оценивает ответы.

А теперь приступаем к исследованию. 1 группа получает следующий текст с элементами сказки:

Царь:

К нам на утренний рассол 
Прибыл англицкий посол.
А у нас здесь интереса
Словно в думе разносол.
Снаряжайся, братец, в путь
И чудес нам раздобудь.
Трех сестер из заграницы
Нам доставить не забудь:
Медиану, Высоту,
Биссектрису – красоту.
Если ты мне их доставишь,
Я тебя вознагражу.
Не смогёшь - кого винить?
Я велю тебя казнить
Государственное дело!
Ты улавливаешь нить?

Федот:

Нечто я, да не пойму,
При моем-то при уму, 
Чай не лаптем щи хлебаю,
Соображаю что к чему.
Получается, в стране
Вся политика на мне.
Не добуду трех царевен –
Беспременно быть войне.
Чтобы англицкий посол
Да со скуки не был зол,
Головы не пожалею,
Обеспечу разносол.

Царь:

Расскажи, Федот, для нас
Ты какой-нибудь рассказ.

Федот:

Рассказать тебе я рад
Про прямую, точку и перпендикуляр.
Когда из точки вне прямой
Его опустят на прямую под прямым углом
И проведут наклонную любую
Из этой же точки
Тогда, докажет всякий школьник без труда,
Что он всегда короче, чем наклонная любая
Гордится изрядно он тем,
Что из точки, не лежащий на прямой
Можно провести его к прямой,
И причем только один
В этом особенность его.
Входят три сестры.

Медиана: Слушай, Биссектриса, давай, познакомимся. Расскажи мне о себе, а я тебе расскажу о себе.

Биссектриса: Хорошо, добрая Медиана. Я тоже этого хотела. Словно ты прочитала мои мысли. Я отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Высота: А я слыхала, Биссектриса, что если вас трое в треугольнике, то вы пересекаетесь в одной точке. Правда ли это?

Биссектриса: Правда, правда. Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности. А теперь ты, Медиана, расскажи о себе.

Медиана: Прежде всего, как вы уже знаете, я – отрезок, только ни любой. А такой, один конец которого совпадает с вершиной треугольника, а другой является серединой противолежащей стороны. Я долго думала, почему это люди обратили на меня внимание, что это я за важная птица, чтобы мне имя дать, да такое симпатичное! Медиана. Мало ли отрезков с концами в вершине треугольника да на противолежащей стороне? А вот выделили меня, вместе с биссектрисой и высотой треугольника. Ну их, конечно, удостоили специальных званий по заслугам: одну – за равенство углов, другую – за прямой угол. А меня, что же выходит, за середину стороны? Может и так. Но думаю, не только за это.

Высота: А за что же ещё? Расскажи.

Биссектриса: Да, расскажи!

Медиана: Дело в том, что сейчас я на время выйду из геометрии в физику. Ведь вы кое-что знаете о физике?

Биссектриса и медиана: (вместе). Да, конечно, кое-что знаем.

Медиана: Ну, тогда слушайте. Сидим мы как-то вечером. Мы – это три медианы одного треугольника. Вдруг слышим чей-то бас:

- Уважаемые мои медианы, позвольте с вами познакомиться. Я тоже связан с вами тремя.

- Кто ты такой? Как тебя зовут?

А он:

- Я являюсь точкой вашего пересечения, но этого мало, я – центр тяжести вашего треугольника.

Биссектриса: Да, точка пересечения медиан треугольника обладает поистинне удивительным свойством. Для физиков, механиков, инженеров это просто находка. За одно это можно было дать тебе имя, дорогая Медиана.

Высота: А я читала в учебнике геометрии, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке в отношении 2:1, считая от вершины. А теперь прошу послушать и меня тоже. Я расскажу совсем немного. Я – высота треугольника .Что такое высота ? Это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Поскольку перпендикуляр является отрезком, то и высота треугольника – отрезок. В этом отношении я схожа с тобой, Медиана, и с Биссектрисой треугольника. Мы тоже пересекаемся в одной точке.

2 группа учащихся работает с листом бумаги по пособию «Геометрия листа бумаги» Белим С. Н..

Перпендикуляр к прямой

Проведём произвольную прямую а. рис.7 Приложение

Возьмём произвольную точку М и проведём прямую МК а. Сколько таких прямых можно провести?

Вывод: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. рис.8 Приложение

Математическое обоснование.

