Урок по геометрии «Синус, косинус и тангенс угла»

Деятельность учителя

Деятельность учащегося

Организационный момент.

Здравствуйте! Садитесь.

Актуализация знаний

Откройте тетради, записываем тему нашего урока: «Синус, косинус и тангенс угла».

1.Вы уже встречались с этими понятиями?

2. Что называют синусом острого угла в прямоугольном треугольнике?

3. Что называют косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике?

4. Что называют тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике?

1. да

2. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

3.Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

4. Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Изучение нового материала

Мы вспомнили, что является синусом, косинусом и тангенсом угла в прямоугольном треугольнике. Теперь мы познакомимся с этими понятиями в независимости от фигуры, в которой они находятся.

Введем прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром в начале координат. Данная полуокружность называется единичной. Запишите определение:

Полуокружность называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус равен 1.

Из точки О проведем луч h , пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначим  угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если луч h совпадает с положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что  = 0 . Обозначим точки пересечения полуокружности с осями, как А, B, C и найдем их координаты.

Если угол  острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем, sin  = , a cos  = .

Но OM = 1, MD это ордината, OD - абсцисса (MD = y, OD = x), поэтому sin  = y, cos  = x. (*)

Итак, синус острого угла  равен ординате у точки М, а косинус угла  - абсциссе х точки М.

Если угол  прямой, тупой или развернутый, это углы AOC, AON и AOB или  = 0 , то синус и косинус угла  также определим по формулам (*).

Таким образом, запишем: для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 синусом угла  называется ордината у точки М, косинусом угла  - абсцисса х точки М.

Так как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0 ≤ у ≤ 1, - 1 ≤ х ≤ 1, то для любого  из промежутка 0 ≤  ≤ 180 справедливы неравенства:

0 ≤ sin  ≤ 1, - 1≤ cos  ≤ 1

А теперь найдем значения синуса и косинуса и тангенса для углов 0, 90 и 180. Для этого рассмотрим лучи OA, OC и OB, соответствующие этим углам. Так как точки А, С и B имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то

Sin 0 = 0, sin 90 = 1, sin 180 = 0, cos 0 = 1, cos 90 = 0, cos 180 = - 1. Так как tg = , то при  = 90 тангенс угла  не определен, так как cos 90 = 0 знаменатель обращается в нуль. tg 0  = 0, tg 180  = 0.

Теперь мы познакомимся с вами с основным тригонометрическим тождеством. Запишите заголовок в тетради: «Основное тригонометрическое тождество».

Вспоминаем уравнение окружности? (у²+х²=r²). Наша полуокружность будет являться дугой окружности. Тогда какой будет радиус у окружности? (радиус равен 1). Значит уравнение окружности будет выглядеть: y²+x²=1.

Подставив сюда выражения для х и у из формул sin = x, cos = y, получим равенство:

sin²  + cos²  = 1 – основное тригонометрическое тождество.

Которое выполняется для любого угла  из промежутка 0 ≤  ≤ 180.

Запишем подзаголовок: «Формулы приведения»

sin(90⁰-)=cos

cos(90⁰-)=sin, при 0 ≤  ≤ 90.

sin(180⁰-)=sin

cos(180⁰-)= -cos, при 0 ≤  ≤ 180

Первичное закрепление нового материала

А теперь закрепим изученный материал при решении следующих номеров: № 1012, 1013(а, б), 1015(а,в).

К доске вызываются ученики, остальные самостоятельно решают в тетрадях.

№ 1012. Проверьте, что точки М₁(0; 1), М₂ ( ; ), М₃ ( ; ), М₄ (-; ), А(1; 0), В(- 1; 0) лежат на единичной полуокружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ.

Ученик: чтобы проверить, принадлежат ли точки единичной полуокружности, мы должны координаты точек подставить в уравнение окружности х² + у² = 1.

М₁ (0; 1), 0² + 1² = 0 +1 = 1, следовательно М₁ Окр (0; 1).

М₂ ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М₂ Окр (0; 1).

М₃ ( ; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовательно М₃ Окр (0; 1).

М₄ (-; ), + = 1, + = 1, 1 = 1, следовател. М₄ Окр (0; 1).

А(1; 0), 1 ² + 0² = 1 = 1, следовательно А Окр (0; 1).

В(- 1; 0), (-1)² + 0² = 1 = 1, следовательно В Окр (0; 1).

Ученик: найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ₁, АОМ₂, АОМ₃, АОМ₄, АОВ. Так как синус - это ордината точки, косинус - это абсцисса точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.

Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ_1.

Т.к. sin  = y, cos  = x, tg =

sinАОМ₁= 1, cosАОМ₁ = 0.

sinАОМ₂ = , cosАОМ₂ = , tg АОМ₂ = .

sinАОМ₃ = , cosАОМ₃ = , tg АОМ₃ = 1.

sinАОМ₄ = , cosАОМ₄ =, tg АОМ₄ = .

sinАОВ = , cosАОВ =, tg АОВ = .

№ 1013 (а, б). Найдите синус угла , если известен косинус.

Дано: а) cos  = .

б) cos  = .

Найти: sin 

Ученик: чтобы найти синус угла, используем основное тригонометрическое тождество и выразим синус через косинус.

sin²  + cos²  = 1

a) sin²  = 1 - cos² ;

sin²  = 1 - = 1 - = ;

sin²  =

sin = .

б) sin²  = 1 - = 1 - = ;

sin  = .

№ 1015 (а, в)

Дано: а) cos  = 1;

в) sin  = и 0  .

Ученик: так как тангенс - это отношение синуса угла к косинусу угла, нам необходимо под а) найти синус угла, а под б) косинус угла. Используем основное тригонометрическое тождество.

a) tg = ,

sin²  + cos²  = 1;

sin²  = 1 - cos² ;

sin²  = 1 - = 1 - = 0; sin  = 0.

tg = = = 1.

в) sin²  + cos²  = 1;

cos²  = 1 - sin² ;

cos²  = 1 - = 1 - = ;

т.к. 0   , cos  0, cos  = .

tg = = 1.

Домашнее задание

№ 1014, 1015 (б, г)