Урок по математике: Множество значений функции

Государственное автономное общеобразовательное учреждение

Чукотского автономного округа «Чукотский окружной профильный лицей»

Разработка урока по математике:

Множество значений функции.

Ершова Марина Ивановна

учитель математики

г. Анадырь, 2024 год

Урок обобщающего повторения при подготовке к ЕГЭ. 10 класс.

Тема: Множество значений функции. (2ч)

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Множество значений функции»

Научить находить множество значений элементарных функций

Развивать представления о функциях по их графикам.

Ход урока:

1.Организационный момент

2.Нахождение множества значений функции по графикам

3.Обобщение теоретического материала

4.Решение задач

5.Тесты

6.Домашнее задание

Учитель: На сегодняшнем уроке мы будем рассматривать множество значений элементарных функций, будем находить множество значений функций по графику, а также выполним тестовые задания по подготовке к ЕГЭ.

Учитель: Обратите внимание на экран, на каждом слайде изображен график функции, найдём их множество значений.

Объяснение учителя:

Множеством (областью) значений Е(у) функции у = f(x) назы­вается множество всех таких чисел y₀ , для каждого из которых найдется число x₀ такое, что: f(x₀) = y₀·

Напомним области значений основных элементарных функций.

Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток [т,+ ), где т - наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток (- , n], где n - наибольшее значение этого много­члена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

Е ) = ( )=[0, +

Е( E (

Е (log_a х) =R E (sin x) = E(cos x)= [-1,1]

Е (arcsin x) = [ , E (arсcos x)= [0

Е (tg x) = E(ctg x)=R E(arctg x)= ( ,

Е (arcctg x ) = (0, ).

Отметим, что задания на нахождение множества значений какой-то функции решаются преимущественно двумя методами: аналитическим и алгебраическим.

Приведем одно замечание. Предположим, что функция f(x) яв­ляется сложной функцией, в которой можно выделить "подфункцию" t = t(x). Тогда y = f(t) = f(t(x)). Отметим, что неважно, какой явля­ется функция t = t(x) (возрастающей, возрастающе-убывающей и т.д.). Если нам известна ее область значений E(t), то при нахождении обла­сти значений функции У = f(t) = f(t(x)) целесообразно считать, что t возрастает на E(t) как какой-то новый аргумент.

В соответствии с этим функцию У = f(t) целесообразно считать такой, каковой она являет­ся от аргумента t на промежутке E(t). Например, пусть нам дана функ­ция y=2cos x. Вводим новую переменную t(x) = cos x.

Понятно, что E(t) = [-1, 1]. Тогда функцию y(t) = 2t + 1 целесообразно считать линейной на промежутке [-1, 1]. Это никак не повлияет на нахождение Е(у), но напротив, облегчит нам эту процедуру.

Находим Е(у). Функция y(t) = 2t + 1 на промежутке [-1,1] является линейной и возрастающей, потому Е(у) = [2(-1) + 1,2·1 + 1] = [-1,3].

Пример 1. Найдите область значения функции у=3+cos x

1. [0;3]; 2) [-4;2]; 3) [-4;0] 4) [2;4];

Решение: Значения косинуса составляют промежуток [-1;1], значит, -1+3 Получим Е(у)= [2;4]

Номер ответа: 4.

Пример 2. Найдите область значения функции у=2-si

1. [1;2] 2) [1;3] 3)[0;3] 4) [0;1.]

Решение: Так как -1 . Прибавив ко всем частям двойного неравенства 2, получим 2

Номер ответа: 1

Пример 3. Найдите множество значений функции у=

1. [-2;2] 2) [- ] 3) [-0,5; 1;5] 4) [-1 ]

Решение: -1 умножим все части неравенства на число ( .

При этом знак неравенства меняется на противоположный или

.

Е(у)= [- ]

Номер верного ответа: 2.

Пример 4.

Найдите наибольшее целое значение функции.

y=

Решение: Запишем функцию в виде y= или y=

Учтём ограниченность функции косинус -2 Ко всем частям неравенства прибавим число 1 и получим:

-1 2 cos x+1 2cos x+1 . Ко всем частям неравенства прибавим число 7 и получим 7 Умножим все части неравенства на положительное число и получим .

Учтём, что и Тогда имеем: 6,18 , наибольшее целое значение, лежащее в этом промежутке, 9.

Ответ:9.

