Урок на тему: "Многогранники"

Многогранники

10 класс. Геометрия

Урок 1

Определение и виды многогранников

Многогранники

Цель урока

• Сформулируй для себя цели сегодняшнего урока.

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Все вокруг - геометрия»

Ле Корбюзье

Для общего развития Посмотри в интернете, кто такой Ле Корбюзье

Многоугольником называется плоская фигура, ограниченная отрезками прямых

По аналогии, многогранник можно определить как часть пространства, ограниченную плоскими многоугольниками

Хочу добавки

• Если данного объяснения тебе недостаточно, посмотри короткий видео-урок по ссылке
• https://resh.edu.ru/subject/lesson/6018/main/221554 /
• В этой же ссылке для закрепления темы можно пройти тренировочные задания

• Многогранником

называется тело,

поверхность которого

состоит из конечного

числа многоугольников,

называемых гранями.

• Стороны и вершины этих многоугольников

называются ребрами и вершинами .

Ученикам показаны различные модели многогранников.

Что такое многогранник? Попробуйте сами сформулировать определение.

Как бы вы дали определение грани, ребра, вершины, диагонали многогранника.

• Отрезки, соединяющие вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называются диагоналями.

многогранники

Однородные

выпуклые

Однородные невыпуклые

Тела

Невыпуклые

призмы и

Архимеда

антипризмы

Тела

Тела

Платона

Кеплера-

Пуансо

Невыпуклые

полуправильные

однородные

многогранники

Выпуклые

призмы и

антипризмы

Правильные многогранники

Правильными многогранниками называют выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причём грани – правильные многоугольники одного типа

Гексаэдр

Икосаэдр

Тетраэдр

Додекаэдр

Октаэдр

Архимедовы тела

Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани – правильные многоугольники нескольких типов

тела Архимеда

Выпуклые призмы и антипризмы

Тела Кеплера-Пуансо

Невыпуклые полуправильные однородные многогранники

Невыпуклые призмы и антипризмы

Домашнее задание

• Подготовить выступление на 2 минуты по одной из тем. Учитывается наличие не менее двух источников, наглядность, практическая значимость, способность заинтересовать слушателей

• 1. Архимедовы тела

• 2. Тела Кеплера _ Пуансо

• 3. Призмы и антипризмы

Призма.

Урок 2

Цель

• Изучить понятие призмы, различать прямую и наклонную призму
• Вывести формулу боковой и общей площади поверхности призмы
• Прорешать несколько задач по теме «Призма»
• Самостоятельно решить задачи для закрепления материала

План

• Просмотреть презентацию, делая записи в тетради
• Выучить определение призмы, выучить формулу
• Начертить треугольную и пятиугольную прямую призму
• Разобрать решения предложенных задач, делая записи в тетради
• Решить задачи 221,227

вы

с

ота

н

а

к

л

о

н

н

а

я

Призма

Многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.

п

р

я

м

а

я

• Два равных многоугольника называют основаниями призмы

Как найти полную поверхность призмы? Боковую?

• Параллелограммы называют

боковыми гранями призмы

• Перпендикуляр, проведенный из вершины одного

основания к плоскости другого основания называют

высотой.

9

Изображение призмы с данным многоугольником в основании:

• Построить один из многоугольников основания
• провести из вершин многоугольника параллельные прямые

• отложить на них равные отрезки

• соединить их концы в той же последовательности, как и на заданном основании, невидимые рёбра проводя пунктиром

призма

A1 A2…. An В1 В2….. Вn – n-угольная призма

Вn

В1

В2

основания

боковая грань

An

высота

A1

A2

боковое ребро

Площадь поверхности призмы

Sбок. + 2Sосн

Sполн. =

h

b

a

Площадью поверхности многогранника называют сумму всех площадей его граней. При вычислении площади боковой поверхности не учитывают величину оснований.

9

Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту

Дано: прямая призма h – высота а 1, а 2,… а n -стороны основания P – периметр основания

Доказать: Sбок = P*h

Доказательство:

S бок = S 1+ S 2+……+ S n =

=а 1* h+а 2* h+…..+ а n* h =

=h ( a1+a2+…+ an)= P*h

h

аn

а1

а2

План

• Просмотреть презентацию, делая записи в тетради
• Выучить определение призмы, выучить формулу
• Начертить треугольную и пятиугольную прямую призму
• Разобрать решения предложенных задач, делая записи в тетради
• Решить задачи 221,227

Решение задач

Задача 1 (заполни пропуски самостоятельно)

Дано: ABCA1B1C1 – прямая треугольная призма

АС = ВС = 13 см, АВ = 24 см. НН1С1С – квадрат – наименьшее сечение призмы, проходящее через боковое ребро. Найти Sполн.

Решение : Треугольник АВС – равнобедренный, СН – высота (наименьшую площадь сечение будет иметь, если СН – перпендикуляр). ВН =24: 2( высота является медианой) По т. Пифагора найдём СН: СН = СС1=5 (т.к. сечение – квадрат). Sполн. = Sбок. + 2Sосн. Sбок.=P*h=(AC+BC+AB)*CC1=(13+13+24)*5=... Sосн.=1/2АВ*СН=…=

Sполн. = Sбок. + 2Sосн.=…=370 см2

Решение задач

Задача 2.

Дана правильная пятиугольная призма, все рёбра которой равны. Sбок. = 80 см2 Найти высоту призмы.

Дано: (заполни самостоятельно)

Решение: В основании призмы – правильный пятиугольник, пусть каждая его сторона равна а , значит площадь боковой поверхности призмы равна Sбок.=Р*h= 5а*h. Но по условию все рёбра равны, значит а =h. Отсюда Sбок. = 5а*а=80, следовательно а*а=16, а=4. Значит и h=4 см

Решение задач

Задача 3

Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона его основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Дано : (запиши самостоятельно)

Решение : Sполн.=Sбок.+2Sосн.