Проведём прямую ВС. Отметим точку А, не принадлежащую прямой ВС.

1. Перегнём по прямой ВС. рис.9 Приложение

2.Точка А совпадает с точкой Р. Проведём прямую ВА. Отметим точку М ВР. Раскроем. рис.10Приложение

3. Получили 1=2, 3=4. рис.11 Приложение

Так как 1=2, а они смежные, то 1=2=90°, значит ВСАР. 3=4=90° (так как 1 и 2 смежные), следовательно, МКВС. Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются, следовательно, перпендикуляр один

Биссектрисы треугольника.

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

1. С помощью сгибов построим биссектрисы в остроугольном треугольнике.

1.1. Строим биссектрису угла С. Совместим прямые АС и ВС. рис.12 Приложение

1.2. Строим биссектрису угла В. Совместим прямые АВ и ВС. рис.13 Приложение

1.3. Строим биссектрису угла А. Совместим прямые АВ и АС. рис.14 Приложение

1.4. Все биссектрисы пересеклись в одной точке О. рис.15 Приложение

2. С помощью сгибов построим биссектрисы в тупоугольном треугольнике. рис.16 Приложение

3. С помощью сгибов построим биссектрисы в прямоугольном треугольнике. рис.17 Приложение

Вывод: Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Медианы треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны – медиана.

1. Построим медианы в остроугольном треугольнике с помощью сгибов.

1.1. Наметим середину стороны АС – точку К. Проведём ВК. рис.18 Приложение

1.2. Наметим середину стороны ВС, проведём медиану АМ. рис.19 Приложение

1.3. Наметим середину стороны АВ, проведём медиану СР. рис.20 Приложение

1.4. Все три медианы пересеклись в одной точке О. рис.21 Приложение

2. С помощью сгибов построим медианы в тупоугольном треугольнике.

2.1. Наметим середину стороны АС. Проведём ВК. рис.22 Приложение

2.2. Наметим середину стороны ВС. Проведём медиану АР. рис.23 Приложение

2.3. Наметим середину стороны АВ, проведём медиану СМ рис.24 Приложение

2.4. Все три медианы пересеклись в одной точке О рис.25 Приложение

3. С помощью сгибов проведём медианы в прямоугольном треугольнике.

3.1. Наметим середину стороны ВС. Проведём АР рис.26 Приложение

3.2. Наметим середину стороны АС, проведём медиану ВК рис.27 Приложение

3.3. Наметим середину стороны АВ, проведём медиану ВМ рис.28 Приложение

3.4. Все три медианы пересеклись в одной точке рис.29 Приложение

Вывод: Медианы в треугольнике пересекаются в одной точке(точка лежит в плоскости треугольника).

Высоты треугольника

Высота треугольника – перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

1. С помощью сгибов проведём высоты в остроугольном треугольнике.

1.1. Проведём ВКАС. рис.30 Приложение

1.2. Проведём АРВС рис.31 Приложение

1.3. Проведём СМАВ рис.32 Приложение

1.4. Все высоты пересеклись в одной точке О рис.33 Приложение

2. С помощью сгибов проведём высоты в тупоугольном треугольнике.

2.1. Проведём высоту СК, основание высоты лежит на продолжении АВ. рис.34 Приложение

2.2. Проведём АНВС, основание перпендикуляра будет лежать на продолжении стороны ВС. рис.35 Приложение

2.3. Проведём ВМАС. рис.36 Приложение

2.4. Продолжения высот пересекутся в одной точке О. рис.37 Приложение

3. С помощью сгибов проведём высоты в прямоугольном треугольнике.

3.1. Проведём АКВС, САВА. (по условию), ВААС (по условию) рис.38 Приложение

3.2. Высоты пересекаются в одной точке А рис.39 Приложение

Вывод: Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

3 группа работает по учебнику «Геометрия 7-9» Атанасяна, стр.31-33.

В результате составляют опорный конспект с использованием №101-103 (учебник Атанасяна, стр.35) в тетрадях теории рис.40 Приложение

На откидной стороне доски один ученик решает задание №105(а) по учебнику «Геометрия 7-9»,стр.35, остальные – в тетрадях, затем – взаимопроверка с выставлением оценок.

Итог урока: Отвечают на вопрос загадки. Один ученик (по желанию) устно воспроизводит конспект (по плакату).

Домашнее задание: п.16,17, конспект, №106