Пример 5. Найдите наибольшее целое значение функции.

y= 13

Решение: Используя формулу для косинуса разности двух углов, получим y= 13 . Учтём ограниченность функции косинус: -1 Из всех частей этого неравенства вычтем число 3 и получим: -4 . Показательная функция с основанием 2 (большим единицы) является возрастающей. Поэтому получаем: или . Наибольшее целое значение, лежащее в этом промежутке, у=3.

Ответ: 3.

Пример 6. Найти множество значений функции у=tg x-3, учитывая множество значений функции тангенс получим неравенство , вычитая из обеих частей неравенства 3 получим промежуток (

Ответ:(

Пример 7. Найти множество значений функции у=tg² x+5, учитывая множество значений функции тангенс получим неравенство , прибавляя к обеим частям неравенства 5, получим [5;+

Ответ: [5;+

Пример 8. Найти множество значений функции у=2сtg x-3, учитывая множество значений функции котангенс получим неравенство , умножив обе части неравенства на 2 получим неравенство , вычитая из обеих частей неравенства 3 получим промежуток (

Ответ:(

Пример 9. . Найти множество значений функции у= +3, учитывая множество значений функции у= получим неравенство , прибавляя к обеим частям неравенства 3, получим промежуток (3;

Ответ: (3;

Пример 10. Укажите наибольшее целое число, входящее в множество значений функции у=4- 0, , учитывая множество значений функции у=0, , получим неравенство

,умножив обе части неравенства на -1, получим , прибавляя к обеим частям неравенства число 4, получим промежуток (- , таким образом наибольшее целое число, входящее в множество значений 3.

Ответ: 3.

Пример 11. Найдите наименьшее значение функции

g(x)=log₃(16-х²) на промежутке [0;

Замечание: Можно заметить, что на промежутке [0; функция у=16-х² убывает, т.е.

у(0)

Функция g(t)=log₃ t возрастает на всей области определения. Значит, наименьшее значение на промежутке [0; функция g(x)=log₃(16-х²) принимает в точке х₀ =

Решение: g( log₃(16- ² = log₃(16- )= log₃ 9=2

Ответ: 2.

Пример 12. Найти наименьшее значение функции g(x)=log_0,5(4-х²)

Ответ: -2

Решение задач у доски.

1.

2.y = sin x -5

3.y= 1- 2 sin x

5.y= cos x-2

6.y= 2 sin x+3

7.y=

9.y=

10.y=

11.

12. y=

Ответы:

1.[-1; 5]

2.[-6;-4]

3.[-1;3]

4. [1;2]

5. [-1;-3]

6. [1;5]

7. [1;2]

8. (-4;

9. (2;

10.[0;1)

11.(

12.[ )

Задачи для самостоятельного решения повышенного уровня.

1.Найдите наименьшее целое значение функции y =

2. Найдите наименьшее целое значение функции у = 3

3.Найдите наибольшее целое значение функции у=25

4. Найдите наименьшее целое значение функции

у=

5. Найдите наименьшее значение функции

y = log₀,₅(2-x²).

6. Найдите наименьшее значение функции

y = log₀,₅(4-x²).

7. Найдите наименьшее значение функции

g(x) = log₀,₅(8-x²).

8.Найдите наименьшее значение функции

g(x) = log₀,₅(0,125-x²).

Ответы:

1. 3

2. 7

3. 8

4. 7

5. -1

6. -2

7. -3

8. 3

5.Решение тестовых заданий (3 уровня)

Предлагаются тесты с выбором ответа по типу ЕГЭ (рассчитанные на 15 минут), учитель сразу проверяет и оценивает работу учащихся.

Вариант 1.

1. Вычислите: .

2. Упростите выражение .

3. Найдите значение выражения , если .

4. На рисунке изображен график функции , определенной на промежутке . Укажите все значения аргумента, при которых функция принимает неотрицательные значения.

5. Укажите область определения функции .

6.  Укажите область значений функции .

7. Решите неравенство .

Вариант 2.

1. Упростите выражение .

2. Вычислите: .

3. Вычислите: .

4. На одном из рисунков изображен график четной функции. Укажите этот рисунок.

5. Укажите область определения функции .

6. Укажите область значений функции .

7. Решите неравенство .

Вариант 3.

1. Вычислите: .

2. Упростите выражение .

3. Вычислите: .

4. На одном из рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот рисунок.

5. Укажите область определения функции .

6. Укажите область значений функции .

7. Решите неравенство .

Ответы:

5 заданий – оценка 3, 6 заданий – 4, 7 заданий-5.

6. Домашнее задание ( в качестве домашнего задания предлагаются тесты 3-х уровней,)

7. Итоги урока.