В основании правильной призмы лежит квадрат, т.е. Sосн.=20*20=400

S бок.=Р*h=4*20*h

Sполн.=Sбок.+2Sосн.=…а это равно 1760. Составим и решим уравнение:

(продолжи решение самостоятельно)

Чертёж сделай самостоятельно

Тренировочные упражнения

• № 221, 227

Домашнее задание

• Сделай макет призмы(на 3-из бумаги, на 4-5 из интересного материала)
• Фотографию классной работы и призмы выслать на ПОЧТУ с указанием в теме письма названия и даты работы

Пирамида

Урок 3

Решите задачи 1 и 2 в тетради

Повторение

Задачка 1

•   Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб с диагоналями 1,6 дм и 3 дм, боковое ребро призмы равно 10 дм. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Задачка 2

• Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро - 6 см. Найдите Sсеч, проходящего через сторону верхнего основания и противолежащую вершину нижнего основания.

А1

С1

В1

6

А

С

8

В

План решения:

1)Найти сторону ВС1

2) Найти высоту ВМ

3) Вычислить площадь треугольника.

Если владеешь формулой Герона, можно на втором этапе найти площадь треугольника

Новый материал

Цель

• Изучить понятие пирамиды, различать прямую и наклонную пирамиду
• Вывести формулу боковой и общей площади поверхности пирамиды
• Прорешать несколько задач по теме «Пирамида»
• Самостоятельно решить задачи для закрепления материала

План

• Просмотреть презентацию, делая записи в тетради
• Выучить определение пирамиды, выучить формулу боковой поверхности правильной пирамиды
• Начертить треугольную и пятиугольную пирамиду
• Разобрать решения предложенных задач, делая записи в тетради
• Решить задачи

Пирамида

Многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника и треугольников, имеющих общую вершину

Р

Н

• Многоугольник называют основанием пирамиды

• Треугольники называют боковыми гранями

Попробуйте сформулировать определение пирамиды и ее элементов. Как найти ее площадь? Что такое правильная пирамида? С чем совпадает основание ее высоты? Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?

Попробуйте сформулировать определение пирамиды и ее элементов. Как найти ее площадь? Что такое правильная пирамида? С чем совпадает основание ее высоты? Как найти площадь боковой поверхности пирамиды?

• Общую вершину называют вершиной пирамиды

• Перпендикуляр РН называют высотой

9

Изображение пирамиды:

• Начертить многоугольник основания пирамиды

• Выбрать точку, не принадлежащую основанию – точку вершины пирамиды
• Соединить каждую вершину основания с точкой, изображающей вершину пирамиды

В случае прямой пирамиды

• высота изображается

вертикальным отрезком

• основание высоты является центром окружности, описанной около основания

Пирамида (наклонная)

вершина

боковое ребро

P

боковая

грань

A2

An

высота

A1

PA1 A2…. An–

n-угольная пирамида

основание

Sполн =Sбок + Sосн

Правильная пирамида

P

Все ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками

апофема

h

An

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой

R

A1

О

E

A2

Теорема: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему

Дано: правильная пирамида h – высота а 1, а 2,… а n -стороны основания P – периметр основания d-апофема Доказать: Sбок = 1\2 P*d

Доказательство:

S бок = S 1+ S 2+……+ S n =

=1\2а 1* d+1\2а 2* d+…..1\2а n* d =

=1\2P*d

h

аn

d

а1

а2

Усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой

Боковые грани усеченной пирамиды- трапеции

высота

P

основания

A2

Sбок = 1\2 P1*P2*d P1;P2-периметры оснований, d-апофема

An

A1

Может пригодиться

Площадь правильного многоугольника

Сторона правильного многоугольника

Радиус вписанной окружности

Реши задачи в тетради

Отработка нового материала

Задачка 3

• Основание пирамиды- параллелограмм со сторонами 6 см и 8 см, высота пирамиды- 12 см, а все боковые ребра равны между собой. Найдите длину бокового ребра.

Задачка 3

• Дано: FABCD- прямая четырёхугольная пирамида. АВ=6, АD=8, FO = 12, FA = FD=FD=FC
• Найти: FA
• Решение: О – точка пересечения диагоналей параллелограмма, из равенства боковых рёбер(они являются наклонными из одной точки) следует равенство отрезков ВО=ОС=OD=OA (равны наклонные, значит равны проекции). Таким образом ABCD - прямоугольник, т.к. диагонали равны. Дальше – дело техники. Найдите диагональ АС по теореме Пифагора из треугольника АВС. Затем, сторону FA из треугольника AFO. Доведи решение до конца.

Задачка 4

• Сторона основания правильной треугольной пирамиды 6 см, а боковое ребро 4 см. Найдите высоту пирамиды и апофему.

Задачка 4

• Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида. АВ = 6см, РВ = 4см.
• Найти: PO, PH
• Решение: АВС – равносторонний треугольник по условию. Воспользуемся формулой стороны правильного многоугольника, где n=3. отсюда R =. СО- радиус описанной окружности, значит CO = Дальше найди РО из треугольника СРО по т. Пифагора. РН можно найти из равнобедренного треугольника АРВ. Закончи решение

Задачка 5

• Запиши Дано, найти, решение

• Стороны оснований правильной усеченной четырехугольной пирамиды равны 2 м и 8 м. Боковое ребро равно 5 м. Найдите высоту пирамиды.

Домашнее задание

• Выучить все определения
• Сделать макет пирамиды, усечённой пирамиды по мотивам задач урока
• Фотографии фигур и решения задач выслать на почту учителю

[email protected] c указанием в теме письма названия работы